浅谈傅里叶——2. 连续傅里叶公式推导与三角函数正交性

痛定思痛。 2022-05-21 07:48 240阅读 0赞

# 关于连续傅里叶公式的推导 #

在上一篇[浅谈傅里叶（1）][1]中已经给出了欧拉公式的推导和三角函数和的表达式，虽然三角函数和就是傅里叶公式的表达形式，但是数学家们还是嫌这样的表达式过于累赘，于是试图偷懒，通过将实数平面的三角函数和投影到复平面，简化计算公式。

三角函数和：

f ( t ) = A 0 + ∑ k = 1 n A k ⋅ ( a k c o s 2 π k t + b k s i n 2 π k t ) f(t) = A\_0 + \\sum\_\{k=1\}^\{n\} A\_k \\cdot (a\_k cos2 \\pi kt+b\_k sin2 \\pi kt) f(t)=A0\+k=1∑nAk⋅(akcos2πkt\+bksin2πkt)

欧拉公式：

e i x = c o s x + i s i n x e^\{ix\} = cosx + i sinx eix=cosx\+isinx

> 在某些教科书中， A 0 A\_0 A0 用  a 0 2 \\frac\{a\_0\}\{2\} 2a0 代表，并且它们给出了一个不令人信服的推导，这里  a 0 2 \\frac\{a\_0\}\{2\} 2a0 的含义，主要应用在电子、电气专业上，被称为“直流分量”，因为实际生活中的电信号是正弦波（由交流电发电机导致），所以电子电气专业里，电信号的表示为：直流分量 + 正弦信号叠加。

由此，我们通过欧拉公式，将三角函数的和，映射到复平面，于是得到如下表达式：

f ( t ) = ∑ k = − n n C k e 2 π i k t f(t) = \\sum\_\{k=-n\}^\{n\} C\_k e^\{2\\pi i k t\} f(t)=k=−n∑nCke2πikt

因为在复平面，复数存在共轭关系， C ( x , y ) = x + i y , C ( x , y ) ‾ = x − i y C(x, y) = x + i y, \\overline\{C(x, y)\} = x - iy C(x,y)=x\+iy,C(x,y)=x−iy， ∣ C ( x , y ) ∣ = ∣ C ( x , y ) ‾ ∣ \\left | C(x, y) \\right | = \\left | \\overline\{C(x, y)\} \\right | ∣C(x,y)∣=∣∣∣C(x,y)∣∣∣，为了完整表示实数平面内三角级数的加和，在复平面的范围变成了 \[ − n , n \] \[-n, n\] \[−n,n\]。

![复数共轭][70]

至此，我们获得了以指数 e e e为基的傅立叶级数的表达式，对比三角级数的表达式，我们可以发现 C k C\_k Ck中包含了振幅信息，相位信息，还有频率信息。但是如果假设我们已经获得了 f ( t ) f(t) f(t) 函数，如何求解 C k C\_k Ck呢？

首先从等式的基本定义出发， f ( t ) = C − n e 2 π i ( − n ) t + C − n + 1 e 2 π i ( − n + 1 ) t + ⋯ f(t) = C\_\{-n\}e^\{2 \\pi i (-n) t\} + C\_\{-n+1\}e^\{2 \\pi i (-n +1) t\} + \\cdots f(t)=C−ne2πi(−n)t\+C−n\+1e2πi(−n\+1)t\+⋯

所以我们可以得到这样的数学形式：

C m e 2 π i m t = f ( t ) − ∑ k ≠ m C k e 2 π i k t C\_m e^\{2 \\pi i m t\} = f(t) - \\sum\_\{k \\neq m\} C\_k e^\{2\\pi i k t\} Cme2πimt=f(t)−k=m∑Cke2πikt

两边求 e − 2 π i m t e^\{-2 \\pi i m t\} e−2πimt，于是可以得到：

C m = f ( t ) ⋅ e − 2 π i m t − ∑ k ≠ m C k e 2 π i ( k − m ) t C\_m = f(t) \\cdot e^\{-2 \\pi i m t\} - \\sum\_\{k \\neq m\} C\_k e^\{2\\pi i (k-m)t\} Cm=f(t)⋅e−2πimt−k=m∑Cke2πi(k−m)t

为了求解公式，我们对公式两侧的数学表达式进行求积分：

∫ C m d t = ∫ f ( t ) ⋅ e − 2 π i m t d t − ∫ ∑ k ≠ m C k e 2 π i ( k − m ) t d t \\int C\_m dt = \\int f(t) \\cdot e^\{-2 \\pi i m t\} dt - \\int \\sum\_\{k \\neq m\} C\_k e^\{2\\pi i (k-m)t\} dt ∫Cmdt=∫f(t)⋅e−2πimtdt−∫k=m∑Cke2πi(k−m)tdt

由于计算的周期已经从 \[ − π , π \] \[-\\pi, \\pi\] \[−π,π\] 通过  2 π t 2 \\pi t 2πt 变为了  \[ 0 , 1 \] \[0, 1\] \[0,1\]，所以

∫ 0 1 C m d t = ∫ 0 1 f ( t ) ⋅ e − 2 π i m t d t − ∫ 0 1 ∑ k ≠ m C k e 2 π i ( k − m ) t d t \\int\_0^1 C\_m dt = \\int\_0^1 f(t) \\cdot e^\{-2 \\pi i m t\} dt - \\int\_0^1 \\sum\_\{k \\neq m\} C\_k e^\{2\\pi i (k-m)t\} dt ∫01Cmdt=∫01f(t)⋅e−2πimtdt−∫01k=m∑Cke2πi(k−m)tdt

对上式分别求积分，于是：

∫ 0 1 C m d t = C m \\int\_0^1 C\_m dt = C\_m ∫01Cmdt=Cm

展开  ∫ 0 1 ∑ k ≠ m C k e 2 π i ( k − m ) t d t \\int\_0^1 \\sum\_\{k \\neq m\} C\_k e^\{2\\pi i (k-m)t\} dt ∫01∑k=mCke2πi(k−m)tdt，对每一项 ∫ 0 1 C k e 2 π i ( k − m ) t d t \\int\_0^1 C\_k e^\{2\\pi i (k-m)t\} dt ∫01Cke2πi(k−m)tdt 单独求积分，于是

∫ 0 1 C k e 2 π i ( k − m ) t d t = C k 2 π i ( k − m ) e 2 π i ( k − m ) t ∣ 0 1 \\int\_0^1 C\_k e^\{2\\pi i (k-m)t\} dt = \\frac\{C\_k\}\{2 \\pi i (k-m)\}e^\{2\\pi i (k-m)t\} |\_0^1 ∫01Cke2πi(k−m)tdt=2πi(k−m)Cke2πi(k−m)t∣01

= C k 2 π i ( k − m ) ( e 2 π i ( k − m ) − e 0 ) = \\frac\{C\_k\}\{2 \\pi i (k-m)\} (e^\{2\\pi i (k-m)\} - e^0) =2πi(k−m)Ck(e2πi(k−m)−e0)

∵ k ≠ m \\because k \\neq m ∵k=m

C k 2 π i ( k − m ) ( e 2 π i ( k − m ) − e 0 ) = C k 2 π i ( k − m ) 0 \\frac\{C\_k\}\{2 \\pi i (k-m)\} (e^\{2\\pi i (k-m)\} - e^0) = \\frac\{C\_k\}\{2 \\pi i (k-m)\} 0 2πi(k−m)Ck(e2πi(k−m)−e0)=2πi(k−m)Ck0

于是，我们可以得到这样一个表达式

C k = ∫ 0 1 f ( t ) ⋅ e − 2 π i k t d t C\_k = \\int\_0^1 f(t) \\cdot e^\{-2 \\pi i k t\} dt Ck=∫01f(t)⋅e−2πiktdt

结合上面推导的表达式，我们得到傅里叶级数的正、逆表达式  C k = ∫ 0 1 f ( t ) ⋅ e − 2 π i k t d t C\_k = \\int\_0^1 f(t) \\cdot e^\{-2 \\pi i k t\} dt Ck=∫01f(t)⋅e−2πiktdt 和  f ( t ) = ∑ k = − n n C k e 2 π i k t f(t) = \\sum\_\{k=-n\}^\{n\} C\_k e^\{2\\pi i k t\} f(t)=∑k=−nnCke2πikt

# 关于正交性 #

由三角函数的推导，我们可以得到如下的结果：

∫ − π π 1 ⋅ 1 d t = 2 π \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} 1 \\cdot 1dt = 2 \\pi ∫−ππ1⋅1dt=2π  
 ∫ − π π c o s ( n t ) ⋅ s i n ( m t ) d t = \{ 0 , m ≠ n π , m = n \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} cos(nt) \\cdot sin(mt)dt = \\left\\\{\\begin\{matrix\} 0, m \\neq n\\\\ \\pi, m = n \\end\{matrix\}\\right. ∫−ππcos(nt)⋅sin(mt)dt=\{ 0,m=nπ,m=n  
 ∫ − π π c o s ( n t ) ⋅ c o s ( m t ) d t = \{ 0 , m ≠ n π , m = n \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} cos(nt) \\cdot cos(mt)dt = \\left\\\{\\begin\{matrix\} 0, m \\neq n\\\\ \\pi, m = n \\end\{matrix\}\\right. ∫−ππcos(nt)⋅cos(mt)dt=\{ 0,m=nπ,m=n  
 ∫ − π π s i n ( n t ) ⋅ s i n ( m t ) d t = \{ 0 , m ≠ n π , m = n \\int\_\{-\\pi\}^\{\\pi\} sin(nt) \\cdot sin(mt)dt = \\left\\\{\\begin\{matrix\} 0, m \\neq n\\\\ \\pi, m = n \\end\{matrix\}\\right. ∫−ππsin(nt)⋅sin(mt)dt=\{ 0,m=nπ,m=n

正交性是非常重要的一个特征，通过正交性我们可以求解出三角级数的参数。

[1]: https://seagochen.blog.csdn.net/article/details/80840211
[70]: /images/20220521/ce257cbd7f9749669606ad467bef51e2.png