浅谈傅里叶——4. 傅里叶的特点分析与短时傅里叶

叁歲伎倆 2022-05-20 03:24 521阅读 0赞

> 前几章，已经给大家从无穷级数推广到傅里叶级数，并且给了一个证明傅里叶级数收敛的方法（其实是直接放的定理），然后介绍了把一段信号通过重复，然后从而得到该信号的傅里叶频谱。接下来几章的内容，我将分别介绍传统傅里叶的缺点，和傅里叶的改良方法，以及最后给出我们从一个比较简单的复合曲线求解其频谱信息（其实也就是傅里叶分析啦），并且在之后给出用代码实现傅里叶分析的方法（当然，代码肯定是Python的啦，我比较懒不太想写C/C++的，而且实际上已经有相关的FFT的第三方开源库，所以其实你只需要了解它的运作原理就可以了。）

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3BvaXNvbmNocnk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

### 文章目录 ###

*  关于傅里叶分析的缺点
 *  傅里叶分析的改进方法——短时傅里叶方法（Short Time Fourier Transform）

# 关于傅里叶分析的缺点 #

使用傅里叶分析，可以对信号进行频率分析，但是由于傅里叶分析是对全时域的分析，所以它对于某些特殊信号频率在某时段的出现，以及突变信号，变频信号的分析就有不足。

例如，对于如下变频信号1：

![变频信号1][1]

与变频信号2：

![变频信号2][2]

使用傅里叶分析，就会得到这样的频率图

![频率图][70]

尽管频率分布都一样，但是我们无法从频率图上获得各频率出现的时间，或许你已经注意到了，与固定频率的周期信号相比，这个频率图上多出了很多锯齿状的频率分布，导致这个原因，也是傅里叶分析的另一个缺陷，它对于突变信号，非连续信号，需要使用大量高频信号去近似拟合，这也意味着傅里叶分析，对于这类信号，从而导致耗费大量的计算时间（吉布斯效应）。

![这里写图片描述][70 1]

# 傅里叶分析的改进方法——短时傅里叶方法（Short Time Fourier Transform） #

了解了傅里叶分析的基本概念，那么就很容易理解什么叫短时傅里叶方法，简写为STFT。它的核心思想是，将全局信号，依照时间间隔T，拆分为独立的信号块，再使用傅里叶分别求解各时间区间内的信号频率。

用公式进行表示，就是这样：

S T F T ( t , f ) = ∫ 0 1 \[ f ( t ) ⋅ ω ( t − t ∗ ) \] ⋅ e − 2 π i k t d t STFT(t, f) = \\int\_0^1 \[f(t) \\cdot \\omega(t-t^\*)\] \\cdot e^\{-2\\pi ikt\} dt STFT(t,f)=∫01\[f(t)⋅ω(t−t∗)\]⋅e−2πiktdt

其中， f ( t ) f(t) f(t)是原函数， ω ( t ) \\omega(t) ω(t) 是窗口函数，其中， ( t − t ∗ ) (t - t^\*) (t−t∗)表示该函数在时间轴上的位移。如果我们将高斯函数作为平移窗口函数，那么对于信号 f ( t ) f(t) f(t)，在 t 1 , t 2 , t 3 t\_1, t\_2, t\_3 t1,t2,t3时段，对应窗口函数的数学表达就表示为 ω ( t − t 1 ) , ω ( t − t 2 ) , ω ( t − t 3 ) \\omega(t - t\_1), \\omega(t - t\_2), \\omega(t - t\_3) ω(t−t1),ω(t−t2),ω(t−t3)。

![这里写图片描述][70 2]

这个过程，是个类似卷积的过程，如果我们用类似伪码表示这个过程，需要处理的数据有三个，一个是信号原始，一个是窗口函数，最后一个是对于一维信号 f ( t ) f(t) f(t)，窗口函数 ω ( t ) \\omega(t) ω(t)在时间轴上的位移量，T，那么STFT函数的表示为：

function window_shifting(window_fun, start_time, signal_size): 
    	wind = [signal_size]
    	set elements in win to zero
    	for i = start_time to signal_size:
    		wind[i] = window_fun[i]
    	return win
    
    function mat_dot(signal, window):
    	if len(signal) is not len(window):
    		return false
    	for i = 0 to len(signal):
    		signal[i] = signal[i] * window[i]
    	return signal
    
    
    function STFT(signal, window, T)
    	shifted_window = window_shifting(window, T, len(signal))
    	result = mat_dot(signal, shifted_window)
    	
    	if result is not false:
    		res = fft(result)
    		return res

从上示例看，其实window是一个随时间移动的滤波器，常用的滤波器有理想滤波器，也有高斯滤波器，个人需要针对自己的具体需要选择合适的滤波器。

参考资料：  
\[1\] “The wavelet tutorial”, Robi Polikar, January 12, 2001.

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[1]: /images/20220520/6657ef0a1e0d4d31ad44b40fce7e9d09.png
[2]: /images/20220520/06261e1d083e4dfc9c47ff6b0f2eeb57.png
[70]: /images/20220520/a84a49af9fa849d79ed9c39f1fa4ccb5.png
[70 1]: /images/20220520/c3e51785fa674c3a95ee3b90f7991f78.png
[70 2]: /images/20220520/212fa477990e40b48237b63bebf467d2.png