图形学相关数学（反射，折射公式）

「爱情、让人受尽委屈。」 2022-05-19 05:50 283阅读 0赞

## 反射公式 ##

反射是经常用到的一个公式，之前在[Phong光照][Phong]的时候推导过一次，这次再整理一下。反射过程如图所示：

![70][]

首先需要保证光方向向量AB，法向量N均为单位向量，反射向量AC，光入射方向AD = -AB

θ为入射角，由反射公式我们知道，AC与AB沿y轴对称，AD与AC沿x轴对称

EB = N \* |AB|cosθ = N \* dot（N，AB）

DC = 2 \* EB = -2 \* N \* dot(N, AB)

AC = AD + DC = -AB + 2 \* N \* dot（N，AB）

C++代码如下：

static Vector3 Reflect(const Vector3& vec, const Vector3& normal)
    	{
    		return -vec + normal * 2.0f * Vector3::Dot(vec, normal);
    	}

这里面使用的是vec是指向光源方向的Vec（似乎在shader里面使用这种表示方法更多一些），如果vec指的是由光源方向指向入射点的位置（光线追踪使用得更多一些），则反射公式表示为：

static Vector3 Reflect(const Vector3& vec, const Vector3& normal)
    	{
    		return vec - normal * 2.0f * Vector3::Dot(vec, normal);
    	}

## 折射公式 ##

最近在玩光线追踪，遇到了一个折射光线的代码，看了半天没太理解，后来拿出笔推算了一遍，才算是理解了原来折射公式还是比较复杂的。下面记录一下推导的过程，先来一张图：

![70 1][]

其中入射光线L，折射光线T，入射角θ，折射角θ'，法线方向N，入射向量分解为L1，L2，折射向量分解为T1，T2。

首先需要的知识点是折射定律（似乎是中学时学过的）：

（1）折射光线位于[入射光线][Link 1]和界面[法线][Link 2]所决定的平面内；

（2）[折射线][Link 3]和入射线分别在法线的两侧；

（3）[入射角][Link 4]i的[正弦][Link 5]和[折射角][Link 6]*i*′的正弦的比值，对折射率一定的两种媒质来说是一个常数。

假设上方介质为1，下方介质为2，则n1 \* sinθ1 = n2 \* sinθ2，n21 = n2 / n1，表示介质2相对于介质1的折射率。

换成上图公式则为，sinθ' / sinθ = n1 / n2 = η。

cosθ = dot（N, -V） = -dot（N，V）。

cosθ' ^2 = 1 - sinθ' ^ 2 = 1 - η \* η \* sinθ ^2 = 1 - η \* η \* (1 - cosθ ^ 2)

cosθ' = sqrt（1 - η \* η \* (1 - dot（N，V） ^ 2)）

上图中，将入射光线和出射光线分别拆分成垂直于x轴和垂直于y轴的两条方向上的光线。

T = T1 + T2，L = L1 + L2，T和L以及N均为单位向量|T| = |L|

L = L1 + L2，L = -Ncosθ + L2 => L2 = L + Ncosθ

|T2| = |T|sinθ'，|L2| = |L|sinθ，二者相除，且由于|T| = |L|，得到 T2 = L2 \* sinθ’ / sinθ = （L + Ncosθ）η

T1与N反方向，故T1 = -N \* |T1| = -N \* |T|cosθ'，由于|T|为单位向量，即 T1 = -N \* cosθ'

T = T1 + T2 => T = -N cosθ' + （L + Ncosθ）η

T = -N \* sqrt（1 - η \* η \* (1 - dot（N，V） ^ 2)） + （L - N \* dot（N，V）） η

C++代码如下：

//refractRatio = sinθ' / sinθ 
    	static bool Refract(const Vector3& vec, const Vector3& normal, float refractRatio, Vector3& refractDir)
    	{
    		Vector3 inVec = vec;
    		inVec.Normalize();
    		float dt = Vector3::Dot(inVec, normal); //cosθ
    		float s2 = 1.0 - dt * dt; // sinθ ^ 2
    		float st2 = refractRatio * refractRatio * s2;// sinθ’ ^ 2 = refractRato ^ 2 * sinθ ^ 2
    		float cost2 = 1 - st2;
    		if (cost2 > 0)
    		{
    			refractDir = (inVec - normal * dt) * refractRatio - normal * sqrt(cost2);
    			return true;
    		}
    		return false;
    	}

[Phong]: https://blog.csdn.net/puppet_master/article/details/53428885
[70]: /images/20220519/e4c3fff73d00403fa34b6390573f1489.png
[70 1]: /images/20220519/f71857d2a63c4c28951380fa1dae5540.png
[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E5%85%A5%E5%B0%84%E5%85%89%E7%BA%BF
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%95%E7%BA%BF
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E6%8A%98%E5%B0%84%E7%BA%BF
[Link 4]: https://baike.baidu.com/item/%E5%85%A5%E5%B0%84%E8%A7%92
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%BC%A6
[Link 6]: https://baike.baidu.com/item/%E6%8A%98%E5%B0%84%E8%A7%92