数学公式总结

骑猪看日落 2021-11-06 01:04 399阅读 0赞

1.  求高阶导的**莱布尼兹公式**： ( u v ) ( n ) = ∑ k = 0 n C n k u ( n − k ) v ( k ) (uv)^\{(n)\}=\\sum^n\_\{k=0\}\{\\rm C\}\_n^k u^\{(n-k)\}v^\{(k)\} (uv)(n)=k=0∑nCnku(n−k)v(k)注意，加括号的右上角标号不是幂次，而是导数的阶次。  
    补充：排列和组合的公式 排 列 公 式 ： A n k = n ! ( n − k ) ! 组 合 公 式 ： C n k = n ! ( n − k ) ! k ! 排列公式：A\_n^k=\\frac\{n!\}\{(n-k)!\}\\\\ 组合公式：C\_n^k=\\frac\{n!\}\{(n-k)!k!\} 排列公式：Ank=(n−k)!n!组合公式：Cnk=(n−k)!k!n!
2.  下取整函数的符号也会用方括号表示（\[x\]），称作高斯符号。
3.  我们知道，一维高斯分布的概率密度表达式为： f ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 f(x)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}e^\{-\\frac\{(x-\\mu)^2\}\{2\\sigma^2\}\} f(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2并且有函数与 x x x轴所谓面积等于1，即 ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = 1 \\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}f(x)dx=\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}e^\{-\\frac\{(x-\\mu)^2\}\{2\\sigma^2\}\}dx=1 ∫−∞\+∞f(x)dx=∫−∞\+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2dx=1 不妨设 v = x − μ 2 σ v=\\frac\{x-\\mu\}\{\\sqrt2\\sigma\} v=2σx−μ，我们进行积分换元，当 x → − ∞ x\\to-\\infty x→−∞时， v → − ∞ v\\to-\\infty v→−∞；当 x → + ∞ x\\to+\\infty x→\+∞时， v → + ∞ v\\to+\\infty v→\+∞，并且此时 x = 2 σ v + μ x=\\sqrt2\\sigma v+\\mu x=2σv\+μ，故有 ∫ − ∞ + ∞ 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 d x = 1 π ∫ − ∞ + ∞ e − v 2 d v = 1 \\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}e^\{-\\frac\{(x-\\mu)^2\}\{2\\sigma^2\}\}dx=\\frac\{1\}\{\\sqrt\\pi\}\\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}e^\{-v^2\}dv=1 ∫−∞\+∞2πσ1e−2σ2(x−μ)2dx=π1∫−∞\+∞e−v2dv=1，故有 ∫ − ∞ + ∞ e − v 2 d v = π \\int^\{+\\infty\}\_\{-\\infty\}e^\{-v^2\}dv=\\sqrt\\pi ∫−∞\+∞e−v2dv=π，这类函数通常无法直接求积分，那么是怎么得到他的积分结果是 π \\sqrt\\pi π的呢？其实用的是夹逼准则进行求解的。下面给出证明：  
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    ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM1ODY2NzM2_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2][]

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