OpenGL中frustum投影矩阵的推导

Myth丶恋晨 2022-05-17 01:07 197阅读 0赞

OpenGL中，有一个函数叫frustum，字面的意思是截锥体，也就是一个去掉头部的锥体，如下图所示，

![70][]

看了一下《计算机图形学》（英文名Computer Graphics with OpenGL）的透视投影推导过程，比较全面，各种情况都有描述。不过最近又参考了网上的一些资料，发现这里【1】的推导过程比较单纯直接。我们看一下，

![70 1][]

注意到上面这个图，观察者的位置相对于(0,0,0）这个点是在右边的，也就目光是沿Z轴方向（所以距离 眼睛越近，显得越大嘛），OpenGL的camera也就是（0，0，0）点，沿-Z方向。

把xe映射到xp，ye映射到yp是这样的，

## ![70 2][]    式（1） ##

通过Mprojection矩阵，把eye坐标投影到NDC空间(*Normalized* *Device* *Coordinates*, 归一化设备坐标系)，

![70 3][]

注意下上面的ndc和clip坐标系之间，只差了一个系数 wclip，他们都是3维齐次坐标【2】。下面这个方程中，c就是clip，变换矩阵的第4行设置为(0, 0, -1, 0)，为什么呢？因为这一行实际上只处理系数wc，看前面我们知道xp与yp分别和（-Ze）成反比，所以这里我们也期望，wc和（-ze）成反比，且最后能归一化wc/(-ze)=1。

![70 4][]

接下来的一步，就是完成xp，yp到xn，yn的归一化映射：\[l, r\] ⇒ \[-1, 1\] and \[b, t\] ⇒ \[-1, 1\]，首先来看映射\[l, r\] ⇒ \[-1, 1\]，如下图

![70 5][]

这是一个非常简单的线性映射，写成方程式就是，

![70 6][]

其中![\\beta][beta]就是xp=0时在xn轴上的截距，根据映射，当xp=r时，xn=1，代入到该式中，就可以得到，

![70 7][]

然后变换一下格式，

![70 8][]

现在把![\\beta][beta]代回最上面那个式子，就得到了，

## ![70 9][] 式（2） ##

同样的道理，可以得到

## ![70 10][]         式（3） ##

把式（2），式（3）代回到式（1），就得到这样一个结果，

![70 11][]

这两个结果，结合我们前面得到的wc=-ze，整个矩阵就可以等价地写成下面的形式，

![70 12][]

现在只有矩阵的第3行是未知的，我们这样处理，

![70 13][]

因为在eye的空间，we=1（w是一个和透视距离有关的量，0表示无穷远点，参考【2】），所以，

![70 14][]，和上面的道理类似，映射  (ze, zn)满足范围为近点=(-n, -1)，远点= (-f, 1),

![70 15][]

求解该线性方程组，得到，

![70 16][]

![70 17][]

这样，得到

## ![70 18][] 式（4） ##

最后得到的矩阵就可以写成

![70 19][]

这个矩阵，也正是我们frustum函数变换所采用的矩阵。

这里也顺便提一下Z-finghting。根据式（4），Zn和Ze的关系为

![70 20][]

因此，当\[-n, -f\]的距离比较大的时候，因为有理数取值都有误差，在远点就容易形成z-finghting，也就是当两个实体在远点有交接时，因为误差产生的距离抖动，无法准确得到交接线从而产生类似下图的结果，

![70 21][]

本文结束。

参考

【1】[http://www.songho.ca/opengl/gl\_projectionmatrix.html][http_www.songho.ca_opengl_gl_projectionmatrix.html]

【2】[https://blog.csdn.net/tanmx219/article/details/81394995][https_blog.csdn.net_tanmx219_article_details_81394995]

【3】[https://en.wikipedia.org/wiki/Z-fighting][https_en.wikipedia.org_wiki_Z-fighting]

[70]: /images/20220517/6335167ce95a448eb496459bf628af04.png
[70 1]: /images/20220517/63fb45cf5f2647da8281085ae7631d42.png
[70 2]: /images/20220517/c4d31377beca423aaa01544180244d26.png
[70 3]: /images/20220517/af68ada1607e478fb4a446bca619c916.png
[70 4]: /images/20220517/220fcd25e3044ceeaba8fb498880855a.png
[70 5]: /images/20220517/95b7d1246d8c45d78d0c8f6d5e3fe4e3.png
[70 6]: /images/20220517/85baad333ce44e1ba893e61884bd32d4.png
[beta]: https://private.codecogs.com/gif.latex?%5Cbeta
[70 7]: /images/20220517/d05c44ab13e8416a8fed966f0e70aa78.png
[70 8]: /images/20220517/5aabcd9df9374d3a932aac95a32f4e3d.png
[70 9]: /images/20220517/23c1b5d96be740ed9c5f556693997aed.png
[70 10]: /images/20220517/1ed5b3bcea974a099e9e2694af2ce69c.png
[70 11]: /images/20220517/2556c0b58e1c4fe18bb82adbde21e612.png
[70 12]: /images/20220517/c53f2640ff1d49e7943d30e4e255595e.png
[70 13]: /images/20220517/09fb9f5dba4449b888b2cba41b8d454a.png
[70 14]: /images/20220517/79dae211b0b743b28d5007cd43e09ac7.png
[70 15]: /images/20220517/4539d81ba50240fcaa2b91cfc0f9beb1.png
[70 16]: /images/20220517/d73d50b7ef784682932afa89ef8fe9d8.png
[70 17]: /images/20220517/578d84fe9ba345878f46b8ecb33e4df1.png
[70 18]: /images/20220517/f2f4297dfb1642bbad23aacb2bf9e290.png
[70 19]: /images/20220517/e2f28536331843ce8ac84b649569a9ba.png
[70 20]: /images/20220517/0075660dff8b4b59b3db54a842fe8663.png
[70 21]: /images/20220517/3c269ac8e09f456994ff0b8e21bd1b75.png
[http_www.songho.ca_opengl_gl_projectionmatrix.html]: http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
[https_blog.csdn.net_tanmx219_article_details_81394995]: https://blog.csdn.net/tanmx219/article/details/81394995
[https_en.wikipedia.org_wiki_Z-fighting]: https://en.wikipedia.org/wiki/Z-fighting