法向量变换矩阵的推导

拼搏现实的明天。 2022-03-09 15:28 250阅读 0赞

> 本文简述了一种法向量变换矩阵的推导过程

使用矩阵对点进行空间变换是图形学中的常见操作,假设变换矩阵为  M M M ,我们需要变换切向量  T T T(由 点  P 2 P\_2 P2 \- 点  P 1 P\_1 P1 定义) 以及与其垂直的法向量  N N N .( T T T 和  N N N 皆为列向量)

假设 点  P 2 P\_2 P2 经过  M M M 变换后为  P 2 ′ P\_2&\#x27; P2′, 点  P 1 P\_1 P1 经过  M M M 变换后为  P 1 ′ P\_1&\#x27; P1′,  T ′ T&\#x27; T′ 为经过变换后的切向量:

M ∗ P 2 = P 2 ′ M ∗ P 1 = P 1 ′ T ′ = P 2 ′ − P 1 ′ \\begin\{aligned\} & M \* P\_2 = P\_2&\#x27; \\\\ & M \* P\_1 = P\_1&\#x27; \\\\ & T&\#x27; = P\_2&\#x27; - P\_1&\#x27; \\end\{aligned\} M∗P2=P2′M∗P1=P1′T′=P2′−P1′

对于原切向量  T T T,我们希望找到一个矩阵  M ′ M&\#x27; M′, 使得:

M ′ ∗ T = T ′ M&\#x27; \* T = T&\#x27; M′∗T=T′

我们直接令  M ′ = M M&\#x27; = M M′=M 来试一下:

M ′ ∗ T = M ∗ T = M ∗ ( P 2 − P 1 ) = M ∗ P 2 − M ∗ P 1 = P 2 ′ − P 1 ′ = T ′ \\begin\{aligned\} M&\#x27; \* T = M \* T &= M \* (P\_2 - P\_1) \\\\ &= M \* P\_2 - M \* P\_1 \\\\ &= P\_2&\#x27; - P\_1&\#x27; \\\\ &= T&\#x27; \\end\{aligned\} M′∗T=M∗T=M∗(P2−P1)=M∗P2−M∗P1=P2′−P1′=T′

可见对于切向量  T T T ,我们可以直接使用  M M M 对其进行变换.

对于法向量  N N N ,我们有(注意,第一个公式中的点号表示**点积**):

T ⋅ N = 0 &ThickSpace; ⟹ &ThickSpace; T T ∗ N = 0 \\begin\{aligned\} & T \\cdot N = 0 \\implies \\\\ & T^T \* N = 0 \\end\{aligned\} T⋅N=0⟹TT∗N=0

假设变换后的法向量为  N ′ N&\#x27; N′, 我们希望仍然保持其与  T ′ T&\#x27; T′( T T T的变换后向量) 的垂直(注意,第一个公式中的点号表示**点积**):

T ′ ⋅ N ′ = 0 &ThickSpace; ⟹ &ThickSpace; T ′ T ∗ N ′ = 0 \\begin\{aligned\} & T&\#x27; \\cdot N&\#x27; = 0 \\implies \\\\ & T&\#x27;^T \* N&\#x27; = 0 \\end\{aligned\} T′⋅N′=0⟹T′T∗N′=0

假设用于变换法向量的矩阵为  G G G, 则应有:

T ′ = M ∗ T N ′ = G ∗ N T ′ T ∗ N ′ = 0 ( M ∗ T ) T ∗ ( G ∗ N ) = 0 T T ∗ M T ∗ G ∗ N = 0 T T ∗ ( M T ∗ G ) ∗ N = 0 \\begin\{aligned\} & T&\#x27; = M \* T \\\\ & N&\#x27; = G \* N \\\\ & T&\#x27;^T \* N&\#x27; = 0 \\\\ & (M \* T)^T \* (G \* N) = 0 \\\\ & T^T \* M^T \* G \* N = 0 \\\\ & T^T \* (M^T \* G) \* N = 0 \\end\{aligned\} T′=M∗TN′=G∗NT′T∗N′=0(M∗T)T∗(G∗N)=0TT∗MT∗G∗N=0TT∗(MT∗G)∗N=0

由于我们知道:

T T ∗ N = 0 T^T \* N = 0 TT∗N=0

所以我们只要令(**注意,这只是一种可能的取值,并不是唯一取值,我们的目的也仅是需要获得一种可能的取值**):

M T ∗ G = I M^T \* G = I MT∗G=I

便可以满足上面的等式 :

T T ∗ ( M T ∗ G ) ∗ N = T T ∗ I ∗ N = T T ∗ N = 0 \\begin\{aligned\} & T^T \* (M^T \* G) \* N = \\\\ & T^T \* I \* N = \\\\ & T^T \* N = 0 \\end\{aligned\} TT∗(MT∗G)∗N=TT∗I∗N=TT∗N=0

所以变换法向量,我们需要使用普通变化矩阵逆的转置(或者说转置的逆,**对于可逆矩阵,其转置矩阵的逆矩阵等于其逆矩阵的转置矩阵**)

G = ( M T ) − 1 = ( M − 1 ) T G = (M^T)^\{-1\} = (M^\{-1\})^T G=(MT)−1=(M−1)T

--------------------

如果变换矩阵  M M M 是正交矩阵,则有(根据正交矩阵定义)

M − 1 = M T M^\{-1\} = M^T M−1=MT

于是法向量的变换矩阵变为:

G = ( M T ) − 1 = ( M − 1 ) − 1 = M G = (M^T)^\{-1\} = (M^\{-1\})^\{-1\} = M G=(MT)−1=(M−1)−1=M

此时我们就可以直接使用  M M M 来变换法向量了.

#### 更多资料 ####

*  [The Normal Matrix][]
 *  [法向量（Normal）的变换矩阵的推导][Normal]

[The Normal Matrix]: http://www.lighthouse3d.com/tutorials/glsl-12-tutorial/the-normal-matrix/
[Normal]: https://www.nigauri.co/%E6%B3%95%E5%90%91%E9%87%8F%EF%BC%88normal%EF%BC%89%E7%9A%84%E5%8F%98%E6%8D%A2%E7%9F%A9%E9%98%B5%E7%9A%84%E6%8E%A8%E5%AF%BC/