[译]OpenGL投影矩阵

╰半橙微兮° 2022-02-22 15:30 279阅读 0赞

> 这是关于OpenGL投影矩阵的一篇译文,原文在[这里][Link 1].

#### 概览(Overview) ####

电脑显示屏是一个2D平面,为了能够在这个2D平面上显示OpenGL渲染的3D场景,我们必须将3D场景当作2D图像投影到这个2D平面(计算机屏幕)上.GL\_PROJECTION 矩阵就是用来做这种投影变换的.首先,该矩阵将所有观察空间的顶点坐标变换到裁剪空间,接着,将变换后的顶点坐标(即裁剪坐标)的每个分量 ( x , y , z , w ) (x,y,z,w) (x,y,z,w)除以坐标的  w w w 分量,使其变换为标准化设备坐标(NDC).

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70]

这里我们需要注意的一点就是 : GL\_PROJECTION 矩阵同时整合了裁剪(视锥体剔除)和标准化设备坐标(NDC)变换的功能(**译注:这里不是指 GL\_PROJECTION 矩阵本身整合了这些功能,而是指 OpenGL 的 GL\_PROJECTION 矩阵模式整合了这些功能**).接下来的内容就是描述如何从6个边界参数(left, right, bottom, top, near 和 far) 构造出这个投影矩阵.

值得一提的是,视锥体剔除是在裁剪空间进行的(NDC变换之前) : 裁剪坐标中的  x c x\_c xc,  y c y\_c yc 和  z c z\_c zc 分量会分别与  w c w\_c wc 分量进行比较,如果其中任一分量小于  − w c -w\_c −wc,或者大于  w c w\_c wc,则该坐标对应的顶点就会被丢弃(即发生了裁剪).

接着, 如果发生了裁剪, OpenGL 会重新构建发生裁剪的多边形边缘.

#### 透视投影 ####

在透视投影中,视锥体(观察空间)中的一个3D坐标点会被映射到一个立方体中(NDC);其中  x x x 坐标范围会从  \[ l , r \] \[l, r\] \[l,r\] 映射到  \[ − 1 , 1 \] \[-1, 1\] \[−1,1\],  y y y 坐标范围会从  \[ b , t \] \[b, t\] \[b,t\] 映射到  \[ − 1 , 1 \] \[-1, 1\] \[−1,1\],  z z z 坐标范围会从  \[ − n , − f \] \[-n, -f\] \[−n,−f\] 映射到  \[ − 1 , 1 \] \[-1, 1\] \[−1,1\].  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]

这里需要注意的是,观察空间是在右手坐标系下(OpenGL 使用右手坐标系)定义的,但是 NDC 却是在左手坐标系下定义的.换句话说就是,观察空间中的摄像机是指向 -Z 轴的,但是在 NDC 中,摄像机指向的却是 +Z 轴(**译注:NDC变换会改变左右手坐标系**).由于 glFrustum() 函数只接受正的近/远裁剪面距离,所以我们需要在构造 GL\_PROJECTION 矩阵的过程中将近/远裁剪面距离变成负数(**译注:因为在观察空间中,摄像机是指向 -Z 轴的**).

在 OpenGL 中,观察空间中3D坐标点是投影到近裁剪面(即投影面)上的.下面的示意图展示了一个在观察空间中的坐标点  ( x e , y e , z e ) (x\_e, y\_e, z\_e) (xe,ye,ze),是如何投影到近裁剪面坐标点  ( x p , y p , z p ) (x\_p, y\_p, z\_p) (xp,yp,zp) 上的.

![视锥体顶部视图][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 2]  
![视锥体侧面视图][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 3]  
从视锥体的顶部视图可以看到,  x e x\_e xe(观察空间中的  x x x 坐标)的投影坐标  x p x\_p xp 可以使用相似三角形对应边长成比例来求解:

![在这里插入图片描述][20190409154259549.png]

从视锥体的侧面视图来看, y p y\_p yp 也可以使用类似的方式求解:

![在这里插入图片描述][20190409154333288.png]

注意到  x p x\_p xp 和  y p y\_p yp 的数值都是依赖于  z e z\_e ze 的,并且两者的数值大小都反比与  − z e -z\_e −ze(这两个数值的求解都除以了  − z e -z\_e −ze).这是我们构建 GL\_PROJECTION 矩阵的第一条线索.在观察空间中的坐标经过 GL\_PROJECTION 矩阵变换之后,得到的裁剪坐标还是一个[齐次坐标][Link 2],需要将坐标的各个分量除以坐标的  w w w 分量才能将其变换为标准化设备坐标(NDC).(更多细节可以看[这里][Link 3])

![在这里插入图片描述][20190409154404390.png]  
![在这里插入图片描述][20190409154421107.png]  
所以,我们可以将裁减坐标的  w w w 分量设置为  − z e -z\_e −ze,基于此,GL\_PROJECTION 矩阵的第四行便可以确定了,应为  ( 0 , 0 , − 1 , 0 ) (0, 0, -1, 0) (0,0,−1,0).

![在这里插入图片描述][20190409154440113.png]

接下来,我们要将  x p x\_p xp 和  y p y\_p yp 线性映射到 NDC 下的  x n x\_n xn 和  y n y\_n yn, 即  \[ l , r \] \[l, r\] \[l,r\] ⇒  \[ − 1 , 1 \] \[-1, 1\] \[−1,1\] ,  \[ b , t \] \[b, t\] \[b,t\] ⇒  \[ − 1 , 1 \] \[-1, 1\] \[−1,1\].

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 4]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 5]

然后,我们将  x p x\_p xp 和  y p y\_p yp 的表达式代入上面的等式.

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 6]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 7]  
由于要进行透视除法的关系 ( x c / w c , y c / w c ) (x\_c/w\_c, y\_c/w\_c) (xc/wc,yc/wc),我们将等式都调整成了除以  − z e -z\_e −ze 的形式.我们先前已经设置了 wc 为  − z e -z\_e −ze,所以等式括号里项即是裁剪坐标  x c x\_c xc 和  y c y\_c yc.

通过这些等式,我们就可以确定 GL\_PROJECTION 矩阵的第一行和第二行了:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 8]

现在,我们只需要求解出 GL\_PROJECTION 矩阵的第三行便可以了,不过计算  z n z\_n zn 和之前计算的  x n x\_n xn 和  y n y\_n yn 有些不同,因为观察空间中的  z e z\_e ze 总是会被投影到近裁剪面上(数值为 − n -n −n),而我们需要的是唯一的  z z z 值以进行裁剪和深度检测,另外的,我们也应该能够"反投影"(unproject,投影的逆变换) z n z\_n zn.由于我们知道  z z z 坐标并不依赖与  x x x 坐标和  y y y 坐标,所以我们可以借助  w w w 分量来求解  z n z\_n zn 和  z e z\_e ze 的关系,计算方法如下:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 9]

观察空间中,  w e w\_e we 等于  1 1 1,所以上面的等式可以化简为:

![在这里插入图片描述][20190409154717429.png]

为了计算  A A A 和  B B B 这两个参数,我们可以利用  ( z e , z n ) (z\_e, z\_n) (ze,zn) 的两个条件关系: ( − n , − 1 ) (-n, -1) (−n,−1) 和  ( − f , 1 ) (-f, 1) (−f,1)(**译注:即  z e = − n z\_e = -n ze=−n 时,  z n = − 1 z\_n = -1 zn=−1;  z e = − f z\_e = -f ze=−f 时,  z n = 1 z\_n = 1 zn=1**),代入上面的等式,我们有:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 10]

![在这里插入图片描述][20190409154743832.png]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 11]

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 12]

通过上面的计算,我们得到了系数  A A A 和  B B B 的表达式,于是  z e z\_e ze 与  z n z\_n zn 的关系式变为:

![在这里插入图片描述][20190409154817768.png]

最终,我们得到了完整的 GL\_PROJECTION 矩阵:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 13]

上面的投影矩阵对应于一般的视锥体投影,如果视锥体是上下左右对称的话(即  r = − l , t = − b r = -l, t = -b r=−l,t=−b),则上面的投影矩阵可以做如下简化:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 14]

在我们继续讲解之前,我们再来观察一下  z e z\_e ze 和  z n z\_n zn 的关系,也就是上面的等式 ( 3 ) (3) (3).注意到该等式是个非线性的有理函数,当  z e z\_e ze 靠近近裁剪面的时候,对应  z n z\_n zn 的精度会比较高,当  z e z\_e ze 靠近远裁剪面的时候,对应  z n z\_n zn 的精度则比较低.于是,当 \[ − n , − f \] \[-n, -f\] \[−n,−f\]的范围变大的时候,就会发生深度缓冲的精度问题(z-fighting),因为此时靠近远裁剪面的  z e z\_e ze 的微小变化并不会影响  z n z\_n zn 的数值(**译注:数学角度讲, z e z\_e ze 的任何变化其实都会影响到  z n z\_n zn 的数值,这里说不会影响  z n z\_n zn 的数值是从计算机中数值精度表示有限的角度来讲的**),所以我们应该尽量缩短  n n n 和  f f f 之间的距离,以最小化上述的深度缓冲精度问题.

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 15]

#### 正交投影 ####

为正交投影构建一个 GL\_PROJECTION 矩阵比上面说的透视投影要简单多了.

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 16]

所有观察空间的  x e x\_e xe,  y e y\_e ye 和  z e z\_e ze 分量都被线性的映射到 NDC 中,我们要做的就是将长方体(观察空间)缩放成一个立方体(NDC),然后将其移动到原点位置.我们马上来算一下 GL\_PROJECTION 矩阵的各个元素:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 17]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 18]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 19]

由于在正交投影中,我们不需要  w w w 分量的参与,所以 GL\_PROJECTION 矩阵的第四行设置为了  ( 0 , 0 , 0 , 1 ) (0, 0, 0, 1) (0,0,0,1).最终的 GL\_PROJECTION 矩阵表示如下:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 20]

同透视投影一样,如果视锥体是上下左右对称的话(即  r = − l , t = − b r = -l, t = -b r=−l,t=−b),上面的 GL\_PROJECTION 矩阵可以简化为:

![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70 21]

[Link 1]: http://www.songho.ca/opengl/gl_projectionmatrix.html
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3Rrb2tvZjE_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20220222/4b84372b969d48839ad3eb6c204498a8.png
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[Link 2]: http://www.songho.ca/math/homogeneous/homogeneous.html
[Link 3]: http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html
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