MIT 线性代数导论第四讲：矩阵的LU分解

女爷i 2022-05-09 05:56 290阅读 0赞

这一讲的主要内容有：

*  矩阵转置与逆的顺序问题
 *  矩阵 A A A 的  L U LU LU 分解
 *  置换矩阵群

### 矩阵转置与逆 ###

首先关于矩阵的分解要用到几个定理：  
对于矩阵  A A A 和矩阵  B B B ：

**求两个矩阵乘积的逆矩阵**  
只需要交换两个矩阵的逆的顺序并相乘即可，也就是：  
 ( A B ) X = I , X = B − 1 A − 1 (AB)X = I , X = B^\{-1\}A^\{-1\} (AB)X=I,X=B−1A−1  
**对于单个矩阵， 转置运算和逆运算可以交换顺序**  
 ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (A^\{-1\})^\{T\} = (A^\{T\})^\{-1\} (A−1)T=(AT)−1  
证明过程如下：  
 A A − 1 = I AA^\{-1\} = I AA−1=I 的左右同时转置，单位阵转置之后仍然是单位阵， 此时也就是  ( A − 1 ) T A T = I (A^\{-1\})^\{T\}A^\{T\} = I (A−1)TAT=I （注意交换顺序了，这是转置的规则）所以  ( A − 1 ) T (A^\{-1\})^\{T\} (A−1)T 是  A T A^\{T\} AT 的逆矩阵（因为两个矩阵相乘的结果是单位阵）

### 矩阵  A A A 的  L U LU LU 分解（基础矩阵分解） ###

这个知识点是比较好理解的，首先来看 对于一个矩阵  A A A 如何变化为 矩阵  U U U ，成为一个上三角矩阵？这是上一讲的内容，我们可以左乘一系初等矩阵，来控制行变换，从而得到  U U U ，以3*3的矩阵为例：  
 A → E 32 E 31 E 21 A = U A\\rightarrow E\_\{32\}E\_\{31\}E\_\{21\}A = U A→E32E31E21A=U  
其中  E 32 E\_\{32\} E32 等下标表示进行组合的行，一个普通的3*3的矩阵，如果变为上三角矩阵，总共要消去三个元素，也就是对角线下面的三个，因此需要上述式子的三个消元矩阵。  
我们对上面的式子进行变形：  
 A = ( E 21 ) − 1 ( E 31 ) − 1 ( E 32 ) − 1 U A=(E\_\{21\})^\{-1\}(E\_\{31\})^\{-1\}(E\_\{32\})^\{-1\}U A=(E21)−1(E31)−1(E32)−1U  
注意这里是左边三个消元矩阵的逆序逆矩阵，写一下就会注意到。  
那么我们索要进行的  L U LU LU 分解 中的矩阵  L L L 也就是上面三个逆矩阵的乘积了，也就是：  
 L = ( E 21 ) − 1 ( E 31 ) − 1 ( E 32 ) − 1 L= (E\_\{21\})^\{-1\}(E\_\{31\})^\{-1\}(E\_\{32\})^\{-1\} L=(E21)−1(E31)−1(E32)−1  
看起来很麻烦，还要计算三个消元矩阵，又要计算他们的逆，其实不然，对于初等矩阵，之前讲到过，它的逆只要把变换再还回去就是了，比如矩阵  ( 1 0 0 2 1 0 0 0 1 ) \\begin\{pmatrix\} 1 &0 &0 \\\\ 2& 1 &0 \\\\ 0& 0 &1 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛120010001⎠⎞ 表示将矩阵的第一行乘2加到第二行上（如果用它右乘一个矩阵的话），那么这个操作的逆操作就是从第二行减去2倍的第一行就是了，所以它的逆矩阵就是  ( 1 0 0 − 2 1 0 0 0 1 ) \\begin\{pmatrix\} 1 &0 &0 \\\\ -2& 1 &0 \\\\ 0& 0 &1 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛1−20010001⎠⎞ 所以其实很简单。

### 补充置换矩阵的一些内容 ###

这一讲额最后，还补充了一些行变换置换矩阵的问题，比如，3\*3的矩阵，它的行变换置换矩阵有几种情况？  
其实就是三行的全排列，也就是3的阶乘，其他维数的矩阵计算也是如此。  
所有的情况如下：  
 ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 0 0 1 0 1 0 ) ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 ) ( 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ) ( 0 0 1 0 1 0 1 0 0 ) ( 0 0 1 1 0 0 0 1 0 ) \\begin\{pmatrix\} 1 &0 &0 \\\\ 0& 1 &0 \\\\ 0& 0 &1 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 1 &0 &0 \\\\ 0& 0 &1 \\\\ 0& 1 &0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 &1 &0 \\\\ 1& 0 &0 \\\\ 0& 0 &1 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 &1 &0 \\\\ 0& 0 &1\\\\ 1& 0 &0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 &0 &1 \\\\ 0& 1 &0 \\\\ 1& 0 &0 \\end\{pmatrix\} \\begin\{pmatrix\} 0 &0 &1 \\\\ 1& 0 &0 \\\\ 0& 1 &0 \\end\{pmatrix\} ⎝⎛100010001⎠⎞⎝⎛100001010⎠⎞⎝⎛010100001⎠⎞⎝⎛001100010⎠⎞⎝⎛001010100⎠⎞⎝⎛010001100⎠⎞  
这一组矩阵群有个很奇妙的性质，任意两个矩阵的乘积或者逆都在这个矩阵群里，并且每个矩阵的逆矩阵等于它的转置。

以上~