一维插值法在MATLAB中的实现

「爱情、让人受尽委屈。」 2021-11-02 09:06 323阅读 0赞

从已知的一些离散数据点及其函数值，即函数的列表法表示，推求出未知点上函数值的所谓插值方法，在科技工作中应用十分广泛，如查对数表、三解函数表中都会遇到这类插值问题。MATLAB中设有许多插值命令，以下介绍最常用的一元函数插值命令。

**一元函数的插值命令**

该命令的调用格式为：

![20190813105815842.png][]

(1)  输入参数x和y为已知的两个同维向量，满足函数![20190813110513799.png][]  关系，它们是“造表”的根据。

(2)输出量![20190813110949957.png][] 是与![20190813111030477.png][] 对应的函数值。插值点![20190813111034199.png][] 可以是数值、向量、矩阵，![20190813110949957.png][]与![20190813111030477.png][]维数相同。

其中y可以是矩阵，x,可以缺省，如果x缺省的话，那么默认x为自然数1到n，n为y矩阵的维数。

如果y为矩阵，那么y的各列将以x为公共的横坐标，计算多个（等于y的列数，size(y,2)）插值函数。

输出值![20190813110949957.png][]将是![20190813111030477.png][]维数*×* size(y,2)矩阵。超出范围![20190813112125975.png][] 的![20190813111030477.png][]值，![20190813110949957.png][]将返回NaN。对于nearest与linear方法，如果插值点![20190813111030477.png][]在区间范围之外，则系统返回NaN(不是一个数)，对于其他方法,系统将对超出范围的值进行外推运算。

yi=interp1(x,y,xi,method,'extrap')    利用指定的方法对超出范围的值进行外推计算

yi=interp1(x,y,xi,method,extrapval)   返回标量extrapval为超处范围值

pp=interp1(x,y,method,'pp')    利用指定的方法产生分段多项式

（3）用单引号括起来的method有五种方法可供选择：

① nearest:线性最近项插值，用直角折线连接各样本点

② linear:线性插值（默认），用直线依次连接各样本点，形成折线。省略‘method’时，即默认此项。

③ spline:三次样条插值，用分段三次多项式曲线光滑地连接相邻样本点，整体上具有函数、一阶和二阶导数连续性。

④ pchip:分段三次埃尔米特（Hermite）插值，用分段三次多项式Hermite插值曲线，依次连接相邻样本点。

⑤ cubic:双三次插值

这几种方法在速度、平滑性、内存使用方面有所区别，在使用时可以根据实际需要进行选择。包括：

1）最临近插值是最快的方法，但是使用它得到的结果平滑性最差。

2）线性插值要比最邻近插值占用更多的内存，运行时间略长。与最近邻插值不同，它生成的结果是连续的，但在顶点处会有坡度变化。

3）三次插值需要更多的内存，而且运行时间比最邻近法和线性插值要长。但是，在使用此法时，插值数据及其导数都是连续的。

4）三次样条插值的运行时间相对来说最长，内存消耗比三次插值略少。它生成的结果平滑性最好。

例1.利用interp1函数对y=sin(x)进行线性及样条插值。

clear all;
    x=0:pi/4:2*pi;
    y=sin(x);
    xi=0:pi/16:2*pi;
    figure
    yi=interp1(x,y,xi);     %默认线性插值
    plot(x,y,'o',xi,yi,':.');  
    xlim([0 2 *pi]);
    title('默认线性插值');
    %实现样条插值
    figure
    yi2=interp1(x,y,xi,'spline');    %样条插值
    plot(x,y,'o',xi,yi2,':.');
    xlim([0 2 *pi]);
    title('样条插值');

线性插值效果：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xodzE5OTMxMjAx_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

样条插值效果：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xodzE5OTMxMjAx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1][]

例2.对下表的7个离散数据点分别进行最邻近插值、三次样条插值、分段三次插值，并画出相应的折线图。

x = [1 2 3 4 5 6 7];
    y = [3.5 2.1 1.3 0.8 2.9 4.2 5.7];
    xi=1:0.5:7;
    y1=interp1(x,y,xi,'nearest');
    y2=interp1(x,y,xi,'spline');
    y3=interp1(x,y,xi,'cubic');
    plot(x,y,'ro',xi,y1,xi,y2,xi,y3);
    legend('插值节点','最近邻插值','三次样条插值','分段三次插值')

运行程序效果图：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xodzE5OTMxMjAx_size_16_color_FFFFFF_t_70 2][]

[20190813105815842.png]: /images/20211101/ad7d3a039d714c818950ef2b671ee2a7.png
[20190813110513799.png]: /images/20211101/113a7fa5f4e14fe4ba52c4d271b6ef18.png
[20190813110949957.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20190813110949957.png
[20190813111030477.png]: /images/20211101/fcbaf9e8555a478c8b37c3f29526ce85.png
[20190813111034199.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20190813111034199.png
[20190813112125975.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/20190813112125975.png
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[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2xodzE5OTMxMjAx_size_16_color_FFFFFF_t_70 1]: /images/20211101/84f5e76b9a214551b8eef0bdca939af3.png
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