来自北京大学NOIP金牌选手yxc的常用代码模板4——数学知识

女爷i 2021-07-24 11:54 438阅读 0赞

### 目录 ###

*   *  数学知识
     *   *  1.试除法判定质数
         *  2.试除法分解质因数
         *  3.朴素筛法求素数
         *  4.线性筛法求素数
         *  5.试除法求所有约数
         *  6.约数个数和约数之和
         *  7.欧几里得算法
         *  8.筛法求欧拉函数
         *  9.快速幂
         *  10.扩展欧几里得算法
         *  11.高斯消元
         *  12.Lucas定理
         *  13.分解质因数法求组合数
         *  14.卡特兰数
         *  15.NIM游戏
         *  16.公平组合游戏ICG
         *  17.有向图游戏

## 数学知识 ##

### 1.试除法判定质数 ###

bool is_prime(int x)
    { 
        if (x < 2) return false;
        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
            if (x % i == 0)
                return false;
        return true;
    }

### 2.试除法分解质因数 ###

void divide(int x)
    { 
        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
            if (x % i == 0)
            { 
                int s = 0;
                while (x % i == 0) x /= i, s ++ ;
                cout << i << ' ' << s << endl;
            }
        if (x > 1) cout << x << ' ' << 1 << endl;
        cout << endl;
    }

### 3.朴素筛法求素数 ###

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
    bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
    
    void get_primes(int n)
    { 
        for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        { 
            if (st[i]) continue;
            primes[cnt ++ ] = i;
            for (int j = i + i; j <= n; j += i)
                st[j] = true;
        }
    }

### 4.线性筛法求素数 ###

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
    bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
    
    void get_primes(int n)
    { 
        for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        { 
            if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
            for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
            { 
                st[primes[j] * i] = true;
                if (i % primes[j] == 0) break;
            }
        }
    }

### 5.试除法求所有约数 ###

vector<int> get_divisors(int x)
    { 
        vector<int> res;
        for (int i = 1; i <= x / i; i ++ )
            if (x % i == 0)
            { 
                res.push_back(i);
                if (i != x / i) res.push_back(x / i);
            }
        sort(res.begin(), res.end());
        return res;
    }

### 6.约数个数和约数之和 ###

如果 `N = p1^c1 * p2^c2 * ... *pk^ck`  
约数个数：`(c1 + 1) * (c2 + 1) * ... * (ck + 1)`  
约数之和： (`p1^0 + p1^1 + ... + p1^c1) * ... * (pk^0 + pk^1 + ... + pk^ck)`

### 7.欧几里得算法 ###

int gcd(int a, int b)
    { 
        return b ? gcd(b, a % b) : a;
    }
    求欧拉函数 —— 模板题 AcWing 873. 欧拉函数
    int phi(int x)
    { 
        int res = x;
        for (int i = 2; i <= x / i; i ++ )
            if (x % i == 0)
            { 
                res = res / i * (i - 1);
                while (x % i == 0) x /= i;
            }
        if (x > 1) res = res / x * (x - 1);
    
        return res;
    }

### 8.筛法求欧拉函数 ###

int primes[N], cnt;     // primes[]存储所有素数
    int euler[N];           // 存储每个数的欧拉函数
    bool st[N];         // st[x]存储x是否被筛掉
    
    
    void get_eulers(int n)
    { 
        euler[1] = 1;
        for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        { 
            if (!st[i])
            { 
                primes[cnt ++ ] = i;
                euler[i] = i - 1;
            }
            for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
            { 
                int t = primes[j] * i;
                st[t] = true;
                if (i % primes[j] == 0)
                { 
                    euler[t] = euler[i] * primes[j];
                    break;
                }
                euler[t] = euler[i] * (primes[j] - 1);
            }
        }
    }

### 9.快速幂 ###

求 `m^k mod p`，时间复杂度`O(logk)`。

int qmi(int m, int k, int p)
    { 
        int res = 1 % p, t = m;
        while (k)
        { 
            if (k&1) res = res * t % p;
            t = t * t % p;
            k >>= 1;
        }
        return res;
    }

### 10.扩展欧几里得算法 ###

// 求x, y，使得ax + by = gcd(a, b)
    int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
    { 
        if (!b)
        { 
            x = 1; y = 0;
            return a;
        }
        int d = exgcd(b, a % b, y, x);
        y -= (a/b) * x;
        return d;
    }

### 11.高斯消元 ###

**递归法求组合数**

// c[a][b] 表示从a个苹果中选b个的方案数
    for (int i = 0; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j <= i; j ++ )
            if (!j) c[i][j] = 1;
            else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;

**通过预处理逆元的方式求组合数**  
首先预处理出所有阶乘取模的余数`fact[N]`，以及所有阶乘取模的逆元`infact[N]`  
如果取模的数是质数，可以用费马小定理求逆元

int qmi(int a, int k, int p)    // 快速幂模板
    { 
        int res = 1;
        while (k)
        { 
            if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
            a = (LL)a * a % p;
            k >>= 1;
        }
        return res;
    }
    
    // 预处理阶乘的余数和阶乘逆元的余数
    fact[0] = infact[0] = 1;
    for (int i = 1; i < N; i ++ )
    { 
        fact[i] = (LL)fact[i - 1] * i % mod;
        infact[i] = (LL)infact[i - 1] * qmi(i, mod - 2, mod) % mod;
    }

### 12.Lucas定理 ###

若`p`是质数，则对于任意整数 `1 <= m <= n`，有：  
`C(n, m) = C(n % p, m % p) * C(n / p, m / p) (mod p)`

int qmi(int a, int k)       // 快速幂模板
    { 
        int res = 1;
        while (k)
        { 
            if (k & 1) res = (LL)res * a % p;
            a = (LL)a * a % p;
            k >>= 1;
        }
        return res;
    }
    
    
    int C(int a, int b)     // 通过定理求组合数C(a, b)
    { 
        int res = 1;
        for (int i = 1, j = a; i <= b; i ++, j -- )
        { 
            res = (LL)res * j % p;
            res = (LL)res * qmi(i, p - 2) % p;
        }
        return res;
    }
    
    
    int lucas(LL a, LL b)
    { 
        if (a < p && b < p) return C(a, b);
        return (LL)C(a % p, b % p) * lucas(a / p, b / p) % p;
    }

### 13.分解质因数法求组合数 ###

当我们需要求出组合数的真实值，而非对某个数的余数时，分解质因数的方式比较好用：  
1. 筛法求出范围内的所有质数  
2. 通过`C(a, b) = a! / b! / (a - b)`! 这个公式求出每个质因子的次数。 `n!`中`p`的次数是`n / p + n / p^2 + n / p^3 + ...`  
3. 用高精度乘法将所有质因子相乘

int primes[N], cnt;     // 存储所有质数
    int sum[N];     // 存储每个质数的次数
    bool st[N];     // 存储每个数是否已被筛掉
    
    
    void get_primes(int n)      // 线性筛法求素数
    { 
        for (int i = 2; i <= n; i ++ )
        { 
            if (!st[i]) primes[cnt ++ ] = i;
            for (int j = 0; primes[j] <= n / i; j ++ )
            { 
                st[primes[j] * i] = true;
                if (i % primes[j] == 0) break;
            }
        }
    }
    
    
    int get(int n, int p)       // 求n！中的次数
    { 
        int res = 0;
        while (n)
        { 
            res += n / p;
            n /= p;
        }
        return res;
    }
    
    
    vector<int> mul(vector<int> a, int b)       // 高精度乘低精度模板
    { 
        vector<int> c;
        int t = 0;
        for (int i = 0; i < a.size(); i ++ )
        { 
            t += a[i] * b;
            c.push_back(t % 10);
            t /= 10;
        }
    
        while (t)
        { 
            c.push_back(t % 10);
            t /= 10;
        }
    
        return c;
    }
    
    get_primes(a);  // 预处理范围内的所有质数
    
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 求每个质因数的次数
    { 
        int p = primes[i];
        sum[i] = get(a, p) - get(b, p) - get(a - b, p);
    }
    
    vector<int> res;
    res.push_back(1);
    
    for (int i = 0; i < cnt; i ++ )     // 用高精度乘法将所有质因子相乘
        for (int j = 0; j < sum[i]; j ++ )
            res = mul(res, primes[i]);

### 14.卡特兰数 ###

给定`n`个0和`n`个1，它们按照某种顺序排成长度为`2n`的序列，满足任意前缀中0的个数都不少于1的个数的序列的数量为： `Cat(n) = C(2n, n) / (n + 1)`

### 15.NIM游戏 ###

给定`N`堆物品，第`i`堆物品有`Ai`个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先手是否必胜。

我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，都会输掉游戏，则称该局面必败。  
所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。  
NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。

定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 `A1 ^ A2 ^ … ^ An != 0`

### 16.公平组合游戏ICG ###

若一个游戏满足：

由两名玩家交替行动；  
在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；  
不能行动的玩家判负；  
则称该游戏为一个公平组合游戏。  
NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为围棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。

### 17.有向图游戏 ###

给定一个有向无环图，图中有一个唯一的起点，在起点上放有一枚棋子。两名玩家交替地把这枚棋子沿有向边进行移动，每次可以移动一步，无法移动者判负。该游戏被称为有向图游戏。  
任何一个公平组合游戏都可以转化为有向图游戏。具体方法是，把每个局面看成图中的一个节点，并且从每个局面向沿着合法行动能够到达的下一个局面连有向边。

**Mex运算**  
设`S`表示一个非负整数集合。定义`mex(S)`为求出不属于集合S的最小非负整数的运算，即：  
`mex(S) = min{x}`, `x`属于自然数，且`x`不属于`S`

**SG函数**  
在有向图游戏中，对于每个节点`x`，设从x出发共有k条有向边，分别到达节点`y1, y2, …, yk`，定义`SG(x)`为`x`的后继节点`y1, y2, …, yk` 的`SG`函数值构成的集合再执行`mex(S)`运算的结果，即：  
`SG(x) = mex({SG(y1), SG(y2), …, SG(yk)})`  
特别地，整个有向图游戏`G`的`SG`函数值被定义为有向图游戏起点s的SG函数值，即`SG(G) = SG(s)`。

**有向图游戏的和**  
设`G1, G2, …, Gm` 是`m`个有向图游戏。定义有向图游戏`G`，它的行动规则是任选某个有向图游戏`Gi`，并在`Gi`上行动一步。`G`被称为有向图游戏`G1, G2, …, Gm`的和。  
有向图游戏的和的`SG`函数值等于它包含的各个子游戏`SG`函数值的异或和，即：  
`SG(G) = SG(G1) ^ SG(G2) ^ … ^ SG(Gm)`

**定理**  
有向图游戏的某个局面必胜，当且仅当该局面对应节点的`SG`函数值大于0。  
有向图游戏的某个局面必败，当且仅当该局面对应节点的`SG`函数值等于0。