来自北京大学NOIP金牌选手yxc的常用代码模板3——搜索与图论

待我称王封你为后i 2021-07-25 02:39 403阅读 0赞

### 目录 ###

*   *  搜索与图论
     *   *  1.树与图的存储
         *  2.树与图的遍历
         *  3.拓扑排序
         *  4.朴素dijkstra算法
         *  5.堆优化版dijkstra
         *  6.Bellman-Ford算法
         *  7.spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
         *  8.spfa判断图中是否存在负环
         *  9.floyd算法
         *  10.朴素版prim算法
         *  11.Kruskal算法
         *  12.染色法判别二分图
         *  13.匈牙利算法

## 搜索与图论 ##

### 1.树与图的存储 ###

树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。  
对于无向图中的边`a,b`，存储两条有向边`a->b`, `b->a`。  
因此我们可以只考虑有向图的存储。

(1) 邻接矩阵：`g[a][b]`存储边`a->b`

(2) 邻接表：

// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
    int h[N], e[N], ne[N], idx;
    
    // 添加一条边a->b
    void add(int a, int b)
    { 
        e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
    }
    
    // 初始化
    idx = 0;
    memset(h, -1, sizeof h);

### 2.树与图的遍历 ###

时间复杂度 `O(n+m)`, `n` 表示点数，`m` 表示边数  
**(1) 深度优先遍历**

int dfs(int u)
    { 
        st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过
    
        for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
        { 
            int j = e[i];
            if (!st[j]) dfs(j);
        }
    }

**(2) 宽度优先遍历**

queue<int> q;
    st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
    q.push(1);
    
    while (q.size())
    { 
        int t = q.front();
        q.pop();
    
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        { 
            int j = e[i];
            if (!st[j])
            { 
                st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
                q.push(j);
            }
        }
    }

### 3.拓扑排序 ###

时间复杂度 `O(n+m)`, `n`表示点数，`m` 表示边数

bool topsort()
    { 
        int hh = 0, tt = -1;
    
        // d[i] 存储点i的入度
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            if (!d[i])
                q[ ++ tt] = i;
    
        while (hh <= tt)
        { 
            int t = q[hh ++ ];
    
            for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
            { 
                int j = e[i];
                if (-- d[j] == 0)
                    q[ ++ tt] = j;
            }
        }
    
        // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
        return tt == n - 1;
    }

### 4.朴素dijkstra算法 ###

时间复杂是 `O(n^2+m)` `n` 表示点数，`m` 表示边数

int g[N][N];  // 存储每条边
    int dist[N];  // 存储1号点到每个点的最短距离
    bool st[N];   // 存储每个点的最短路是否已经确定
    
    // 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
    int dijkstra()
    { 
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        dist[1] = 0;
    
        for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
        { 
            int t = -1;     // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                    t = j;
    
            // 用t更新其他点的距离
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
    
            st[t] = true;
        }
    
        if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
        return dist[n];
    }

### 5.堆优化版dijkstra ###

时间复杂度 `O(mlogn)`, `n`表示点数，`m` 表示边数  
`typedef pair<int, int> PII`;

int n;      // 点的数量
    int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
    int dist[N];        // 存储所有点到1号点的距离
    bool st[N];     // 存储每个点的最短距离是否已确定
    
    // 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
    int dijkstra()
    { 
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        dist[1] = 0;
        priority_queue<PII, vector<PII>, greater<PII>> heap;
        heap.push({ 0, 1});      // first存储距离，second存储节点编号
    
        while (heap.size())
        { 
            auto t = heap.top();
            heap.pop();
    
            int ver = t.second, distance = t.first;
    
            if (st[ver]) continue;
            st[ver] = true;
    
            for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
            { 
                int j = e[i];
                if (dist[j] > distance + w[i])
                { 
                    dist[j] = distance + w[i];
                    heap.push({ dist[j], j});
                }
            }
        }
    
        if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
        return dist[n];
    }

### 6.Bellman-Ford算法 ###

时间复杂度 `O(nm)`, `n` 表示点数，`m` 表示边数

int n, m;       // n表示点数，m表示边数
    int dist[N];        // dist[x]存储1到x的最短路距离
    
    struct Edge     // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
    { 
        int a, b, w;
    }edges[M];
    
    // 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
    int bellman_ford()
    { 
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        dist[1] = 0;
    
        // 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        { 
            for (int j = 0; j < m; j ++ )
            { 
                int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
                if (dist[b] > dist[a] + w)
                    dist[b] = dist[a] + w;
            }
        }
    
        if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
        return dist[n];
    }

### 7.spfa 算法（队列优化的Bellman-Ford算法） ###

时间复杂度 平均情况下 `O(m)`，最坏情况下 `O(nm)`, `n`表示点数，`m` 表示边数

int n;      // 总点数
    int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
    int dist[N];        // 存储每个点到1号点的最短距离
    bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中
    
    // 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
    int spfa()
    { 
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
        dist[1] = 0;
    
        queue<int> q;
        q.push(1);
        st[1] = true;
    
        while (q.size())
        { 
            auto t = q.front();
            q.pop();
    
            st[t] = false;
    
            for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
            { 
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[t] + w[i])
                { 
                    dist[j] = dist[t] + w[i];
                    if (!st[j])     // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
                    { 
                        q.push(j);
                        st[j] = true;
                    }
                }
            }
        }
    
        if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
        return dist[n];
    }

### 8.spfa判断图中是否存在负环 ###

时间复杂度是 `O(nm)`, `n` 表示点数，`m`表示边数

int n;      // 总点数
    int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx;       // 邻接表存储所有边
    int dist[N], cnt[N];        // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
    bool st[N];     // 存储每个点是否在队列中
    
    // 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
    bool spfa()
    { 
        // 不需要初始化dist数组
        // 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
    
        queue<int> q;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        { 
            q.push(i);
            st[i] = true;
        }
    
        while (q.size())
        { 
            auto t = q.front();
            q.pop();
    
            st[t] = false;
    
            for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
            { 
                int j = e[i];
                if (dist[j] > dist[t] + w[i])
                { 
                    dist[j] = dist[t] + w[i];
                    cnt[j] = cnt[t] + 1;
                    if (cnt[j] >= n) return true;       // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
                    if (!st[j])
                    { 
                        q.push(j);
                        st[j] = true;
                    }
                }
            }
        }
    
        return false;
    }

### 9.floyd算法 ###

时间复杂度是 O(n3)O(n3), nn 表示点数
    初始化：
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                if (i == j) d[i][j] = 0;
                else d[i][j] = INF;
    
    // 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
    void floyd()
    { 
        for (int k = 1; k <= n; k ++ )
            for (int i = 1; i <= n; i ++ )
                for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                    d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
    }

### 10.朴素版prim算法 ###

时间复杂度是 `O(n2+m)`, `n` 表示点数，`m` 表示边数

int n;      // n表示点数
    int g[N][N];        // 邻接矩阵，存储所有边
    int dist[N];        // 存储其他点到当前最小生成树的距离
    bool st[N];     // 存储每个点是否已经在生成树中
    
    
    // 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
    int prim()
    { 
        memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
    
        int res = 0;
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        { 
            int t = -1;
            for (int j = 1; j <= n; j ++ )
                if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
                    t = j;
    
            if (i && dist[t] == INF) return INF;
    
            if (i) res += dist[t];
            st[t] = true;
    
            for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
        }
    
        return res;
    }

### 11.Kruskal算法 ###

时间复杂度是 `O(mlogm)`, `n` 表示点数，`m` 表示边数

int n, m;       // n是点数，m是边数
    int p[N];       // 并查集的父节点数组
    
    struct Edge     // 存储边
    { 
        int a, b, w;
    
        bool operator< (const Edge &W)const
        { 
            return w < W.w;
        }
    }edges[M];
    
    int find(int x)     // 并查集核心操作
    { 
        if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
        return p[x];
    }
    
    int kruskal()
    { 
        sort(edges, edges + m);
    
        for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i;    // 初始化并查集
    
        int res = 0, cnt = 0;
        for (int i = 0; i < m; i ++ )
        { 
            int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
    
            a = find(a), b = find(b);
            if (a != b)     // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
            { 
                p[a] = b;
                res += w;
                cnt ++ ;
            }
        }
    
        if (cnt < n - 1) return INF;
        return res;
    }

### 12.染色法判别二分图 ###

时间复杂度是 `O(n+m)`, `n` 表示点数，`m` 表示边数

int n;      // n表示点数
    int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储图
    int color[N];       // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色
    
    // 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
    bool dfs(int u, int c)
    { 
        color[u] = c;
        for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
        { 
            int j = e[i];
            if (color[j] == -1)
            { 
                if (!dfs(j, !c)) return false;
            }
            else if (color[j] == c) return false;
        }
    
        return true;
    }
    
    bool check()
    { 
        memset(color, -1, sizeof color);
        bool flag = true;
        for (int i = 1; i <= n; i ++ )
            if (color[i] == -1)
                if (!dfs(i, 0))
                { 
                    flag = false;
                    break;
                }
        return flag;
    }

### 13.匈牙利算法 ###

时间复杂度是 `O(nm)`, `n` 表示点数，`m` 表示边数

int n1, n2;     // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
    int h[N], e[M], ne[M], idx;     // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
    int match[N];       // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
    bool st[N];     // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过
    
    bool find(int x)
    { 
        for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
        { 
            int j = e[i];
            if (!st[j])
            { 
                st[j] = true;
                if (match[j] == 0 || find(match[j]))
                { 
                    match[j] = x;
                    return true;
                }
            }
        }
    
        return false;
    }
    
    // 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
    { 
        memset(st, false, sizeof st);
        if (find(i)) res ++ ;
    }