【动态规划】代码随想录算法训练营第五十一天 | 309.最佳买卖股票时机含冷冻期， 714.买卖股票的最佳时机含手续费，总结（待补充）

àì夳堔傛蜴生んèń 2024-04-23 04:34 73阅读 0赞

## 309.最佳买卖股票时机含冷冻期 ##

1、题目链接：[. - 力扣（LeetCode）][. - _LeetCode]

2、文章讲解：[代码随想录][Link 1]

3、题目：

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。

设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:

*  你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
 *  卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

示例:

*  输入: \[1,2,3,0,2\]
 *  输出: 3
 *  解释: 对应的交易状态为: \[买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出\]

4、视频链接：

[动态规划来决定最佳时机，这次有冷冻期！| LeetCode：309.买卖股票的最佳时机含冷冻期\_哔哩哔哩\_bilibili][LeetCode_309._bilibili]

class Solution {
        public int maxProfit(int[] prices) {
            if (prices == null || prices.length < 2) {
                return 0;
            }
            int[][] dp = new int[prices.length][2];
    
            // bad case
            dp[0][0] = 0;
            dp[0][1] = -prices[0];
            dp[1][0] = Math.max(dp[0][0], dp[0][1] + prices[1]);
            dp[1][1] = Math.max(dp[0][1], -prices[1]);
    
            for (int i = 2; i < prices.length; i++) {
                // dp公式
                dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
                dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 2][0] - prices[i]);
            }
    
            return dp[prices.length - 1][0];
        }
    }

## 714.买卖股票的最佳时机含手续费 ##

1、题目链接：[. - 力扣（LeetCode）][. - _LeetCode 1]

2、文章讲解：[代码随想录][Link 2]

3、题目：

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。

你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。

返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

示例 1:

*  输入: prices = \[1, 3, 2, 8, 4, 9\], fee = 2
 *  输出: 8

解释: 能够达到的最大利润:

*  在此处买入 prices\[0\] = 1
 *  在此处卖出 prices\[3\] = 8
 *  在此处买入 prices\[4\] = 4
 *  在此处卖出 prices\[5\] = 9
 *  总利润: ((8 - 1) - 2) + ((9 - 4) - 2) = 8.

注意:

*  0 < prices.length <= 50000.
 *  0 < prices\[i\] < 50000.
 *  0 <= fee < 50000

4、视频链接：

[动态规划来决定最佳时机，这次含手续费！| LeetCode：714.买卖股票的最佳时机含手续费\_哔哩哔哩\_bilibili][LeetCode_714._bilibili]

class Solution {
        public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
            int[] dp = new int[2];
            dp[0] = -prices[0];
            dp[1] = 0;
            for (int i = 1; i <= prices.length; i++) {
                dp[0] = Math.max(dp[0], dp[1] - prices[i - 1]);
                dp[1] = Math.max(dp[1], dp[0] + prices[i - 1] - fee);
            }
            return dp[1];
        }
    }

## 总结 ##

之前我们已经把力扣上股票系列的题目都讲过的，但没有来一篇股票总结，来帮大家高屋建瓴，所以总结篇这就来了！

![e17edd979e87926c228e27ae87be85aa.jpeg][]

*  [动态规划：121.买卖股票的最佳时机(opens new window)][121._opens new window]
 *  [动态规划：122.买卖股票的最佳时机II(opens new window)][122._II_opens new window]
 *  [动态规划：123.买卖股票的最佳时机III(opens new window)][123._III_opens new window]
 *  [动态规划：188.买卖股票的最佳时机IV(opens new window)][188._IV_opens new window]
 *  [动态规划：309.最佳买卖股票时机含冷冻期(opens new window)][309._opens new window]
 *  [动态规划：714.买卖股票的最佳时机含手续费(opens new window)][714._opens new window]

### [\#][Link 3]卖股票的最佳时机 ###

[动态规划：121.买卖股票的最佳时机(opens new window)][121._opens new window]，**股票只能买卖一次，问最大利润**。

【贪心解法】

取最左最小值，取最右最大值，那么得到的差值就是最大利润，代码如下：

class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices) {
            int low = INT_MAX;
            int result = 0;
            for (int i = 0; i < prices.size(); i++) {
                low = min(low, prices[i]);  // 取最左最小价格
                result = max(result, prices[i] - low); // 直接取最大区间利润
            }
            return result;
        }
    };

【动态规划】

*  dp\[i\]\[0\] 表示第i天持有股票所得现金。
 *  dp\[i\]\[1\] 表示第i天不持有股票所得现金。

如果第i天持有股票即dp\[i\]\[0\]， 那么可以由两个状态推出来

*  第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp\[i - 1\]\[0\]
 *  第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices\[i\] 所以dp\[i\]\[0\] = max(dp\[i - 1\]\[0\], -prices\[i\]);

如果第i天不持有股票即dp\[i\]\[1\]， 也可以由两个状态推出来

*  第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp\[i - 1\]\[1\]
 *  第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices\[i\] + dp\[i - 1\]\[0\] 所以dp\[i\]\[1\] = max(dp\[i - 1\]\[1\], prices\[i\] + dp\[i - 1\]\[0\]);

代码如下：

// 版本一
    class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices) {
            int len = prices.size();
            if (len == 0) return 0;
            vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2));
            dp[0][0] -= prices[0];
            dp[0][1] = 0;
            for (int i = 1; i < len; i++) {
                dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
            }
            return dp[len - 1][1];
        }
    };

*  时间复杂度：O(n)
 *  空间复杂度：O(n)

使用滚动数组，代码如下：

// 版本二
    class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices) {
            int len = prices.size();
            vector<vector<int>> dp(2, vector<int>(2)); // 注意这里只开辟了一个2 * 2大小的二维数组
            dp[0][0] -= prices[0];
            dp[0][1] = 0;
            for (int i = 1; i < len; i++) {
                dp[i % 2][0] = max(dp[(i - 1) % 2][0], -prices[i]);
                dp[i % 2][1] = max(dp[(i - 1) % 2][1], prices[i] + dp[(i - 1) % 2][0]);
            }
            return dp[(len - 1) % 2][1];
        }
    };

*  时间复杂度：O(n)
 *  空间复杂度：O(1)

### [\#][Link 4]买卖股票的最佳时机II ###

[动态规划：122.买卖股票的最佳时机II(opens new window)][122._II_opens new window]可以多次买卖股票，问最大收益。

【贪心解法】

收集每天的正利润便可，代码如下：

class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices) {
            int result = 0;
            for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
                result += max(prices[i] - prices[i - 1], 0);
            }
            return result;
        }
    };

*  时间复杂度：O(n)
 *  空间复杂度：O(1)

【动态规划】

dp数组定义：

*  dp\[i\]\[0\] 表示第i天持有股票所得现金
 *  dp\[i\]\[1\] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp\[i\]\[0\]， 那么可以由两个状态推出来

*  第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp\[i - 1\]\[0\]
 *  第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp\[i - 1\]\[1\] - prices\[i\]

**注意这里和**[121. 买卖股票的最佳时机(opens new window)][121._opens new window]**唯一不同的地方，就是推导dp\[i\]\[0\]的时候，第i天买入股票的情况**。

在[121. 买卖股票的最佳时机(opens new window)][121._opens new window]中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp\[i\]\[0\]一定就是 -prices\[i\]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

代码如下：（注意代码中的注释，标记了和121.买卖股票的最佳时机唯一不同的地方）

class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices) {
            int len = prices.size();
            vector<vector<int>> dp(len, vector<int>(2, 0));
            dp[0][0] -= prices[0];
            dp[0][1] = 0;
            for (int i = 1; i < len; i++) {
                dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]); // 注意这里是和121. 买卖股票的最佳时机唯一不同的地方。
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i]);
            }
            return dp[len - 1][1];
        }
    };

*  时间复杂度：O(n)
 *  空间复杂度：O(n)

### [\#][Link 5]买卖股票的最佳时机III ###

[动态规划：123.买卖股票的最佳时机III(opens new window)][123._III_opens new window]最多买卖两次，问最大收益。

【动态规划】

一天一共就有五个状态，

1.  没有操作
2.  第一次买入
3.  第一次卖出
4.  第二次买入
5.  第二次卖出

dp\[i\]\[j\]中 i表示第i天，j为 \[0 - 4\] 五个状态，dp\[i\]\[j\]表示第i天状态j所剩最大现金。

达到dp\[i\]\[1\]状态，有两个具体操作：

*  操作一：第i天买入股票了，那么dp\[i\]\[1\] = dp\[i-1\]\[0\] - prices\[i\]
 *  操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp\[i\]\[1\] = dp\[i - 1\]\[1\]

dp\[i\]\[1\] = max(dp\[i-1\]\[0\] - prices\[i\], dp\[i - 1\]\[1\]);

同理dp\[i\]\[2\]也有两个操作：

*  操作一：第i天卖出股票了，那么dp\[i\]\[2\] = dp\[i - 1\]\[1\] + prices\[i\]
 *  操作二：第i天没有操作，沿用前一天卖出股票的状态，即：dp\[i\]\[2\] = dp\[i - 1\]\[2\]

所以dp\[i\]\[2\] = max(dp\[i - 1\]\[1\] + prices\[i\], dp\[i - 1\]\[2\])

同理可推出剩下状态部分：

dp\[i\]\[3\] = max(dp\[i - 1\]\[3\], dp\[i - 1\]\[2\] - prices\[i\]);

dp\[i\]\[4\] = max(dp\[i - 1\]\[4\], dp\[i - 1\]\[3\] + prices\[i\]);

代码如下：

// 版本一
    class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices) {
            if (prices.size() == 0) return 0;
            vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(5, 0));
            dp[0][1] = -prices[0];
            dp[0][3] = -prices[0];
            for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
                dp[i][0] = dp[i - 1][0];
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);
                dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][1] + prices[i]);
                dp[i][3] = max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][2] - prices[i]);
                dp[i][4] = max(dp[i - 1][4], dp[i - 1][3] + prices[i]);
            }
            return dp[prices.size() - 1][4];
        }
    };

*  时间复杂度：O(n)
 *  空间复杂度：O(n × 5)

当然，大家可以看到力扣官方题解里的一种优化空间写法，我这里给出对应的C++版本：

// 版本二
    class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices) {
            if (prices.size() == 0) return 0;
            vector<int> dp(5, 0);
            dp[1] = -prices[0];
            dp[3] = -prices[0];
            for (int i = 1; i < prices.size(); i++) {
                dp[1] = max(dp[1], dp[0] - prices[i]);
                dp[2] = max(dp[2], dp[1] + prices[i]);
                dp[3] = max(dp[3], dp[2] - prices[i]);
                dp[4] = max(dp[4], dp[3] + prices[i]);
            }
            return dp[4];
        }
    };

*  时间复杂度：O(n)
 *  空间复杂度：O(1)

**这种写法看上去简单，其实思路很绕，不建议大家这么写，这么思考，很容易把自己绕进去！** 对于本题，把版本一的写法研究明白，足以！

### [\#][Link 6]买卖股票的最佳时机IV ###

[动态规划：188.买卖股票的最佳时机IV(opens new window)][188._IV_opens new window]最多买卖k笔交易，问最大收益。

使用二维数组 dp\[i\]\[j\] ：第i天的状态为j，所剩下的最大现金是dp\[i\]\[j\]

j的状态表示为：

*  0 表示不操作
 *  1 第一次买入
 *  2 第一次卖出
 *  3 第二次买入
 *  4 第二次卖出
 *  .....

**除了0以外，偶数就是卖出，奇数就是买入**。

1.  确定递推公式

达到dp\[i\]\[1\]状态，有两个具体操作：

*  操作一：第i天买入股票了，那么dp\[i\]\[1\] = dp\[i - 1\]\[0\] - prices\[i\]
 *  操作二：第i天没有操作，而是沿用前一天买入的状态，即：dp\[i\]\[1\] = dp\[i - 1\]\[1\]

dp\[i\]\[1\] = max(dp\[i - 1\]\[0\] - prices\[i\], dp\[i - 1\]\[1\]);

同理dp\[i\]\[2\]也有两个操作：

dp\[i\]\[2\] = max(dp\[i - 1\]\[1\] + prices\[i\], dp\[i - 1\]\[2\])

同理可以类比剩下的状态，代码如下：

for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
        dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
        dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
    }

整体代码如下：

class Solution {
    public:
        int maxProfit(int k, vector<int>& prices) {
    
            if (prices.size() == 0) return 0;
            vector<vector<int>> dp(prices.size(), vector<int>(2 * k + 1, 0));
            for (int j = 1; j < 2 * k; j += 2) {
                dp[0][j] = -prices[0];
            }
            for (int i = 1;i < prices.size(); i++) {
                for (int j = 0; j < 2 * k - 1; j += 2) {
                    dp[i][j + 1] = max(dp[i - 1][j + 1], dp[i - 1][j] - prices[i]);
                    dp[i][j + 2] = max(dp[i - 1][j + 2], dp[i - 1][j + 1] + prices[i]);
                }
            }
            return dp[prices.size() - 1][2 * k];
        }
    };

当然有的解法是定义一个三维数组dp\[i\]\[j\]\[k\]，第i天，第j次买卖，k表示买还是卖的状态，从定义上来讲是比较直观。但感觉三维数组操作起来有些麻烦，直接用二维数组来模拟三维数组的情况，代码看起来也清爽一些。

### [\#][Link 7]最佳买卖股票时机含冷冻期 ###

[动态规划：309.最佳买卖股票时机含冷冻期(opens new window)][309._opens new window]可以多次买卖但每次卖出有冷冻期1天。

相对于[动态规划：122.买卖股票的最佳时机II(opens new window)][122._II_opens new window]，本题加上了一个冷冻期。

在[动态规划：122.买卖股票的最佳时机II(opens new window)][122._II_opens new window]中有两个状态，持有股票后的最多现金，和不持有股票的最多现金。本题则可以花费为四个状态

dp\[i\]\[j\]：第i天状态为j，所剩的最多现金为dp\[i\]\[j\]。

具体可以区分出如下四个状态：

*  状态一：买入股票状态（今天买入股票，或者是之前就买入了股票然后没有操作）
 *  卖出股票状态，这里就有两种卖出股票状态

*   *  状态二：两天前就卖出了股票，度过了冷冻期，一直没操作，今天保持卖出股票状态
     *  状态三：今天卖出了股票

*  状态四：今天为冷冻期状态，但冷冻期状态不可持续，只有一天！

达到买入股票状态（状态一）即：dp\[i\]\[0\]，有两个具体操作：

*  操作一：前一天就是持有股票状态（状态一），dp\[i\]\[0\] = dp\[i - 1\]\[0\]
 *  操作二：今天买入了，有两种情况

*   *  前一天是冷冻期（状态四），dp\[i - 1\]\[3\] - prices\[i\]
     *  前一天是保持卖出股票状态（状态二），dp\[i - 1\]\[1\] - prices\[i\]

所以操作二取最大值，即：max(dp\[i - 1\]\[3\], dp\[i - 1\]\[1\]) - prices\[i\]

那么dp\[i\]\[0\] = max(dp\[i - 1\]\[0\], max(dp\[i - 1\]\[3\], dp\[i - 1\]\[1\]) - prices\[i\]);

达到保持卖出股票状态（状态二）即：dp\[i\]\[1\]，有两个具体操作：

*  操作一：前一天就是状态二
 *  操作二：前一天是冷冻期（状态四）

dp\[i\]\[1\] = max(dp\[i - 1\]\[1\], dp\[i - 1\]\[3\]);

达到今天就卖出股票状态（状态三），即：dp\[i\]\[2\] ，只有一个操作：

*  操作一：昨天一定是买入股票状态（状态一），今天卖出

即：dp\[i\]\[2\] = dp\[i - 1\]\[0\] + prices\[i\];

达到冷冻期状态（状态四），即：dp\[i\]\[3\]，只有一个操作：

*  操作一：昨天卖出了股票（状态三）

p\[i\]\[3\] = dp\[i - 1\]\[2\];

综上分析，递推代码如下：

dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3]- prices[i], dp[i - 1][1]) - prices[i];
    dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
    dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
    dp[i][3] = dp[i - 1][2];

整体代码如下：

class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices) {
            int n = prices.size();
            if (n == 0) return 0;
            vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(4, 0));
            dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], max(dp[i - 1][3], dp[i - 1][1]) - prices[i]);
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][3]);
                dp[i][2] = dp[i - 1][0] + prices[i];
                dp[i][3] = dp[i - 1][2];
            }
            return max(dp[n - 1][3],max(dp[n - 1][1], dp[n - 1][2]));
        }
    };

*  时间复杂度：O(n)
 *  空间复杂度：O(n)

### [\#][Link 8]买卖股票的最佳时机含手续费 ###

[动态规划：714.买卖股票的最佳时机含手续费(opens new window)][714._opens new window]可以多次买卖，但每次有手续费。

相对于[动态规划：122.买卖股票的最佳时机II(opens new window)][122._II_opens new window]，本题只需要在计算卖出操作的时候减去手续费就可以了，代码几乎是一样的。

唯一差别在于递推公式部分，所以本篇也就不按照动规五部曲详细讲解了，主要讲解一下递推公式部分。

这里重申一下dp数组的含义：

dp\[i\]\[0\] 表示第i天持有股票所省最多现金。 dp\[i\]\[1\] 表示第i天不持有股票所得最多现金

如果第i天持有股票即dp\[i\]\[0\]， 那么可以由两个状态推出来

所以：dp\[i\]\[0\] = max(dp\[i - 1\]\[0\], dp\[i - 1\]\[1\] - prices\[i\]);

在来看看如果第i天不持有股票即dp\[i\]\[1\]的情况， 依然可以由两个状态推出来

*  第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp\[i - 1\]\[1\]
 *  第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金，**注意这里需要有手续费了**即：dp\[i - 1\]\[0\] + prices\[i\] - fee

所以：dp\[i\]\[1\] = max(dp\[i - 1\]\[1\], dp\[i - 1\]\[0\] + prices\[i\] - fee);

**本题和**[动态规划：122.买卖股票的最佳时机II(opens new window)][122._II_opens new window]**的区别就是这里需要多一个减去手续费的操作**。

以上分析完毕，代码如下：

class Solution {
    public:
        int maxProfit(vector<int>& prices, int fee) {
            int n = prices.size();
            vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(2, 0));
            dp[0][0] -= prices[0]; // 持股票
            for (int i = 1; i < n; i++) {
                dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
                dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] + prices[i] - fee);
            }
            return max(dp[n - 1][0], dp[n - 1][1]);
        }
    };

*  时间复杂度：O(n)
 *  空间复杂度：O(n)

### [\#][Link 9]总结 ###

至此，股票系列正式剧终，全部讲解完毕！

从买卖一次到买卖多次，从最多买卖两次到最多买卖k次，从冷冻期再到手续费，最后再来一个股票大总结，可以说对股票系列完美收官了。

[. - _LeetCode]: https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/
[Link 1]: https://www.programmercarl.com/0309.%E6%9C%80%E4%BD%B3%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E6%97%B6%E6%9C%BA%E5%90%AB%E5%86%B7%E5%86%BB%E6%9C%9F.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE
[LeetCode_309._bilibili]: https://www.bilibili.com/video/BV1rP4y1D7ku
[. - _LeetCode 1]: https://leetcode.cn/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/
[Link 2]: https://www.programmercarl.com/0714.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BA%E5%90%AB%E6%89%8B%E7%BB%AD%E8%B4%B9%EF%BC%88%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%EF%BC%89.html#%E7%AE%97%E6%B3%95%E5%85%AC%E5%BC%80%E8%AF%BE
[LeetCode_714._bilibili]: https://www.bilibili.com/video/BV1z44y1Z7UR
[e17edd979e87926c228e27ae87be85aa.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/04/23/5f43c30f5f9c4af5ad59f5fcb7586a48.jpeg
[121._opens new window]: https://programmercarl.com/0121.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BA.html
[122._II_opens new window]: https://programmercarl.com/0122.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BAII%EF%BC%88%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%EF%BC%89.html
[123._III_opens new window]: https://programmercarl.com/0123.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BAIII.html
[188._IV_opens new window]: https://programmercarl.com/0188.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BAIV.html
[309._opens new window]: https://programmercarl.com/0309.%E6%9C%80%E4%BD%B3%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E6%97%B6%E6%9C%BA%E5%90%AB%E5%86%B7%E5%86%BB%E6%9C%9F.html
[714._opens new window]: https://programmercarl.com/0714.%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BA%E5%90%AB%E6%89%8B%E7%BB%AD%E8%B4%B9%EF%BC%88%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92%EF%BC%89.html
[Link 3]: https://www.programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92-%E8%82%A1%E7%A5%A8%E9%97%AE%E9%A2%98%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BA
[Link 4]: https://www.programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92-%E8%82%A1%E7%A5%A8%E9%97%AE%E9%A2%98%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BAii
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[Link 8]: https://www.programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92-%E8%82%A1%E7%A5%A8%E9%97%AE%E9%A2%98%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#%E4%B9%B0%E5%8D%96%E8%82%A1%E7%A5%A8%E7%9A%84%E6%9C%80%E4%BD%B3%E6%97%B6%E6%9C%BA%E5%90%AB%E6%89%8B%E7%BB%AD%E8%B4%B9
[Link 9]: https://www.programmercarl.com/%E5%8A%A8%E6%80%81%E8%A7%84%E5%88%92-%E8%82%A1%E7%A5%A8%E9%97%AE%E9%A2%98%E6%80%BB%E7%BB%93%E7%AF%87.html#%E6%80%BB%E7%BB%93