【C++进阶】map和set——中篇（AVL树的学习）

妖狐艹你老母 2024-04-20 06:27 67阅读 0赞

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? ? ? ?

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#### 目录 ####

*  ? 前言
 *  ? 1. AVL树
 *   *  ? 1.1 AVL树的概念
     *  ? 1.2 AVL树节点的定义
     *  ? 1.3 AVL树的插入
     *  ? 1.4 AVL树的旋转
     *  ? 1.5 AVL树的验证
     *  ? 1.6 AVL树的性能
     *  ? 1.7 AVL树的实现

## ? 前言 ##

前面对map/multimap/set/multiset进行了简单的介绍，在其文档介绍中发现，这几个容器有个  
共同点是：**其底层都是按照二叉搜索树来实现的**，但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中  
插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树，时间复杂度会退化成O(N)，因此  
map、set等关联式容器的底层结构是对二叉树进行了平衡处理，即采用平衡树来实现。

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## ? 1. AVL树 ##

### ? 1.1 AVL树的概念 ###

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但**如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下**。因此，两位俄罗斯的数学家G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis在1962年发明了一种解决上述问题的方法：**当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。**

*  一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

![在这里插入图片描述][b36b84f78fde488a8c3406a2867b2b77.png]

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有n个结点，其高度可保持在  
 O ( l o g 2 n ) O(log\_2 n) O(log2n)，搜索时间复杂度O( l o g 2 n log\_2 n log2n)。

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### ? 1.2 AVL树节点的定义 ###

template<class T>
    struct AVLTreeNode
    {
        
    	AVLTreeNode(const T& data)
    		: _pLeft(nullptr)
    		, _pRight(nullptr)
    		, _pParent(nullptr)
    		, _data(data), _bf(0)
    	{
        }
    	
    	AVLTreeNode<T>* _pLeft; // 该节点的左孩子
    	AVLTreeNode<T>* _pRight; // 该节点的右孩子
    	AVLTreeNode<T>* _pParent; // 该节点的双亲
    	T _data;
    	int _bf; // 该节点的平衡因子
    };

--------------------

### ? 1.3 AVL树的插入 ###

AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么  
AVL树的插入过程可以分为两步：

1.  按照二叉搜索树的方式插入新节点
2.  调整节点的平衡因子

![在这里插入图片描述][768305dc68af473fbe64408f9f93e125.png_pic_center]  
pCur插入后，pParent的平衡因子一定需要调整，在插入之前，pParent的平衡因子分为三种情况：  
\-1，0, 1, 分以下两种情况：

1.  如果pCur插入到pParent的左侧，只需给pParent的平衡因子-1即可
2.  如果pCur插入到pParent的右侧，只需给pParent的平衡因子+1即可

此时：pParent的平衡因子可能有三种情况：0，正负1， 正负2

1.  如果pParent的平衡因子为0，说明插入之前pParent的平衡因子为正负1，插入后被调整  
    成0，此时满足AVL树的性质，插入成功
2.  如果pParent的平衡因子为正负1，说明插入前pParent的平衡因子一定为0，插入后被更  
    新成正负1，此时以pParent为根的树的高度增加，需要继续向上更新
3.  如果pParent的平衡因子为正负2，则pParent的平衡因子违反平衡树的性质，需要对其进  
    行旋转处理

pair<Node*,bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
    	{
        
    		if (_root == nullptr)//根节点为空时先new一个新节点
    		{
        
    			_root = new Node(kv);
    			return make_pair(_root, true);
    		}
     
    		Node* cur = _root;
    		Node* parent = nullptr;
    		//先利用while循环去找cur的空位
    		while (cur)
    		{
        
    			if (kv.first > cur->_kv.first)
    			{
        
    				parent = cur;
    				cur = cur->_right;
    			}
    			else if (kv.first < cur->_kv.first)
    			{
        
    				parent = cur;
    				cur = cur->_left;
    			}
    			else
    			{
        
    				return make_pair(cur, false);
    			}
    		}
    		//将cur插入到相应位置
    		cur = new Node(kv);
    		Node* newnode = cur;//用一个newnode记录一下新节点用以返回
    		if (kv.first > parent->_kv.first)
    		{
        
    			parent->_right = cur;//注意三叉链的链接逻辑顺序,等号左右方向不能反，先把cur链接到父节点的右边
    			cur->_parent = parent;//然后再去把父指针知道父节点
    		}
    		else
    		{
        
    			parent->_left = cur;
    			cur->_parent = parent;
    		}
     
    		//进行旋转调整
    		//while(cur!=_root)
    		while (parent)
    		{
        
    			//1.进入循环先对平衡因子进行调整
    			if (cur == parent->_right)
    			{
        
    				parent->_bf++;
    			}
    			else
    			{
        
    				parent->_bf--;
    			}
     
    			//分三种情况向上走
    			if (parent->_bf == 0)//平衡因子等于0不需要调整
    			{
        
    				//为什么不需调整
    				//因为等于0的话，说明底层子树高度不平衡，添加进入新元素后平衡了，只要平衡了高度并没发生变化，不会影响上面的父节点
    				break;
    			}
    			else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
    			{
        
    				//平衡因子等于-1，说明插入新节点后子树的高度不平衡了，需要继续往上迭代查看父节点是否还满足平衡节点
    				cur = parent;
    				parent = parent->_parent;
    			}
    			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
    			{
        
    				if (parent->_bf == -2)//父节点等于-2，说明左边高，触发右旋的情况
    				{
        
    					if (cur->_bf == -1)//cur节点等于-1，说明在cur的左边更高，触发右单旋的情况
    					{
        
    						RotateR(parent);
    					}
    					else//cur等于-1,说明在cur的右边更高，触发左右双旋
    					{
        
    						RotateLR(parent);
    					}
    				}
    				else//父节点等于1，说明右边更高，触发左旋的情况
    				{
        
    					if (cur->_bf == 1)//cur节点等于1时，说明在cur的右边更高，触发右单旋的情况
    					{
        
    						RotateL(parent);
    					}
    					else//cur等于-1,说明在cur的左边更高，触发右左双旋
    					{
        
    						RotateRL(parent);
    					}
    				}
    				//思考：为什么上面在传参数的时候，都是传parent的节点呢？这样的好处是什么呢
     
    				break;//调整完成后break退出循环
    				//这里为什么调整完成过后就可以退出，通过旋转调整平衡因子后，parent节点的平衡因子都为0了，调整过后不需要再向上继续查找了
    			}
    			else
    			{
        
    				assert(false);
    			}
    		}
    		return make_pair(newnode,true);
    	}

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### ? 1.4 AVL树的旋转 ###

如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

*  新节点插入较高左子树的左侧—左左：右单旋

![在这里插入图片描述][d4e7279248c24eb1a91318fa24098345.png]

上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有  
右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

1.  30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
2.  60可能是根节点，也可能是子树

如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点

如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树

void RotateR(Node* parent)//右单旋
    	{
        
    		Node* subL = parent->_left;
    		Node* subLR = subL->_right;
     
    		parent->_left = subLR;
    		if (subLR != nullptr)//注意:这里一定要判断不为空的，因为下面可能会出现空指针的解引用
    		{
        
    			subLR->_parent = parent;
    		}
    		subL->_right = parent;
    		Node* parentParent = parent->_parent;//一定要在改变链接关系之前把这个指针存下来
    		parent->_parent = subL;
    		
    		//if (parentParent == nullptr)或者采用这个条件也是可以的
    		if(parent==_root)
    		{
        
    			_root = subL;
    			_root->_parent = nullptr;
    		}
    		else
    		{
        
    			//这里注意:parent还有父母时，链接之前需要注意判断到底是右孩子还是左孩子
    			if (parentParent->_left == parent)
    				parentParent->_left = subL;
    			else
    				parentParent->_right = subL;
     
    			subL->_parent = parentParent;//最后还要把父指针关系链接上
    		}
     
    		parent->_bf = subL->_bf = 0;//最后右单旋完成后平衡因子都要修改成0
    	}

*  新节点插入较高右子树的右侧—右右：左单旋

![在这里插入图片描述][5067fd604e6b4d02836576b092c8609f.png]

**和右单旋近似，可以参考代码**

void RotateL(Node* parent)
    	{
        
    		Node* subR = parent->_right;
    		Node* subRL = subR->_left;
     
    		//先把subR的左孩子赋值给parent的右节点
    		parent->_right = subRL;
    		if (subRL != nullptr)//注意一定要判断是否为空的情况
    		{
        
    			subRL->_parent = parent;//然后链接parent指针
    		}
     
    		//然后subR的左节点链接上parent
    		subR->_left = parent;
    		Node* parentParent = parent->_parent;//提前记录
    		parent->_parent = subR;
    		//if (parentParent == nullptr)
    		if (parent == _root)
    		{
        
    			_root = subR;
    			_root->_parent = nullptr;
    		}
    		else
    		{
        
    			if (parentParent->_left == parent)
    				parentParent->_left = subR;
    			else
    				parentParent->_right = subR;
     
    			subR->_parent = parentParent;
    		}
     
    		parent->_bf = subR->_bf = 0;
    	}

*  新节点插入较高左子树的右侧—左右：先左单旋再右单旋

![在这里插入图片描述][fa06169cfd614905ad94655784df775a.png]  
将双旋变成单旋后再旋转，即：先对30进行左单旋，然后再对90进行右单旋，旋转完成后再  
考虑平衡因子的更新。

![请添加图片描述][e48688cbaa044aeb88a371a1716a2c84.png]

void RotateLR(Node* parent)
    	{
        
    		Node* subL = parent->_left;
    		Node* subLR = subL->_right;
    		int bf = subLR->_bf;
    		RotateL(parent->_left);//先进行左旋，并注意旋转点为父节点的左节点
    		RotateR(parent);//再进行右旋，此时旋转点为父节点
     
    		if (bf == 0)
    		{
        
    			parent->_bf = 0;
    			subL->_bf = 0;
    			subLR->_bf = 0;
    		}
    		else if (bf == 1)
    		{
        
    			parent->_bf = 0;
    			subL->_bf = -1;
    			subLR->_bf = 0;
    		}
    		else if (bf == -1)
    		{
        
    			parent->_bf = 1;
    			subL->_bf = 0;
    			subLR->_bf = 0;
    		}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
    		else
    		{
        
    			assert(false);
    		}
    	}

*  新节点插入较高右子树的左侧—右左：先右单旋再左单旋

![在这里插入图片描述][a4eb5978e678422589cf241d7ddfbc3a.png]

void RotateRL(Node* parent)
    	{
        
    		Node* subR = parent->_right;
    		Node* subRL = subR->_left;
    		int bf = subRL->_bf;//注意：需要提前存subRL的平衡因子，因为旋转可能引起改变
    		//subRL的平衡因子是双旋的关键节点
     
    		RotateR(parent->_right);//先进行右旋，并注意旋转点为父节点的右节点
    		RotateL(parent);//再进行左旋，此时旋转点为父节点
     
    		if (bf == 0)
    		{
        
    			parent->_bf = 0;
    			subR->_bf = 0;
    			subRL->_bf = 0;
    		}
    		else if (bf == 1)
    		{
        
    			parent->_bf = -1;
    			subR->_bf = 0;
    			subRL->_bf = 0;
    		}
    		else if (bf == -1)
    		{
        
    			parent->_bf = 0;
    			subR->_bf = 1;
    			subRL->_bf = 0;
    		}//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
    		else
    		{
        
    			assert(false);
    		}
    	}

**总结：**  
假如以pParent为根的子树不平衡，即pParent的平衡因子为2或者-2，分以下情况考虑

1.  pParent的平衡因子为2，说明pParent的右子树高，设pParent的右子树的根为pSubR  
    – 当pSubR的平衡因子为1时，执行左单旋  
    – 当pSubR的平衡因子为-1时，执行右左双旋
2.  pParent的平衡因子为-2，说明pParent的左子树高，设pParent的左子树的根为pSubL  
    – 当pSubL的平衡因子为-1是，执行右单旋  
    – 当pSubL的平衡因子为1时，执行左右双旋

旋转完成后，原pParent为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

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### ? 1.5 AVL树的验证 ###

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分两步：

1.  验证其为二叉搜索树  
    – 如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树
2.  验证其为平衡树  
    – 每个节点子树高度差的绝对值不超过1(注意节点中如果没有平衡因子)  
    – 节点的平衡因子是否计算正确

void _Inorder(Node* root)//中序遍历打印每个节点
    	{
        
    		if (root == nullptr)
    			return;
    		_Inorder(root->_left);
    		cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
    		_Inorder(root->_right);
    	}
    	void Inorder()
    	{
        
    		_Inorder(_root);
    		cout << endl;
    	}
     
    	//验证是否为平衡二叉树
    	//1.左子树高度与右子树高度差必须小于1
    	int _Height(Node* root)//求树的高度函数
    	{
        
    		if (root == nullptr)
    		{
        
    			return 0;
    		}
     
    		int leftHeight = _Height(root->_left);//递归去子问题求解
    		int rightHeight = _Height(root->_right);
     
    		return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
    	}
    	bool _IsBalance(Node* root)
    	{
        
    		if (root == nullptr)
    		{
        
    			return true;
    		}
     
    		int leftHeight = _Height(root->_left);
    		int rightHeight = _Height(root->_right);
     
    		// 2.检查一下每颗树的平衡因子是否正确
    		if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
    		{
        
    			cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
    			return false;
    		}
     
    		return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
    			&& _IsBalance(root->_left)
    			&& _IsBalance(root->_right);//分别递归到各自的左右子树再去检查
    	}
    	bool IsAVLTree()
    	{
        
    		return _IsBalance(_root);
    	}

--------------------

### ? 1.6 AVL树的性能 ###

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这  
样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 l o g 2 ( N ) log\_2 (N) log2(N)。

但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

--------------------

### ? 1.7 AVL树的实现 ###

`AVLTree.hpp`

//
    //  AVLTree.hpp
    //  AVLtree
    //
    //  Created by 卜绎皓 on 2022/11/16.
    //
    
    #pragma once
    #include<iostream>
    #include<assert.h>
    #include<string>
    using namespace std;
     
     
    template<class K,class V>
    struct AVLTreeNode
    {
        
        AVLTreeNode<K, V>* _left;
        AVLTreeNode<K, V>* _right;
        AVLTreeNode<K, V>* _parent;//定义成三叉链的形式
        int _bf;//balance factor平衡因子
        pair<K, V> _kv;//用pair同时存K和V两个数据
     
        AVLTreeNode(const pair<K,V>& kv)//节点构造函数
            :_left(nullptr)
            ,_right(nullptr)
            ,_parent(nullptr)
            ,_bf(0)//平衡因子初始给0
            ,_kv(kv)
        {
        }
    };
     
    template<class K,class V>
    class AVLTree
    {
        
        typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
    public:
        AVLTree()
            :_root(nullptr)
        {
        }
        //拷贝构造和赋值拷贝也需要自己实现
        AVLTree(const AVLTree<K,V>& kv)
        {
        
            _root = Copy(kv._root);
        }
        AVLTree<K, V>& operator=(AVLTree<K,V> kv)
        {
        
            swap(_root, kv._root);
            return *this;
        }
        ~AVLTree()
        {
        
            Destroy(_root);
            _root = nullptr;
        }
        Node* Copy(Node* root)
        {
        
            if (root == nullptr)
                return nullptr;
            Node* newroot = new Node(root->_key);//建立新节点
            newroot->_left = Copy(root->_left);//新节点的左右节点再去转换成子问题
            newroot->_right = Copy(root->_right);
            return newroot;//最后返回新节点
        }
        void Destroy(Node* root)
        {
        
            //利用后序遍历去释放节点
            if (root == nullptr)
            {
        
                return;
            }
            Destroy(root->_left);
            Destroy(root->_right);
            delete root;
        }
        V& operator[](const K& key)//重载operator[]
        {
        
            //operator[]的原则是:
            //如果插入成功返回插入都value的引用
            //如果插入失败则返回V类型默认缺省值
            pair<Node*, bool> ret = Insert(make_pair(key, V()));//V采用传匿名对象的方式
            return ret.first->_kv.second;
        }
        Node* Find(const pair<K, V>& kv)//查找函数
        {
        
            Node* cur = _root;
            while (cur)
            {
        
                if (kv.first > cur->_kv.first)
                {
        
                    cur = cur->_right;
                }
                else if (kv.first < cur->_kv.first)
                {
        
                    cur = cur->_left;
                }
                else
                {
        
                    return cur;
                }
            }
            return nullptr;
        }
        void RotateR(Node* parent)//右单旋
        {
        
            Node* subL = parent->_left;
            Node* subLR = subL->_right;
     
            parent->_left = subLR;
            if (subLR != nullptr)//注意:这里一定要判断不为空的，因为下面可能会出现空指针的解引用
            {
        
                subLR->_parent = parent;
            }
            subL->_right = parent;
            Node* parentParent = parent->_parent;//一定要在改变链接关系之前把这个指针存下来
            parent->_parent = subL;
            
            //if (parentParent == nullptr)或者采用这个条件也是可以的
            if(parent==_root)
            {
        
                _root = subL;
                _root->_parent = nullptr;
            }
            else
            {
        
                //这里注意:parent还有父母时，链接之前需要注意判断到底是右孩子还是左孩子
                if (parentParent->_left == parent)
                    parentParent->_left = subL;
                else
                    parentParent->_right = subL;
     
                subL->_parent = parentParent;//最后还要把父指针关系链接上
            }
     
            parent->_bf = subL->_bf = 0;//最后右单旋完成后平衡因子都要修改成0
        }
        void RotateL(Node* parent)
        {
        
            Node* subR = parent->_right;
            Node* subRL = subR->_left;
     
            //先把subR的左孩子赋值给parent的右节点
            parent->_right = subRL;
            if (subRL != nullptr)//注意一定要判断是否为空的情况
            {
        
                subRL->_parent = parent;//然后链接parent指针
            }
     
            //然后subR的左节点链接上parent
            subR->_left = parent;
            Node* parentParent = parent->_parent;//提前记录
            parent->_parent = subR;
            //if (parentParent == nullptr)
            if (parent == _root)
            {
        
                _root = subR;
                _root->_parent = nullptr;
            }
            else
            {
        
                if (parentParent->_left == parent)
                    parentParent->_left = subR;
                else
                    parentParent->_right = subR;
     
                subR->_parent = parentParent;
            }
     
            parent->_bf = subR->_bf = 0;
        }
        void RotateRL(Node* parent)
        {
        
            Node* subR = parent->_right;
            Node* subRL = subR->_left;
            int bf = subRL->_bf;//注意：需要提前存subRL的平衡因子，因为旋转可能引起改变
            //subRL的平衡因子是双旋的关键节点
     
            RotateR(parent->_right);//先进行右旋，并注意旋转点为父节点的右节点
            RotateL(parent);//再进行左旋，此时旋转点为父节点
     
            if (bf == 0)
            {
        
                parent->_bf = 0;
                subR->_bf = 0;
                subRL->_bf = 0;
            }
            else if (bf == 1)
            {
        
                parent->_bf = -1;
                subR->_bf = 0;
                subRL->_bf = 0;
            }
            else if (bf == -1)
            {
        
                parent->_bf = 0;
                subR->_bf = 1;
                subRL->_bf = 0;
            }//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
            else
            {
        
                assert(false);
            }
        }
        void RotateLR(Node* parent)
        {
        
            Node* subL = parent->_left;
            Node* subLR = subL->_right;
            int bf = subLR->_bf;
            RotateL(parent->_left);//先进行左旋，并注意旋转点为父节点的左节点
            RotateR(parent);//再进行右旋，此时旋转点为父节点
     
            if (bf == 0)
            {
        
                parent->_bf = 0;
                subL->_bf = 0;
                subLR->_bf = 0;
            }
            else if (bf == 1)
            {
        
                parent->_bf = 0;
                subL->_bf = -1;
                subLR->_bf = 0;
            }
            else if (bf == -1)
            {
        
                parent->_bf = 1;
                subL->_bf = 0;
                subLR->_bf = 0;
            }//注意这里处理完成过后sunRL的平衡因子一定都是等于0的
            else
            {
        
                assert(false);
            }
        }
        pair<Node*,bool> Insert(const pair<K, V>& kv)
        {
        
            if (_root == nullptr)//根节点为空时先new一个新节点
            {
        
                _root = new Node(kv);
                return make_pair(_root, true);
            }
     
            Node* cur = _root;
            Node* parent = nullptr;
            //先利用while循环去找cur的空位
            while (cur)
            {
        
                if (kv.first > cur->_kv.first)
                {
        
                    parent = cur;
                    cur = cur->_right;
                }
                else if (kv.first < cur->_kv.first)
                {
        
                    parent = cur;
                    cur = cur->_left;
                }
                else
                {
        
                    return make_pair(cur, false);
                }
            }
            //将cur插入到相应位置
            cur = new Node(kv);
            Node* newnode = cur;//用一个newnode记录一下新节点用以返回
            if (kv.first > parent->_kv.first)
            {
        
                parent->_right = cur;//注意三叉链的链接逻辑顺序,等号左右方向不能反，先把cur链接到父节点的右边
                cur->_parent = parent;//然后再去把父指针知道父节点
            }
            else
            {
        
                parent->_left = cur;
                cur->_parent = parent;
            }
     
            //进行旋转调整
            //while(cur!=_root)
            while (parent)
            {
        
                //1.进入循环先对平衡因子进行调整
                if (cur == parent->_right)
                {
        
                    parent->_bf++;
                }
                else
                {
        
                    parent->_bf--;
                }
     
                //分三种情况向上走
                if (parent->_bf == 0)//平衡因子等于0不需要调整
                {
        
                    //为什么不需调整
                    //因为等于0的话，说明底层子树高度不平衡，添加进入新元素后平衡了，只要平衡了高度并没发生变化，不会影响上面的父节点
                    break;
                }
                else if (parent->_bf == -1 || parent->_bf == 1)
                {
        
                    //平衡因子等于-1，说明插入新节点后子树的高度不平衡了，需要继续往上迭代查看父节点是否还满足平衡节点
                    cur = parent;
                    parent = parent->_parent;
                }
                else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
                {
        
                    if (parent->_bf == -2)//父节点等于-2，说明左边高，触发右旋的情况
                    {
        
                        if (cur->_bf == -1)//cur节点等于-1，说明在cur的左边更高，触发右单旋的情况
                        {
        
                            RotateR(parent);
                        }
                        else//cur等于-1,说明在cur的右边更高，触发左右双旋
                        {
        
                            RotateLR(parent);
                        }
                    }
                    else//父节点等于1，说明右边更高，触发左旋的情况
                    {
        
                        if (cur->_bf == 1)//cur节点等于1时，说明在cur的右边更高，触发右单旋的情况
                        {
        
                            RotateL(parent);
                        }
                        else//cur等于-1,说明在cur的左边更高，触发右左双旋
                        {
        
                            RotateRL(parent);
                        }
                    }
                    //思考：为什么上面在传参数的时候，都是传parent的节点呢？这样的好处是什么呢
     
                    break;//调整完成后break退出循环
                    //这里为什么调整完成过后就可以退出，通过旋转调整平衡因子后，parent节点的平衡因子都为0了，调整过后不需要再向上继续查找了
                }
                else
                {
        
                    assert(false);
                }
            }
            return make_pair(newnode,true);
        }
        void _Inorder(Node* root)//中序遍历打印每个节点
        {
        
            if (root == nullptr)
                return;
            _Inorder(root->_left);
            cout << root->_kv.first << ":" << root->_kv.second << endl;
            _Inorder(root->_right);
        }
        void Inorder()
        {
        
            _Inorder(_root);
            cout << endl;
        }
     
        //验证是否为平衡二叉树
        //1.左子树高度与右子树高度差必须小于1
        int _Height(Node* root)//求树的高度函数
        {
        
            if (root == nullptr)
            {
        
                return 0;
            }
     
            int leftHeight = _Height(root->_left);//递归去子问题求解
            int rightHeight = _Height(root->_right);
     
            return rightHeight > leftHeight ? rightHeight + 1 : leftHeight + 1;
        }
        bool _IsBalance(Node* root)
        {
        
            if (root == nullptr)
            {
        
                return true;
            }
     
            int leftHeight = _Height(root->_left);
            int rightHeight = _Height(root->_right);
     
            // 2.检查一下每颗树的平衡因子是否正确
            if (rightHeight - leftHeight != root->_bf)
            {
        
                cout << "平衡因子异常:" << root->_kv.first << endl;
                return false;
            }
     
            return abs(rightHeight - leftHeight) < 2
                && _IsBalance(root->_left)
                && _IsBalance(root->_right);//分别递归到各自的左右子树再去检查
        }
        bool IsAVLTree()
        {
        
            return _IsBalance(_root);
        }
    private:
        Node* _root;
    };

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[Link 1]: https://blog.csdn.net/m0_60338933?type=blog
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