【软考】数据结构 - 树结构 - 平衡二叉搜索树（红黑树）

红太狼 2024-03-26 20:00 73阅读 0赞

## 一、红黑树是什么？ ##

红黑树（Red-Black Tree）是一种具有自平衡特性的二叉搜索树。

## 二、红黑树的特性 ##

### 2.1 红黑树的颜色属性 ###

红黑树得名于它的特性，红黑树会将每个节点标记为红色或黑色。  
红黑树的每个节点上都有一个额外的属性，即颜色属性，  
红黑树每个节点要么是红色，要么是黑色。

红黑树每个叶节点（NIL节点，空节点）是黑色。  
红黑树的根节点必须是黑色。  
如果一个节点是红色的，则它的两个子节点都是黑色的（即不存在两个相邻的红色节点）  
对于每个节点，从该节点到其所有后代叶节点的简单路径上，黑色节点的数量相同。  
从任意节点到其每个叶子节点的所有路径都包含相同数目的黑色节点。  
![在这里插入图片描述][5c58a0c386fe417e8b40b4f744a5e549.png]

### 2.2 平衡性 ###

红黑树在插入、删除等操作中能够自动进行平衡调整，从而保证树的平衡性。  
红黑树为了恢复树的平衡性，采用了一系列规范化操作，包括颜色调整和旋转操作。  
红黑树通过使用颜色和规范化操作来维护树的平衡性。  
红黑树可以在插入、删除等操作中保持树的平衡性。

### 2.3 时间复杂度：O(log n) ###

在任何情况下，红黑树的高度都不会超过O(log n)。  
对于在红黑树中执行查找、插入和删除等操作，其时间复杂度均为O(log n)。  
但在最坏情况下可能会退化为链表结构，时间复杂度为O(n)。因此，在实际应用中，需要对红黑树进行优化，例如使用“颜色翻转”等技术来减少最坏情况的出现。

### 2.4 较好的性能 ###

拥有自平衡性的红黑树是一种高效的数据结构，特别是在需维护大量元素排序时。  
红黑树具有较好的性能，适用于需要频繁进行查找、插入和删除等操作的应用场景。

## 三、红黑树的插入和删除操作 ##

红黑树的插入和删除操作与普通二叉搜索树类似，但需要额外考虑颜色和平衡问题。

### 3.1 红黑树的插入操作 ###

在插入、删除等操作过程中，红黑树可以自动进行旋转和颜色调整，以保证其始终是一棵相对平衡的树。

红黑树的插入操作相对简单，红黑树插入过程中  
【正常插入】首先按照二叉搜索树的插入方法，将新节点插入到树中，  
【颜色调整】然后根据规则将该节点染成红色或黑色，以保持红黑树的性质。  
【旋转】如果插入新节点后破坏了红黑树的性质，需要进行一些旋转操作来恢复树的平衡性。

### 3.2 红黑树的删除操作 ###