【数据结构与算法】平衡二叉树、红黑树

短命女 2022-11-29 12:30 214阅读 0赞

1.树、二叉树  
2.二叉查找树  
**3.平衡二叉树、红黑树**  
4.递归树

### 一，什么是“平衡二叉查找树” ###

1，定义：二叉树中任意一个节点的左右子树的高度相差不能大于1。  
所以：完全二叉树，满二叉树都是平衡二叉树，非完全二叉树也有可能是平衡二叉树。  
2，平衡二叉查找树不仅满足上面平衡二叉树的定义，还满足二叉查找树的特点。

3，发明平衡二叉查找树这类数据结构的初衷是解决普通二叉查找树**在频繁的插入，删除等**动态更新的情况下，出现时间复杂度退化的问题。  
所以，平衡二叉查找树中“平衡”的意思，其实就是让整棵树左右看起来比较“对称”，比较“平衡”，不要出现左子树很高，右子树很矮的情况。这样就能让整颗树的高度相对低一些，相应的插入，删除，查找等操作的效率高一些。

4，若设计一个新的平衡二叉查找树，只要树的高度不比log2n大很多（如树的高度仍然是对数量级的），尽管它不符合严格的平衡二叉查找树的定义，但它仍然可以被认为是一个合格的平衡二叉查找树。

### 二，如何定义一棵“红黑树” ###

1，平衡二叉查找树有很多，如：Splay Tree(伸展树)，Treap（树堆）等，但是我们提到平衡二叉查找树，听到的基本都是红黑树。他的出境率甚至要高于“平衡二叉查找树”这几个字，甚至在有些时刻，默认平衡二叉查找树就是红黑树  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]

2，红黑树：英文“Red-Black-Tree”，简称R-B Tree，有如下特性：  
它是一种不严格的平衡二叉查找树。  
红黑树中的节点，一类别标记为黑色，一类被标记为红色。

*  根节点是黑色的；
 *  每个叶子节点都是黑色的空节点（NIL）,也就是说，叶子节点不存储数据；
 *  任何相邻的节点都不能同时为红色，即红色节点都是被黑色节点隔开的；
 *  每个节点，从该节点到达其可达叶子节点的所有路径，都包含相同数目的黑色节点；
 *

3，二叉查找树很多操作的性能都跟树的高度成正比，一课极其平衡的二叉树（满二叉树或完全二叉树）的高度大约是log2n,所以要证明红黑树是近似平衡的，我们只需要分析，红黑树的高度是否比较稳定地趋近**log2n**就好  
。

4，红黑树的高度分析  
①：首先，若将红色节点从红黑树中去除，那单纯包含黑色节点的红黑树的高度比包含相同节点个数的完全二叉树的高度要小。所以去掉红色节点的“黑树”的高度也不会超过log2n。  
②：在红黑树中，红色节点不能相邻，即有一个红色节点就要至少有一个黑色节点，将它更其他红色节点隔开。  
红黑树中包含最多黑色节点的路径不会超过log2n,所以加入红色节点之后，最长路径不会超过2log2n，即，红黑树的高度近似2log2n  
③：红黑树的高度只比高度平衡的AVL树的高度（log2n）仅仅大了一倍，在性能上下降的并不多。

### 三：工程中大家都喜欢用红黑树这种平衡二叉查找树的原因： ###

①：Treap，Splay Tree，绝大部分情况下，它们操作的效率都很高，但是也无法避免极端情况下时间复杂度的退化。尽管这种情况出现概率不大，但是对于单次操作时间非常敏感的场景来讲，它们不适用。  
②：AVL树是一种高度平衡的二叉树，所以查找的效率非常高，但是，有利有弊，AVL树为了维持这种高度平衡，要付出更多代价，每次插入，删除都要做调整，就比较复杂，耗时。所以有频繁的插入，删除操作的数据集合，使用AVL树的代价就有点高了。  
③：红黑树只是做到了近似平衡，并不是严格的平衡，所以维护平衡的成本上，要比AVL树低。  
所以，红黑树的插入，删除，查找各种操作性能都比较稳定。对于工程应用来说，结果状态可控可预期。

### 四、理解红黑树源码 ###

使用递推思想  
暂时无法理解  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]

### N、问题 ###

**动态数据结构支持动态的数据插入、删除、查找操作，除了红黑树，我们前面还学习过哪些呢？能对比一下各自的优势、劣势，以及应用场景吗？**  
散列表：插入删除查找都是O(1), 是最常用的，但其缺点是不能顺序遍历以及扩容缩容的性能损耗。适用于那些不需要顺序遍历，数据更新不那么频繁的。

跳表：插入删除查找都是O(logn), 并且能顺序遍历。缺点是空间复杂度O(n)。适用于不那么在意内存空间的，其顺序遍历和区间查找非常方便。

红黑树：插入删除查找都是O(logn), 中序遍历即是顺序遍历，稳定。缺点是难以实现，去查找不方便。其实跳表更佳，但红黑树已经用于很多地方了。

[笔记整理来源： 王争 数据结构与算法之美][Link 1]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]: /images/20221124/b31bd72c0523428894a666e20d76fc50.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 1]: /images/20221124/c07f157a66974cc581678c8cbd7b6051.png
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L2RhZG9uZ3d1ZGk_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center 2]: /images/20221124/25eb5bc8fc45453e84075e3a5a15623d.png
[Link 1]: https://s1.ax1x.com/2020/08/03/aUh2TS.png