C语言笔记 | 一元三次方程

不念不忘少年蓝@ 2024-03-23 11:23 65阅读 0赞

**文章目录**

**0x00 前言**

**0x01 问题分析**

**0x02 代码设计**

**0x03 完整代码**

**0x04 运行效果**

**0x05 参考文献**

**0x06 总结**

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#### 0x00 前言 ####

> 在 1545 年，意大利学者卡丹所写的《关于代数的大法》中，提出了一元三次方程的求根公式。人们将其称为卡丹公式。对于标准型的一元三次方程 ax+bx+cx+d=0 （其中 a、b、c、d 属于实数且 a 不等于 0），可以通过变量代换将其转化为 x³+px+q=0 的形式，从而求出其根。

#### 0x01 问题分析 ####

一元三次方程的一般形式：

![ax^\{3\}+bx^\{2\}+cx+d=0(a\\neq 0)][ax_3_bx_2_cx_d_0_a_neq 0]

> 一元三次方程只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数为 3 次的整式方程。其中，*a*，*b*，*c*，*d* 为常数， *x* 为未知数，且 *a*≠0 。方程的公式解法为卡尔丹公式法。

#### 0x02 代码设计 ####

#include <stdio.h>
    #include <math.h>

**代码解析：**先使用 \#include 引入需要使用到的头文件，例如 C 框架中的标准输入输出库 <stdio.h> 以及需要使用 <math.h> 数学库计算一元三次方程的解。

double cubeRoot(double x) 
    {
        return (x > 0) ? pow(x, 1.0/3) : -pow(-x, 1.0/3);
    }

**代码解析：**事先定义一个函数，主要用来计算一个数的立方根，如果 x 大于 0 时，返回 x 的立方根，否则返回 \-x 的立方根。这里用三目运算符对 x 的结果进行单独运算，防止与后面的算法混淆。

float a, b, c, d, x1, x2, x3, P, Q;
            printf("请输入四个系数：");

**代码解析：**定义 float 单精度类型的变量 a、b 、c 、d 表示一元三次方程的四个系数。 x1、x2、x3 用来存储三个根的解。 P 和 Q 用于后续求解过程的步骤简化。

while (scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d) != 4 || a == 0.0) 
            {
                printf("错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！\n"); 
                while (getchar() != '\n') 
                    continue;
            }

**代码解析：**使用 while 循环语句判断用户输入的数值是否是四个数，并且判断 a 是否等于 0 。如果用户输入的数值不是四个数或者 a 为零，那么则进入循环。如果进入循环中，那么会提示 “错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！” 并且执行 while 循环语句清空缓冲区，直到遇到换行符执行 continue 语句跳出当前循环。

if (getchar() != '\n') 
        	{
            	while (getchar() != '\n') 
                	continue;
            	printf("警告：您输入了多余的字符，已被清除！\n");
    			continue; 
       		}

**代码解析：**使用 if 语句判断如果输入缓冲区中还有字符（不包括换行符号），那么执行 if 语句中的内容。其中， while 循环和上文中的代码一样是清空缓冲区，直到遇到换行符执行 continue 语句跳出当前循环。

P=(3*a*c-b*b)/(3*a*a);
            Q=(27*a*a*d-9*a*b*c+2*b*b*b)/(27*a*a*a);
    
            float s2 = cubeRoot(-Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27));
            float s3 = cubeRoot(-Q/2 - sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27));
    
            x1 = -b/(3*a) + s2 + s3;
            x2 = -b/(3*a) + -0.5*(s2 + s3);
            x3 = sqrt(3)/2 * (s2 - s3);

**代码解析：**其中， P 和 Q 的值是根据一元三次方程的公式中推导得出，关于 P 和 Q 的值取决于用户输入一元三次方程的四个系数值。 s2 和 s3 调用了 cubeRoot 函数计算立方根，这两个公式根据卡尔丹公式 x³+px+q=0 计算两个两个公式的立方根。最后使用 x1 计算一元三次方程的实数解，使用 x2 和 x3 计算两个复数解。

if (x1 == x2 && x2 == x3)
    		{
            	printf("方程有三个相等的实根：x1 = x2 = x3 = %f\n", x1);
        	}
            else
            {
                printf("方程的解为x1 = %f, x2 = %f%+f*i, x3 = %f%+f*i\n", x1, x2,x3, x2,x3);
            }

**代码解析：**判断如果 x1 等于 x2 并且 x2 等于 x3 ，说明三个根相等，那么直接打印 x1 实根的计算结果。否则输出 x1 ， x2 ， x3 的计算结果。

int main()
    {
        U_cubic_E();
        return 0;
    }

**代码解析：**主函数，调用 U\_cubic\_E(); 函数用来求解一元三次方程，返回值为 0 时，表示程序执行完毕。

#### 0x03 完整代码 ####

#include <stdio.h>
    #include <math.h>
    
    double cubeRoot(double x) // 定义一个函数来计算立方根
    {
        return (x > 0) ? pow(x, 1.0/3) : -pow(-x, 1.0/3); // 如果x大于0，返回x的立方根，否则返回-x的立方根
    }
    
    void U_cubic_E() // 一元三次方程
    {
        float a, b, c, d, x1, x2, x3, P, Q;
        printf("请输入四个系数：");
    
        while (scanf("%f %f %f %f", &a, &b, &c, &d) != 4 || a == 0.0)  // 如果输入不是四个数或者a为0，则进入循环 
        {
            printf("错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！\n"); // 提示用户输入错误
            while (getchar() != '\n') // 清空输入缓冲区，直到遇到换行符
                continue;
        } 
    
        if (getchar() != '\n') // 判断如果输入缓冲区中还有字符（不包括换行符）
        {
            while (getchar() != '\n') // 清空输入缓冲区，直到遇到换行符
                continue;
            printf("警告：您输入了多余的字符，已被清除！\n"); // 提示用户输入多余字符，并清除
        }
    
        P=(3*a*c-b*b)/(3*a*a);
        Q=(27*a*a*d-9*a*b*c+2*b*b*b)/(27*a*a*a);
    
        float s2 = cubeRoot(-Q/2 + sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27));
        float s3 = cubeRoot(-Q/2 - sqrt(Q*Q/4+P*P*P/27));
    
        x1 = -b/(3*a) + s2 + s3;
        x2 = -b/(3*a) + -0.5*(s2 + s3);
        x3 = sqrt(3)/2 * (s2 - s3);
    	
    	if (x1 == x2 && x2 == x3)
    	{
    		printf("方程有三个相等的实根：x1 = x2 = x3 = %f\n", x1);
    	}
    	else
    	{
    		printf("方程的解为：x1 = %f, x2 = %f%+f*i, x3 = %f%+f*i\n", x1, x2,x3, x2,x3);
    	}
    }
    
    int main()
    {
        U_cubic_E(); // 调用一元三次方程函数
        return 0;
    }

#### 0x04 运行效果 ####

请输入四个系数：0 1 2 3
    错误：请输入四个数值，且 a 不等于 0 ！
    20 23 11 28 14 10
    警告：您输入了多余的字符，已被清除！
    方程的解为：x1 = -1.441917, x2 = 0.145958+0.974489*i, x3 = 0.145958+0.974489*i
    
    --------------------------------
    Process exited after 12.56 seconds with return value 0
    请按任意键继续. . .

#### 0x05 参考文献 ####

> \[1\].百度百科. 一元三次方程\[EB/OL\]. \[2023-04-12\]. https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B?fromModule=lemma\_search-box.
> 
> \[2\].百度百科. 一元三次方程求根公式\[EB/OL\]. \[2023-04-12\]. https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%B8%89%E6%AC%A1%E6%96%B9%E7%A8%8B%E6%B1%82%E6%A0%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F/10721952.

#### 0x06 总结 ####

文章内容为学习记录的笔记，由于作者水平有限，文中若有错误与不足欢迎留言，便于及时更正。

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