数学建模--Lingo求解线性规划问题

灰太狼 2024-03-17 10:30 56阅读 0赞

### 奶制品的生产与销售 ###

#### 一 问题重述 ####

###### 1.1问题背景 ######

工厂根据外部需求和内部设备，人力，原料等条件，以及最大利润为生产目标制定生产计划，根据生产计划，工艺流程，资源约束及费用参数等，以最小的成本为目标制定生产批量计划，若短时间外部需求和内部资源等不随时间的变化，可制定单阶段生产计划，否则应制定多阶段的生产计划。

###### 1.2问题提出 ######

###### 1.21问题一 ######

**问题引言**：加工奶制品的生产计划，一桶牛奶生产A1需要12h获利24元/kg，生产A2需要8h获利16元/kg，每天50桶牛奶，480h的时间，且最多只能加工100kg的A1。怎末制定生产计划，才能使得每天获利最大。  
（1）为了使每天的获利最大，35元可以购买一同牛奶在进行加工，需要购买吗？如果购买，那么每天最多买多少呢？  
（2）可聘用临时工人，那么最多可以付出工资是每小时几元？  
（3）如果A1的获利在增加到30元/kg，是否要改变生产计划？

###### 1.22问题二 ######

**问题引言**：在问题一的基础上，在A的基础上深加工可获得B产品，每千克A1经过两小时可以加工成0.8kg的B1，同时支付3元加工费，每千克可以从中获利44元。每千克A2经过两小时可以加工成0.75kg的B2，同时支付3元加工费，每千克可以从中获利32元.  
（1）30元可增加1桶牛奶，3元可增加1h时间，应否投资？现投资150元，可赚回多少？  
（2）B1，B2的获利经常有10%的波动，对计划有无影响？  
（3）每天销售10kg的A1的合同必须满足，对利润有什么影响？

#### 二 问题分析 ####

由于产品利润、加工时间等均为常数，可建立线性规划模型。通过决策变量，目标函数，约束条件这三个线性规划模型要素进行规划，用LINGO求解，输出丰富，利用影子价格和灵敏性分析可对结果做进一步研究。

#### 三、模型假设符号说明 ####

###### 3.1 模型假设 ######

1.假设生产中没有原料的浪费。  
2.A1 ,A2每千克的获利是与各自产量无关的常数。  
3.每桶牛奶加工A1 ,A2的数量, 时间是与各自产量无关的常数。  
4.A1 ,A2每千克的获利是与相互产量无关的常数。  
5.每桶牛奶加工A1 ,A2的数量,时间是与相互产量无关的常数。  
6.加工A1 ,A2的牛奶桶数是实数  
7.假设工人生产的速率相等。  
8.假设不考虑市场波动带来收益不同的问题。  
9.假设生产的机器没有故障。  
10.假设从A深加工到B时没有原料损失。

###### 3.2 符号说明 ######

![在这里插入图片描述][7245b03288b443a5904773ed53b9a1c1.png]  
表 1 符号说明

#### 四、模型建立及求解 ####

##### 4.1 问题 1 的建模求解 #####

**问题（1）**

###### 1.模型准备 ######

设x1桶牛奶生产A1，则可获利为72*x1，设x2桶牛奶生产A2，则可获利为64*x2，则每天获利为：max Z=72*x1+64*x2,通过所知的信息确定以下的约束条件：  
![在这里插入图片描述][68324c931cf2452d922e5d4051c18f4d.png]\#\#\#\#\# 2.基于线性规划模型的建立  
由模型准备中的约束条件，运用图解法画出约束范围如下：  
![在这里插入图片描述][22663a36ea3d4341916d83e908b9d733.png]  
目标函数和约束条件是线性函数，可行域为直线段围成的凸多边形，目标函数的等值线为直线，所以最优解一定在凸多边形的某个顶点取得，由图像分析可知在B(20,30)点得到最优解。

###### 3.模型求解 ######

使用Lingo软件求解线性规划问题可得如下结果：  
![在这里插入图片描述][803e4ee0414f43f58509cb0db72168b9.png]  
![在这里插入图片描述][f8032b45967c48fdbd512cb6d20105c1.png]

所以三种资源中原料无剩余，时间无剩余，加工能力剩余40时，其中约束“资源”剩余为零，为有效约束，且20桶牛奶生产A1 , 30桶生产A2，利润最大3360元。  
由运行结果可知，原料增加1单位，利润正增长48，时间增加1单位，利润增长2，CPCT为零表示加工能力增长不影响利润。  
由于35<48，所以35元可以买到1桶牛奶时，应该买。聘用临时工个人付出的工资最多每小时2元。  
**Lingo敏感性分析**，最优解不变时目标函数系数允许变化范围，约束条件不变，x1系数范围(64,96)，x2系数范围(48,72)，x1系数由24*3=72 增加为30*3=90，在允许范围内。A1获利增加到 30元/kg，不改变生产计划。  
**结果解释：**  
![在这里插入图片描述][5d71387d6adf49468ffe847ea86161b1.png]

影子价格有意义时约束右端的允许变化范围，目标函数不变，原料最多增加10，时间最多增加53，充分条件。  
所以35元可买到1桶牛奶, 每天最多买10桶。

##### 问题（2） #####

###### 1.模型准备 ######

50桶牛奶, 480h，至多100kgA1，制订生产计划，使每天净利润最大。  
设x1桶牛奶生产A1，设x2桶牛奶生产A2，x3桶牛奶生产B1，设x4桶牛奶生产B2，x5kg的A1加工B1，x6kg的A2加工B2，则每天获利为：，通过所知的信息确定以下的约束条件：  
![在这里插入图片描述][b364dce1effb4656acc5004d7c74b83f.png]

###### 2.基于线性规划模型的建立 ######

由模型准备中的约束条件，运用Lingo求解如下：  
![在这里插入图片描述][805fad1a72d441bab78f31e098598d9b.png]

每天销售168 kgA2和19.2 kgB1，利润3460.8（元）8桶牛奶加工成A1，42桶牛奶加工成A2，将得到的24kgA1全部加工成B1。除加工能力外均为紧约束。

###### 3.模型求解 ######

![在这里插入图片描述][a0f31e3240dc42c2be791a00330b44e2.png]

所以增加1桶牛奶使利润增长37.92，增加1h时间使利润增长3.26，投资150元增加5桶牛奶,可赚回189.6元(大于增加时间的利润增长)。  
**敏感性分析**:B1获利下降10%，超出X3 系数允许范围,B2获利上升10%，超  
出X4 系数允许范围,波动对计划有影响,B1 ,B2的获利有10%的波动，对计划有无影响。生产计划应重新制订,如将x3的系数改为39.6计算,会发现结果有很大变化。  
![在这里插入图片描述][6b3cf3798ab84caa9a30240c6de31e84.png]

**结果解释**：x1从0开始增加一个单位时，最优目标函数值将减少1.68，公司利润减少1.68×10=16.8（元），最优利润为3460.8 – 16.8 = 3444。

#### 五、模型的评价 ####

###### 5.1 模型的优点 ######

1、通过数学关系推导，模型精确度较高；  
2、模型的建立根据动态规划模型、几何模型等理论，采用了数学和概率学  
原理，所得出的数据和精确度较为严谨精确。  
3、模型假设考虑了多种情况，尽可能排除了外界的影响，引入的误差较少  
4、本文从研究模型机理开始到模型建立、模型求解、模型验证、模型灵敏  
度分析，整体框架较为完整。

###### 5.2 模型的缺点 ######

分析方法比较具有针对性，推广到实际生活中存在一些误差。Reduced Cost是有意义,有条件的(LINGO没有给出)。

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