蓝桥杯---第一讲递归与递推

你的名字 2024-02-26 07:48 48阅读 0赞

#### 文章目录 ####

*  前言
 *  Ⅰ. 递归实现指数型枚举
 *   *  0x00 算法思路
     *  0x00 代码书写
     *  0x00 思考总结
 *  Ⅱ. 递归实现排列型枚举
 *   *  0x00 算法思路
     *  0x01代码书写
     *  0x02 思考总结
 *  Ⅲ. 简单斐波那契
 *   *  0x00 算法思路
     *  0x01 代码书写
 *  Ⅳ. 费解的开关
 *   *  0x00 算法思路
     *  0x01 代码书写
 *  Ⅴ. 递归实现组合型枚举
 *   *  0x00 算法思路
     *  0x01 代码书写
 *  Ⅵ. 带分数
 *   *  0x00 算法思路
     *  0x01 代码书写
 *  Ⅶ. 飞行员兄弟
 *   *  0x00 算法思路
     *  0x01 代码书写
     *  Ⅷ. 翻硬币
     *  0x00 算法思路
     *  0x01 代码书写
 *  总结

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## 前言 ##

本篇博客主要打卡记录博主学习蓝桥杯C++AB组辅导课的习题第一章节的题目。

--------------------

## Ⅰ. 递归实现指数型枚举 ##

### 0x00 算法思路 ###

这一道题主要考查 dfs 算法，然后这一道题就是以位置来进行 **搜索** 当搜索到最后一个位置的时候就可以 **收获结果** 然后考虑枚举到的位置 可以选择 **选** 或者 **不选**

### 0x00 代码书写 ###

#include<bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 16;
    
    int n;
    int st[N]; // 状态，记录每个位置当前的状态：0表示还没考虑，1表示选，2表示不选 
    
    void dfs(int u)
    {
        
    	if(u > n)
    	{
        
    		for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
    			if(st[i] == 1)
    				cout << i << " ";
    		cout << endl;
    		return;
    	}
    	
    	//不选
    	st[u] = 2;
    	dfs(u + 1);
    	st[u] = 0; //注意恢复现场 
    	
    	//选
    	st[u] = 1;
    	dfs(u + 1); 
    	st[u] = 0; //注意恢复现场
    	
    }
    
    int main()
    {
        	
    	cin >> n;
    	
    	dfs(1); //枚举第一个位置 
    	
    	return 0;
    }

### 0x00 思考总结 ###

这一道题目 就是枚举每一个位置，然后进行选这个数字或者不选这个数字，当枚举到末尾的时候就可以进行收获(打印结果) —> **本质就是枚举每一个位置然后根据选或不选进行的排列组合**

## Ⅱ. 递归实现排列型枚举 ##

### 0x00 算法思路 ###

利用一个判断数组st数组，检查是否这个位置的数字我已经使用过了，如果使用过了，就继续，如果没有就直接放到a数组里，递归下一个位置

### 0x01代码书写 ###

#include<bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 11;
    
    int n;
    int st[N];//记录这个数字是否被使用过false表示没有，true表示用过
    int a[N];//存放数字 方便打印
    
    void dfs(int u)
    {
        
    	if(u > n)//(u == n + 1)也是可以的表示枚举到最后一个位置
    	{
        
    		for(int i = 1 ; i <= n; ++ i)
    			cout << a[i] << " ";
    		cout << endl;
    		return; 	
    	}
    	
    	for(int i = 1 ; i <= n ; ++ i)
    	{
        
    		if(st[i] == false)
    		{
        
    			a[u] = i;
    			st[i] = true;
    			dfs(u + 1);
    			st[i] = false; //恢复现场
    		}
    	}
    	return;
    }
    
    int main()
    {
        	
    	cin >> n;
    	
    	dfs(1); //枚举第一个位置 
    	
    	return 0;
    }

### 0x02 思考总结 ###

对比上一道题目，**上一道是根据选或不选来进行排列组合**，这**一道题目则是根据n的位置的多少进行排列组合**，这里面用到了一个 st 数组来判断这一个数字是否被使用过，**从而对这n个位置的数字进行排列组合**

## Ⅲ. 简单斐波那契 ##

### 0x00 算法思路 ###

简单的递推公式问题

### 0x01 代码书写 ###

#include <iostream>
    using namespace std;
    int main()
    {
        
        int n;
        cin >> n;
    
        int a = 0, b = 1;
    
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
        
            cout << a << ' ';
            int c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }
    
        cout << endl;
    
        return 0;
    }

## Ⅳ. 费解的开关 ##

### 0x00 算法思路 ###

暴力枚举第一行的32—>2的5次方 种情况，然后去统计第一行的五位01串中出现1的数量然后进行turn和step++，  
然后枚举除了最后一行的前面四行，遇到 ‘0’ 就可以对 i + 1 行 j 列 进行 turn 操作，从而使得 i，j 这个位置的灯改变成亮。  
最后去横扫最后一行，看是否有黑的灯，如果有的话，代表我们的操作是无法完成任务的，所以 输出-1  
当发现没有黑的时候，就可以取最小值进行迭代了。

这里复制粘贴一下Acwing上边的疑惑讲解：  
**1.高票题解代码中的 if (k >> j & 1) 究竟什么意思？**

其中，k保存的根本就不是第一行的灯所有可能的状态，不然它第j位都为1了还按它干嘛？ k单纯只是保存了第一行按开关的32种方式，与输入数据无关。

且大多数题解代码中都规定了k在二进制下某位为1就代表我们选择按下这一位所在编号的开关，你也可以自己规定k在二进制下某位为0才代表我们选择按下这一位所在编号的开关，这都无所谓。

比如k在二进制下表示为10001，就代表我们选择按第一行编号为0和编号为4的开关，然后对输入数据中第一行这两位执行turn操作。  
**贴一个Acwing大佬写的超级详细的题解**  
[AcWing 95. 费解的开关（有图超详细，看不懂揍我）][AcWing 95.]

### 0x01 代码书写 ###

#include<bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 6;
    
    char g[N][N], backup[N][N];
    int dx[5] = {
        -1,0,1,0,0}, dy[5] = {
        0,1,0,-1,0};
    
    void turn(int x,int y)//dfs--->迷宫类模板
    {
        
    	for(int i = 0 ; i < 5 ; ++ i)
    	{
        
    		int a = x + dx[i], b = y + dy[i];
    		if(a < 0 || a >= 5 || b < 0 || b >= 5) continue;
    		g[a][b] ^= 1;
    	}
    }
    
    int main()
    {
        	
    	int T;
    	cin >> T;
    	
    	while(T -- )
    	{
        
    		for(int i = 0 ; i < 5 ; ++ i)
    			for(int j = 0 ; j < 5 ; ++ j)
    				cin >> g[i][j];
    		
    		int res = 10;
    		
    		for(int op = 0 ; op < 32 ; ++ op)
    		{
        
    			memcpy(backup, g , sizeof g);
    			int step = 0;
    			for(int i = 0 ; i < 5 ; ++ i)
    				if(op >> i & 1)
    				{
        
    					step ++;
    					turn(0, i);
    				}
    			
    			for(int i = 0 ; i < 4 ; ++ i)
    				for(int j = 0 ; j < 5 ; ++ j)//对黑的灯进行turn操作
    					if(g[i][j] == '0')
    					{
        
    						step ++;
    						turn(i + 1 , j);
    					}
    			bool dark = false;
    			for(int i = 0 ; i < 5 ; ++ i)//遍历最后一行看是否存在黑着的灯
    				if(g[4][i] == '0')
    				{
        
    					dark = true;
    					break;
    				}
    				
    			if(!dark) res = min(res,step);
    			memcpy(g, backup, sizeof g);
    		}
    		if(res > 6) res = -1;
    		cout << res << endl;
    	}
    		
    	return 0;
    }

## Ⅴ. 递归实现组合型枚举 ##

### 0x00 算法思路 ###

**通过枚举第一个位置和开始的数进行dfs操作，当搜索到最后一个位置的时候就可以收获结果了**

### 0x01 代码书写 ###

#include<bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 30;
    
    int n, m;
    int st[N];
    
    
    void dfs(int u, int start)
    {
        
    	if(u == m + 1)
    	{
        
    		for(int i = 1 ; i <= m ;  ++ i)
    			cout << st[i] << " ";
    		cout << endl;
    		return; 
    	}
    	
    	for(int i = start ; i <= n ; ++ i)
    	{
        
    		st[u] = i;
    		dfs(u + 1, i + 1);
    		st[u] = 0;
    	}
    }
    
    int main()
    {
        	
    	cin >> n >> m;
    	
    	dfs(1, 1); //枚举第一个位置 
    	
    	return 0;
    }

## Ⅵ. 带分数 ##

### 0x00 算法思路 ###

**根据 n = a + b / c 变换 成为 ： cn = ac + n所以可以先确定ac的值进而确定b的值所以有以下思路：**

1.  枚举a的数值
2.  枚举c的数值
3.  判断b是否符合条件

**这个题目也用到了全排列的思想—>本节的第二道题目就是全排列题目的代码和思路**

### 0x01 代码书写 ###

#include<bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N = 10;
    
    int n;
    bool st[N],backup[N];
    int ans;
    
    bool check(int a,int c)
    {
        
    	long long b = n * (long long)c - a * c;//防止溢出用long long
    	memcpy(backup,st,sizeof st);//用备份操作
    	
    	if(!a || !b || !c) return false;
    	
    	while(b)//判断b当中的数字是否被使用过了已经
    	{
        
    		int x = b % 10;
    		b /= 10;
    		if(!x || backup[x]) return false;//被使用过了就返回false
    		backup[x] = true;
    	}
    	
    	for(int i = 1 ; i <= 9 ; ++ i)//最后再对abc三个数字所选的数字看看是否选完了0~9个数字
    		if(!backup[i])
    			return false;
    	return true;
    }
    
    void dfs_c(int u, int a ,int c)
    {
        
    	if(u > 9) return; //超过9个数就可以return
    	
    	if(check(a,c)) ans ++; //发现组合就可以 ++ans
    	
    	for(int i = 1 ; i <= 9 ; ++ i)//去确定c的值
    	{
        
    		if(!st[i])
    		{
        
    			st[i] = true;
    			dfs_c(u + 1,a, c * 10 + i);
    			st[i] = false;
    		}
    	}
    }
    
    void dfs_a(int u , int a)
    {
        
    	if(a >= n) return; //a不能大于n
    	if(a) dfs_c(u,a,0);//a不能是0 然后去找c
    	
    	for(int i = 1 ; i <= 9 ; ++ i)//去确定a的值
    	{
        
    		if(!st[i])
    		{
        
    			st[i] = true;
    			dfs_a(u + 1,a * 10 + i);
    			st[i] = false;
    		}
    	}
    	return;
    }
    
    int main()
    {
        
    	cin >> n;
    	
    	dfs_a(0, 0);// 去递归搜索 a 一开始选0个数字(用了多少个数)，a是0。
    	
    	cout << ans << endl;
    	
    	return 0;
    }

## Ⅶ. 飞行员兄弟 ##

### 0x00 算法思路 ###

先说结论，在判断是否要对(i, j)位置的把手进行切换时，只需要计算一下第i行和第j列总共7个把手(以下称为(i, j)对应的十字)中闭合的把手数目，如果是奇数个就进行切换，偶数个就不进行切换。(奇数个是该位置的把手进行过切换的充要条件)

因此我们从上到下从左到右顺次的对16个把手进行上述判断。如果判断结果是奇数个那么说明该位置被切换过，进行记录即可。

### 0x01 代码书写 ###

#include<bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    #define x first
    #define y second
    
    const int N = 5;
    typedef pair<int,int> PII;
    char g[N][N], backup[N][N];
    
    int get(int x, int y)
    {
        
        return x * 4 + y;
    }
    
    void turn_one(int x, int y)
    {
        
        if (g[x][y] == '+') g[x][y] = '-';
        else g[x][y] = '+';
    }
    
    void turn_all(int x, int y)
    {
        
        for (int i = 0; i < 4; i ++ )
        {
        
            turn_one(x, i);
            turn_one(i, y);
        }
    
        turn_one(x, y);
    }
    
    int main()
    {
        
    	for(int i = 0 ; i < 4 ; ++ i) cin >> g[i];
    	
    	vector<PII> res;
    	
    	for(int op = 0 ; op < 1 << 16 ; ++ op)
    	{
        
    		vector<PII> temp;
    		memcpy(backup, g ,sizeof g);
    		
    		for(int i = 0 ; i < 4 ; ++ i)
    			for(int j = 0 ; j < 4 ; ++ j)
    			{
        
    				if(op >> get(i, j) & 1)
    				{
        
    					temp.push_back({
        i, j});
    					turn_all(i, j);
    				}
    			}
    		
    		bool has_closed = false;
    		for(int i = 0 ; i < 4 ; ++ i)
    			for(int j = 0 ; j < 4 ; ++ j)
    			{
        
    				if(g[i][j] == '+')
    					has_closed = true;
    			}
    		
    		if(has_closed == false) 
    			if(res.empty() || res.size() > temp.size()) res = temp;
    		
    		memcpy(g,backup,sizeof g);
    	}
    	cout << res.size() << endl;
    	for(auto& op : res) cout << op.x + 1 << " " << op.y + 1 << endl;
    	
    	return 0;
    }

### Ⅷ. 翻硬币 ###

### 0x00 算法思路 ###

**将硬币和目标的样子进行比较，当发现不一样的时候就进行 turn 翻转即可**

### 0x01 代码书写 ###

#include<bits/stdc++.h>
    
    using namespace std;
    
    const int N=110;
    char start[N], aim[N];
    int n;
    
    void turn(int i)
    {
        
        if(start[i]=='o') start[i]='*';
        else start[i]='o';
    }
    
    int main()
    {
        
        cin >> start >> aim;
    
        n = strlen(start);
    
        int res=0;
        for(int i = 0; i < n - 1 ; i ++)
        {
        
            if(start[i] != aim[i])
            {
        
                turn(i), turn(i+1);
                res ++;
            }
        }
    
        cout << res << endl;
    
        return 0;
    }

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## 总结 ##

本篇博客主要讲解了递推与递归的算法，也涉及到了 dfs 搜索算法的使用，其实 dfs 算法可以

1.  先去想dfs的含义，参数的含义
2.  找到dfs的结束条件进行收获结果
3.  根据题目要求实现dfs代码

希望自己可以多多练习，后面蓝桥杯辅导课看完就会去看算法提高课继续提升

[AcWing 95.]: https://www.acwing.com/solution/content/177715/