最长公共子序列（LCS）与最长公共子串(DP)

亦凉 2024-02-19 13:24 38阅读 0赞

《1》[最长公共子序列（LCS）与最长公共子串(DP)][LCS_DP]

http://blog.csdn.net/u012102306/article/details/53184446

https://segmentfault.com/a/1190000007963594

http://www.cppblog.com/mysileng/archive/2013/05/14/200265.html

## 1. 问题描述 ##

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

*  cnblogs
 *  belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence,LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

## 2. 求解算法 ##

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。  
**暴力解法**  
假设 m<n， 对于母串X，我们可以暴力找出2的m次方个子序列，然后依次在母串Y中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2的m次)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。  
**动态规划**  
假设Z=<z1,z2,⋯,zk>是X与Y的LCS， 我们观察到  
如果Xm=Yn，则Zk=Xm=Yn，有Zk−1是Xm−1与Yn−1的LCS；  
如果Xm≠Yn，则Zk是Xm与Yn−1的LCS，或者是Xm−1与Yn的LCS。  
因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——**用空间换时间**，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。  
**DP求解LCS**  
用二维数组c\[i\]\[j\]记录串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

![20161116110820862][]

由最长公共子序列问题的最优子结构性质可知，要找出X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的最长公共子序列，可按以下方式递归地进行：当xm=yn时，找出Xm-1和Yn-1的最长公共子序列，然后在其尾部加上xm(=yn)即可得X和Y的一个最长公共子序列。当xm≠yn时，必须解两个子问题，即找出Xm-1和Y的一个最长公共子序列及X和Yn-1的一个最长公共子序列。这两个公共子序列中较长者即为X和Y的一个最长公共子序列。

在算法LCS中，每一次的递归调用使i或j减1，因此算法的计算时间为*O*(m+n)。

例如，设所给的两个序列为X=<A，B，C，B，D，A，B>和Y=<B，D，C，A，B，A>。由算法LCS\_LENGTH和LCS计算出的结果如下图所示：

![Center][]

代码实现

**\[cpp\]** [view plain][] [copy][view plain]

1.  public static int lcs(String str1, String str2) \{
2.  int len1 = str1.length();
3.  int len2 = str2.length();
4.  int c\[\]\[\] = new int\[len1+1\]\[len2+1\];
5.  for (int i = 0; i <= len1; i++) \{
6.  for( int j = 0; j <= len2; j++) \{
7.  if(i == 0 || j == 0) \{
8.  c\[i\]\[j\] = 0;
9.  \} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) \{
10. c\[i\]\[j\] = c\[i-1\]\[j-1\] + 1;
11. \} else \{
12. c\[i\]\[j\] = max(c\[i - 1\]\[j\], c\[i\]\[j - 1\]);
13. \}
14. \}
15. \}
16. return c\[len1\]\[len2\];
17. \}

DP求解最长公共子串  
  
前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c\[i\]\[j\]用来记录具有这样特点的子串——结尾同时也为为串x1x2⋯xi与y1y2⋯yj的结尾——的长度。  
得到转移方程：

![20161116111138893][]

最长公共子串的长度为 max(c\[i,j\]), i∈\{1,⋯,m\},j∈\{1,⋯,n\}。  
代码实现

**\[cpp\]** [view plain][] [copy][view plain]

1.  public static int lcs(String str1, String str2) \{
2.  int len1 = str1.length();
3.  int len2 = str2.length();
4.  int result = 0; //记录最长公共子串长度
5.  int c\[\]\[\] = new int\[len1+1\]\[len2+1\];
6.  for (int i = 0; i <= len1; i++) \{
7.  for( int j = 0; j <= len2; j++) \{
8.  if(i == 0 || j == 0) \{
9.  c\[i\]\[j\] = 0;
10. \} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) \{
11. c\[i\]\[j\] = c\[i-1\]\[j-1\] + 1;
12. result = max(c\[i\]\[j\], result);
13. \} else \{
14. c\[i\]\[j\] = 0;
15. \}
16. \}
17. \}
18. return result;
19. \}

![Center 1][]

![Center 2][]

![Center 3][]

3. 参考资料  
\[1\] cs2035, Longest Common Subsequence.  
\[2\] 一线码农, 经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列.

\[3\] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).

[LCS_DP]: http://blog.csdn.net/u012102306/article/details/53184446
[20161116110820862]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/a5a37bf7d5674b5598070c75bdbe186b.png
[Center]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/fa85bd03f4914085b71e9f3724925f2c.png
[view plain]: http://blog.csdn.net/u012102306/article/details/53184446#
[20161116111138893]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/61ea25f01fe84ca4865a4ce5bf5c3e0e.png
[Center 1]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/1bd462df0d59471bb1f364619aec6212.png
[Center 2]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/e28df3b0e3074756986de50d3cc98a8b.png
[Center 3]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/01/29/aab80089d12a4b85823a6a28ae5047e2.png