【动态规划】最长公共子序列与最长公共子串

「爱情、让人受尽委屈。」 2021-06-24 16:12 544阅读 0赞

# [来源][Link 1] #

# 1. 问题描述 #

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

*  cnblogs
 *  belong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cn**blog**s, **b**e**lo**n**g**），最长公共子串为lo（cnb**lo**gs, be**lo**ng）。

# 2. 求解算法 #

对于母串X=<x1,x2,⋯,xm>X=<x1,x2,⋯,xm>, Y=<y1,y2,⋯,yn>Y=<y1,y2,⋯,yn>，求LCS与最长公共子串。

## 暴力解法 ##

假设 m<nm<n， 对于母串XX，我们可以暴力找出2m2m个子序列，然后依次在母串YY中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级O(n∗2m)O(n∗2m)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

## 动态规划 ##

假设Z=<z1,z2,⋯,zk>Z=<z1,z2,⋯,zk>是XX与YY的LCS， 我们观察到

*  如果xm=ynxm=yn，则zk=xm=ynzk=xm=yn，有Zk−1Zk−1是Xm−1Xm−1与Yn−1Yn−1的LCS；
 *  如果xm≠ynxm≠yn，则ZkZk是XmXm与Yn−1Yn−1的LCS，或者是Xm−1Xm−1与YnYn的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——**用空间换时间**，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

### DP求解LCS ###

用二维数组c\[i\]\[j\]记录串x1x2⋯xix1x2⋯xi与y1y2⋯yjy1y2⋯yj的LCS长度，则可得到状态转移方程

c\[i,j\]=⎧⎩⎨⎪⎪0c\[i−1,j−1\]+1max(c\[i,j−1\],c\[i−1,j\])i=0 or j=0i,j>0 and  xi=yji,j>0 and xi≠yjc\[i,j\]=\{0i=0 or j=0c\[i−1,j−1\]+1i,j>0 and  xi=yjmax(c\[i,j−1\],c\[i−1,j\])i,j>0 and xi≠yj

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {
        int len1 = str1.length();
        int len2 = str2.length();
        int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
        for (int i = 0; i <= len1; i++) {
            for( int j = 0; j <= len2; j++) {
                if(i == 0 || j == 0) {
                    c[i][j] = 0;
                } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                } else {
                    c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);
                }
            }
        }
        return c[len1][len2];
    }

### DP求解最长公共子串 ###

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组c\[i,j\]c\[i,j\]用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串x1x2⋯xix1x2⋯xi与y1y2⋯yjy1y2⋯yj的结尾——的长度。

得到转移方程：

c\[i,j\]=⎧⎩⎨⎪⎪0c\[i−1,j−1\]+10i=0 or j=0xi=yjxi≠yjc\[i,j\]=\{0i=0 or j=0c\[i−1,j−1\]+1xi=yj0xi≠yj

最长公共子串的长度为 max(c\[i,j\]), i∈\{1,⋯,m\},j∈\{1,⋯,n\}max(c\[i,j\]), i∈\{1,⋯,m\},j∈\{1,⋯,n\}。

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {
        int len1 = str1.length();
        int len2 = str2.length();
        int result = 0;     //记录最长公共子串长度
        int c[][] = new int[len1+1][len2+1];
        for (int i = 0; i <= len1; i++) {
            for( int j = 0; j <= len2; j++) {
                if(i == 0 || j == 0) {
                    c[i][j] = 0;
                } else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {
                    c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                    result = max(c[i][j], result);
                } else {
                    c[i][j] = 0;
                }
            }
        }
        return result;
    }

# 3. 参考资料 #

\[1\] cs2035, [Longest Common Subsequence][].  
\[2\] 一线码农, [经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列][Link 2].  
\[3\] GeeksforGeeks, [Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring)][Dynamic Programming _ Set 29 _Longest Common Substring].

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作者：[Treant][]

出处：[http://www.cnblogs.com/en-heng/][Treant]

[Link 1]: https://www.cnblogs.com/en-heng/p/3963803.html
[Longest Common Subsequence]: http://www.columbia.edu/~cs2035/courses/csor4231.F11/lcs.pdf
[Link 2]: http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/11/11/2764625.html
[Dynamic Programming _ Set 29 _Longest Common Substring]: http://www.geeksforgeeks.org/longest-common-substring/
[Treant]: http://www.cnblogs.com/en-heng/