概率论与数理统计中常见的随机变量分布律、数学期望、方差及其介绍

刺骨的言语ヽ痛彻心扉 2024-02-17 09:51 32阅读 0赞

## 1 离散型随机变量 ##

### 1.1 0-1分布 ###

设随机变量X的所有可能取值为0与1两个值，其分布律为

![在这里插入图片描述][2815c650a4364d92a03180e3ff0d0f64.png]

若分布律如上所示，则称X服从以P为参数的(0-1)分布或两点分布。记作X~ B(1，p)

0-1分布的分布律利用表格法表示为:

0-1分布的数学期望**E(X) = 0 \* (1 - p) + 1 \* p = p**

### 1.2 二项分布 ###

二项分布的分布律如下所示：

![在这里插入图片描述][1c875b6608934ac7940b0941e773fb5b.jpeg]

其中P是事件在一次试验中发生的概率，称随机变量X服从参数为n,p 的二项分布，记作X~B(n,p)。当n=1时，X为(0-1)分布

二项分布利用表格法也可表示为:

![在这里插入图片描述][aa3c60fd1d2041ed8093fcc30e1da8ee.jpeg]  
二项分布的数学期望**E(X) = np**

### 1.3 泊松分布 ###

设随机变量X所有可能取值是0,12,…,而取各个值的概率为

![在这里插入图片描述][f583db5424564f208c8dd22783ad393a.jpeg]

其中λ>0是常数，则称随机变量 X 服从泊松分布，记为 X ~ π(λ)

泊松分布利用表格法可表示为:

![在这里插入图片描述][de8fc1301c8940f5a5681a8910016240.jpeg]  
![在这里插入图片描述][769b4bfde3304224b248d7844cdfd604.jpeg]  
泊松分布的数学期望**E(X) = λ**

泊松分布的方差**D(X) = λ**

### 1.4 几何分布 ###

记X在独立重复试验中事件A首次发生所进行试验的次数，则

![在这里插入图片描述][ae15313486a1491f950c24fbfc22a093.png]  
我们称随机变量X服从几何分布，记作X~G§。

几何分布利用表格法也可表示为:

![在这里插入图片描述][2ed6343076734636a022e6581a118f80.png]  
几何分布的数学期望**E(X) = 1/p**

几何分布的方差**D(X) = (1-p)/(p\*p)**

### 1.5 超几何分布 ###

设有N件产品，其中有M(MSN)件次品。从中任取n(nN)件产品，用X表示取出的n件产  
品中次品的件数，则

![在这里插入图片描述][a655ff2b19f947ce8437509dfb9ebf2c.png]  
我们称随机变量X服从参数为N、M、n的超几何分布

**注意:超几何分布为不放回抽样。**

## 2 连续性随机变量 ##

### 2.1 均匀分布 ###

#### 2.1.1 均匀分布的密度函数 ####

若连续型随机变量X的概率密度

![在这里插入图片描述][587bfacdfc5048a1933d74e7abf7ac99.png]

则称f(x)在(a,b)上服从均匀分布，记作X~U(a,b)

#### 2.1.2 均匀分布的分布函数及图像 ####

均匀分布的分布函数为:

![在这里插入图片描述][7f1298cb3ed84f27a8bf455fc6a1668c.jpeg]  
f(x)与F(x)分别如图所示:

![在这里插入图片描述][475c62ed64e84542b7b379e15bb2b0ec.jpeg]

#### 2.1.3 均匀分布的数学期望及其方差 ####

均匀分布的数学期望**E(X) = ( a + b ) / 2**

均匀分布的方差**D(X) = (( b - a ) ^ 2) / 12**

### 2.2 指数分布 ###

#### 2.2.1 指数分布的概率密度 ####

若连续型随机变量X概率密度为:

![在这里插入图片描述][c27a51f67b1941ecbed13cd04b09aa71.png]  
其中λ>0为常数，则称X 服从参数为的指数分布。记作X~ E(λ)

#### 2.2.2 指数分布的分布函数及图像 ####

随机变量X的分布函数和图像为:

![在这里插入图片描述][adc54ad0f32f4a9586c55996ba7ad81c.png]  
![在这里插入图片描述][8d7cc2cbbf5c4289b0f38897c1e6be82.png]

#### 2.2.3 指数分布的数学期望及其方差 ####

指数分布的数学期望**E(X) = 1 / λ**

指数分布的方差**D(X) = 1 / (λ ^ 2)**

### 2.3 正太分布 ###

#### 2.3.1 一般正太分布的密度函数、分布概率及其图像 ####

若连续型随机变量X的概率密度和图像为:  
![在这里插入图片描述][38b92cc983ab4f16967d7e244d17ed0f.png]  
![在这里插入图片描述][c204c387d1f14f66b54fd41f3d01cf60.png]

其中μ，σ( σ > 0)为常数，则称服从参数为，的正态分布，记作X~ N(μ, σ \* σ),分布函数为:

![在这里插入图片描述][e94f6ed72fa84c37b0c08dd79ea06f9f.png]

#### 2.3.2 标准正太分布的密度函数、分布概率及其图像 ####

当参数 u=0，σ=1时称随机变量X 服从标准正态分布，记作X~N(0,1)。其概率密度及分布函数如下所示:

![在这里插入图片描述][ebcb8a945f5d4352ac0e2070153dd5ba.png]  
![在这里插入图片描述][00e3deb598ce4ccd8fc4dc6799e8a1fb.png]  
概率密度图像如下所示:

![在这里插入图片描述][9e24ce35aecd4a06ab1f889506105fe3.png]  
其概率密度函数的图形如图 (9)所示。由(x)的图形，不难得出如下性质:

![在这里插入图片描述][65d5fe27a5d04a4880356ee8eacbfb74.png]

#### 2.3.3 正太分布的数学期望及其方差 ####

正太分布的数学期望**E(X) = u**

正太分布的方差**D(X) = σ**

## 3 数学期望的性质 ##

下面给出数学期望常见的性质:

1.  设C是常数，则有E©=C。
2.  设X是一个随机变量，C为常数，则有 E(CY)=CE(Y)
3.  设X,Y为两个随机变量，则E(XY)=E(Y)E(Y)
4.  设X,Y 为相互独立的随机变量，则 E(XY)=E(Y)·E(Y)

数学期望E(X)和方差D(X)之间的关系:

![在这里插入图片描述][f53a75930a0e43aba6063399924aba70.png]

## 4 方差 ##

### 4.1 方差的性质 ###

1.  设C为常数，则D©=0。
2.  @设X是随机变量，C是常数，则有 D(CX)=C^2D(X)，D(X+C)=D(X)
3.  设XY是两个随机变量，则有![在这里插入图片描述][4ebaf3428d894965b83e592c6f758387.png]特别地，若X与Y相互独立，则有D(X+Y)=D(X)+D(Y),D(X-Y)=D(X)+D(Y)
4.  D(Y)=0的充分必要条件是以概率为1 取常数 E(X)，即P\{ X=E(X) \} = 1

### 4.2 协方差和相关系数 ###

协方差公式: **cov(X,Y) = E(XY) - EXEY**

协方差公式的几个变形:

![在这里插入图片描述][efd6742f837448078ec2dc5288d75b3f.jpeg]  
相关系数ρxy公式如下:

![在这里插入图片描述][2d853a3c6f494158b9a1b19467b00429.png]

[2815c650a4364d92a03180e3ff0d0f64.png]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/c89ad76fb3bd45b79ad3d3ba653069ac.png
[1c875b6608934ac7940b0941e773fb5b.jpeg]: https://image.dandelioncloud.cn/pgy_files/images/2024/02/06/db4c42a699134c29a560b196af651d12.png
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