【概率论与数理统计 Probability and Statistics 8】—— 深入地理解二维随机变量及其分布函数、分布密度函数的意义

Dear 丶 2023-07-18 09:54 12阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、为什么是二维随机变量
 *  二、二维随机变量的分布函数
 *  2.1 二维随机变量分布函数的性质
 *   *  2.2 二维随机变量的边缘分布函数
 *  三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法
 *  四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布
 *   *  4.1 联合密度函数和联合分布函数
     *  4.2 边缘密度函数
     *  关于计算边缘分布密度的注记

# 一、为什么是二维随机变量 #

还记得我们在  C h a p t e r 2 Chapter 2 Chapter2 里面讨论的都是一维随机变量嘛，但是假如我们举一个例子：

1.  比如我们要统计人群的身高分布，那容易啊，直接统计一个变量——身高 X 即可
2.  但是，如果我们要统计的是人群的身材，那你不可能只用身高来衡量，我们需要两个变量——身高 X 和体重 Y。因此，这就是二维随机变量的引入。

我们一般使用 （X, Y）来表示。可以说是一个向量。

# 二、二维随机变量的分布函数 #

我们先来看看定义： F ( x , y ) = P \{ X ≤ x , Y ≤ y \} F(x, y) = P\\\{X≤x, Y≤y\\\} F(x,y)=P\{ X≤x,Y≤y\}

**它的意思是由  X ≤ x , Y ≤ y X ≤x, Y ≤y X≤x,Y≤y 所构成的蓝色区域所对应的立体密度函数的体积！！**

这句话怎么理解呢？这得回到一维去，因为我们在一维随机变量里面， F ( x ) = P \{ X ≤ x \} F(x) = P\\\{X≤x\\\} F(x)=P\{ X≤x\}表示的是  X ≤ x X≤x X≤x 所对应的平面密度函数的面积。那么扩展到二维，它的密度函数是  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) ，是一个立体的函数，那么对应的自然就是体积了。

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# 2.1 二维随机变量分布函数的性质 #

【1】  0 ≤ F ( x , y ) ≤ 1 0 ≤ F(x, y) ≤1 0≤F(x,y)≤1这个好理解，概率一定小于等于1 .  
【2】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 是关于 x 或 y 的不减函数  
【3】 F ( − ∞ , y ) = 0 ; F ( x , − ∞ ) = 0 ; F ( − ∞ , − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ , + ∞ ) = 1 F(-∞, y) = 0; F(x, -∞) = 0; F(-∞, -∞) = 0, F(+∞, +∞) = 1 F(−∞,y)=0;F(x,−∞)=0;F(−∞,−∞)=0,F(\+∞,\+∞)=1  
如果我们把二维随机变量的概率密度函数想象成立体草帽，那么在任何一个变量是 -∞ 的时候，还没能切到草帽，所以体积一定是0.

【4】 F ( x , y ) F(x, y) F(x,y) 分别关于 x, y右连续 
【5】 P \{ x 1 < X ≤ x 2 , y 1 < Y ≤ y 2 \} = F ( x 2 , y 2 ) − F ( x 2 , y 1 ) − F ( x 1 , y 2 ) + F ( x 1 , y 1 ) P\\\{x\_1 < X ≤ x\_2, y\_1 <Y ≤ y\_2\\\} = F(x\_2, y\_2) - F(x\_2, y\_1) - F(x\_1, y\_2) + F(x\_1, y\_1) P\{ x1<X≤x2,y1<Y≤y2\}=F(x2,y2)−F(x2,y1)−F(x1,y2)\+F(x1,y1)

## 2.2 二维随机变量的边缘分布函数 ##

上面我们讲过的： F ( x , y ) = P \{ X ≤ x , Y ≤ y \} F(x, y) = P\\\{X≤x, Y≤y\\\} F(x,y)=P\{ X≤x,Y≤y\} 它叫做联合分布函数。下面我们来看看边缘分布函数，其实也好理解： 
 F X ( x ) = P \{ X ≤ x , Y < + ∞ \} F\_X(x) = P\\\{X ≤ x, Y< +∞\\\} FX(x)=P\{ X≤x,Y<\+∞\} 这叫做 X 的边缘分布函数，它的意思是令 X 小于等于 x， y 爱咋地咋地，不限制。同理 F Y ( y ) = P \{ X < + ∞ , Y < y \} F\_Y(y) = P\\\{X < +∞, Y < y\\\} FY(y)=P\{ X<\+∞,Y<y\}, 这叫做 Y 的边缘分布函数。

# 三、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布求法 #

这一节只需要一个例子就可以解释明白：我们以下面的表为例：

这是一个二维离散型随机变量的联合分布表，里面具体的概率值就用我们之前学过的办法计算。

下面看看如何计算联合分布函数：  
假设要计算： F ( 1.2 , 1 ) F(1.2, 1) F(1.2,1)，那么就是： P \{ X ≤ 1.2 , Y ≤ 1 ) P\\\{X ≤1.2, Y≤ 1) P\{ X≤1.2,Y≤1)，我们可以这样做：  
![在这里插入图片描述][20200326201222392.png]  
 F ( 1.2 , 1 ) = 0 F(1.2, 1) = 0 F(1.2,1)=0

如果计算  F ( 2.4 , 2.1 ) F(2.4, 2.1) F(2.4,2.1)，我们可以这样做：  
![在这里插入图片描述][2020032620134833.png]  
 F ( 2.4 , 2.1 ) = 0 + 1 2 + 1 8 + 1 8 = 3 4 F(2.4, 2.1) = 0+\\frac\{1\}\{2\} + \\frac\{1\}\{8\} + \\frac\{1\}\{8\} = \\frac\{3\}\{4\} F(2.4,2.1)=0\+21\+81\+81=43

其他情况类似。

那么，如何计算边缘分布呢？首先我们看看计算 X 的边缘分布：  
![在这里插入图片描述][2020032620161254.png]  
我们把 每一个 X 所在的行分别相加，就可以得到 X 的边缘分布。如下表：

Y 的边缘分布的计算类似。  
![在这里插入图片描述][20200326201812920.png]

最后提几个要点：

1.  有了联合分布就可以唯一地确定边缘分布。
2.  但是有了边缘分布并不能唯一地确定联合分布（除了 X, Y 独立的时候）

# 四、二维连续型随机变量的联合密度函数、分布函数和边缘分布 #

## 4.1 联合密度函数和联合分布函数 ##

分布函数的定义还是一样的： F ( x , y ) = P \{ X ≤ x , Y ≤ y \} F(x, y) = P\\\{X≤x, Y≤y\\\} F(x,y)=P\{ X≤x,Y≤y\}  
它的意义我们在前面讨论过了，既然是体积，那么就会涉及到二重积分。我们先回顾一下二重积分的几何意义：

**当  f ( x , y ) ≥ 0 f(x, y) ≥ 0 f(x,y)≥0 时， ∬ D f ( x , y ) d σ \\iint\_Df(x,y)dσ ∬Df(x,y)dσ 是以区域 D 为底， f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 为顶的曲顶柱体的体积。**

因此，我们就可以通过二重积分计算分布函数： F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( s , t ) d s d t F(x,y) = \\int\_\{-∞\}^\{x\}\\int\_\{-∞\}^\{y\}f(s,t)dsdt F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(s,t)dsdt  
下面我们给出几个性质：  
【1】 f ( x , y ) > 0 f(x,y) >0 f(x,y)>0  
【2】 ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t = 1 \\int\_\{-∞\}^\{+∞\}\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}f(s,t)dsdt = 1 ∫−∞\+∞∫−∞\+∞f(s,t)dsdt=1  
【3】 f ( x , y ) = ∂ 2 F ( x , y ) ∂ x ∂ y f(x,y) = \\frac\{\\partial^2F(x,y)\}\{\\partial \{x\} \\partial \{y\}\} f(x,y)=∂x∂y∂2F(x,y)（这时计算联合密度函数的好办法！）  
【4】如果题目给出来一个区域  G G G，它是 X, Y 平面的一个区域。那么，我们有： P \{ ( x , y ) ∈ G \} = ∬ G f ( x , y ) d x d y P\\\{(x, y)∈G\\\} = \\iint\_\{G\}f(x,y)dxdy P\{ (x,y)∈G\}=∬Gf(x,y)dxdy  
它也就是把 G 区域沿着 Z 轴拉伸，和  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 包围起来的那一部分体积

## 4.2 边缘密度函数 ##

我们先定义一下边缘分布函数： F X ( x ) = F ( x , + ∞ ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F Y ( y ) = F ( + ∞ , y ) = ∫ − ∞ y ∫ − ∞ + ∞ f ( s , t ) d s d t F\_X(x) = F(x, +∞) = \\int\_\{-∞\}^x\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}f(s,t)dsdt\\\\ \\quad\\\\ F\_Y(y) = F(+∞, y) = \\int\_\{-∞\}^y\\int\_\{-∞\}^\{+∞\}f(s,t)dsdt FX(x)=F(x,\+∞)=∫−∞x∫−∞\+∞f(s,t)dsdtFY(y)=F(\+∞,y)=∫−∞y∫−∞\+∞f(s,t)dsdt

当然，通过联合分布函数  F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) 也可以计算处边缘分布： F X ( x ) = lim ⁡ y → + ∞ F ( x , y ) F Y ( y ) = lim ⁡ x → + ∞ F ( x , y ) F\_X(x) = \\lim\_\{y\\to +∞\}F(x, y)\\\\ \\quad\\\\ F\_Y(y) = \\lim\_\{x\\to +∞\}F(x,y) FX(x)=y→\+∞limF(x,y)FY(y)=x→\+∞limF(x,y)  
那么，如果要计算 X 的边缘密度函数，我们就对  F X ( x ) F\_X(x) FX(x) 求导： f X ( x ) = F X ′ ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f\_X(x) = F\_X'(x) = \\int\_\{-∞\}^\{+∞\}f(x,y)dy\\\\ \\quad\\\\ f\_Y(y) = F\_Y'(y) = \\int\_\{-∞\}^\{+∞\}f(x,y)dx fX(x)=FX′(x)=∫−∞\+∞f(x,y)dyfY(y)=FY′(y)=∫−∞\+∞f(x,y)dx  
简而言之，要计算  f X ( x ) f\_X(x) fX(x)，可以在无穷范围内  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 对  y y y 积分。要计算  f Y ( y ) f\_Y(y) fY(y)，可以在无穷范围内  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 对  x x x 积分。

当我们说到这儿的时候，其实给出一道题做，套公式写出来没有任何问题。但是，真正的意义你理解了吗？下面我们看一个例子，博主打算用公式法+画图理解法剖析边缘密度函数的意义：

> 已知（X, Y)在椭圆  x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\} = 1 a2x2\+b2y2=1 所围成的区域上服从均匀分布。其联合密度函数为： φ ( x , y ) = \{ 1 π a b x 2 a 2 + y 2 b 2 ≤ 1 0 e l s e φ(x,y) = \\begin\{cases\} \\frac\{1\}\{πab\}\\quad \\frac\{x^2\}\{a^2\}+\\frac\{y^2\}\{b^2\} ≤1\\\\ 0\\quad else\\\\ \\end\{cases\} φ(x,y)=\{ πab1a2x2\+b2y2≤10else  
> 求 X ,Y 的边缘密度函数  φ X ( x ) , φ Y ( y ) φ\_X(x), φ\_Y(y) φX(x),φY(y)

首先，抛开问题本身，我们一般假设概率密度函数  f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 就是一个草帽状函数，那么问一个问题：联合分布函数  F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)的意义是什么？—— 根据定义思考一下： F ( x , y ) = P \{ X ≤ x , Y ≤ y \} = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x, y) = P\\\{X≤x, Y≤y\\\} = \\int\_\{-∞\}^x\\int\_\{-∞\}^yf(u, v)dudv F(x,y)=P\{ X≤x,Y≤y\}=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv。下面我们看一张图理解一下：

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具体一个  F ( x 0 , y 0 ) F(x\_0, y\_0) F(x0,y0)的意义就是分别用  x = x 0 x = x\_0 x=x0 和  y = y 0 y = y\_0 y=y0 这两把刀，去切割草帽，里面那部分的体积！

那么，边缘密度函数呢？如果我们还是以  f X ( x 0 ) f\_X(x\_0) fX(x0)为例？

![20200330135450931.png][]

既然是  f X ( x 0 ) f\_X(x\_0) fX(x0) ，那么也就意味着只用  x = x 0 x = x\_0 x=x0 这一把刀去切割草帽，我们发现，切割草帽的时候会得到一个切割线，如上图所示。那么  f X ( x 0 ) f\_X(x\_0) fX(x0) 的意义就是这个切割线与  y y y 轴所围成的面积！

**那么，如果我们把这样的分析具体化到这道题目上，本题的分布密度函数如下图左图所示。那么一样的道理，如果考虑  f X ( x 0 ) f\_X(x\_0) fX(x0)，就是只用  x = x 0 x = x\_0 x=x0这一把刀去切割分布密度函数图，如果这把刀能够切割到函数体，那么自然就会产生一个切痕，所以就是切痕曲线与  y y y 轴所围成的面积！**

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很显然，我们发现：这个分布密度函数在中间那个椭圆区域才有值，其他地方都是0.

现在，我们首先计算  φ X ( x ) φ\_X(x) φX(x)，很自然地，我们发现，如果  x = x 0 x = x\_0 x=x0 这把刀放的太前（ x ≥ a x ≥a x≥a）或者太后（ x ≤ − a x ≤ -a x≤−a）我们都无法切到这个函数体，自然就没有切痕。那么  φ X ( x ) φ\_X(x) φX(x) 就会等于 0.即： φ X ( x ) = 0 i f ∣ x ∣ ≥ a φ\_X(x) = 0\\quad if\\space |x| ≥ a φX(x)=0if∣x∣≥a

下面考虑能切到的时候，即 ∣ x ∣ < a |x| < a ∣x∣<a，那么刀刃的线如上面左图加粗的地方，切割线也是一样的。然后我们就是要计算切痕与 y y y 轴所围成的面积（如上面的右图所示）

但是我们又发现，这个切痕也是在 y y y 处于一定范围的时候才有值，其他时候为0. y y y 的范围我们可以通过椭圆的方程很容易求出来，就等于： ± b 1 − x 2 a 2 ±b\\sqrt\{1-\\frac\{x^2\}\{a^2\}\} ±b1−a2x2 
这个面积还不好求？就是一个矩形的面积罢了对吧！所以我们得到： φ X ( x ) = 1 π a b 2 b 1 − x 2 a 2 = 2 π a 1 − x 2 a 2 i f ∣ x ∣ < a φ\_X(x) = \\frac\{1\}\{πab\}2b\\sqrt\{1-\\frac\{x^2\}\{a^2\}\} =\\frac\{2\}\{πa\}\\sqrt\{1-\\frac\{x^2\}\{a^2\}\} \\quad if \\space |x| < a φX(x)=πab12b1−a2x2=πa21−a2x2if∣x∣<a

φ Y ( y ) φ\_Y(y) φY(y) 的理解方法完全类似。式子的意义理解了，带公式解题也有了底气哈哈！

## 关于计算边缘分布密度的注记 ##

在计算边缘分布密度的时候，积分的区间仍然是一个大坑。这里，博主总结了一个避坑方法：  
在给出的联合分布密度函数中，x ,y 的范围有了的时候，我们一定要把这个 x, y 范围所表示的区域画出来，只要把这个区域画出来了，我们在后面对 x 或者 y 积分的时候，它们各自的积分区间一目了然，就不会搞错了。

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