高等数学：一元函数积分学

冷不防 2021-11-16 14:20 657阅读 0赞

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# 定义： #

## 不定积分定义： ##

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## 定积分定义： ##

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**注意区别：**不定积分是一族函数，他又很多个函数，但是定积分呢？它就只有一个函数，并且它所代表的集合意义就是一个曲边梯形的面积。

另外千万搞清楚，不定积分是函数，而定积分是一个确定的数，因为梯形的面积一定是确定的嘛

**定积分和不定积分的联系：**牛顿莱布尼兹公式：

![20190728160113270.png][]

# 积分的计算： #

## 四大基本积分法： ##

### 1.凑微分法 ###

**基本积分公式：**

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**积分的计算技巧：**

当遇见复杂的式子计算积分，那么我们可以这样，先对复杂部分的式子求导，然后再凑微分。

### 2.换元法： ###

当凑微分法不成功时，考虑换元法。所以我们一般先考虑凑微分，然后是换元法。

记住一点：换元千万别忘了回带。

**第一种：三角换元**

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**第二种：倒代换 **

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**第三种：复杂部分代换**

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### 3.分部积分法： ###

分部积分法一般是两个不同类型的函数相乘而来的式子，这个时候我们一般用分部积分法。

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我们在选取那个当v和那个当u，总结了下面这个式子。

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相对而言，更易求导的做u，更易积分的做v。

**推广式子：**

当我们碰见有些题目的时候，往往一次分部积分法是搞不定的，这个时候要多次分部积分，还是比较麻烦和繁琐的，所以就使用下面这种通式的形式，一步到位。

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如何使用表格发来记忆呢？ 我们可以像下面这样。

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他一共有下面四个步骤：

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实际上我们在解题的时候会有这样的疑问：使用表格法，我们应该求导或者积分到哪一项为止呢？我们对于上面的三种情况有三种结论。

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# 有理函数积分法： #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 13][]

# 定积分的计算： #

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 14][]

这里有个注意点，当我们在使用换元法求定积分的时候，我们要换三个地方，一个是上下限要换，二是被积函数要换，积分元素要换。

另外，换元之后，其自变量的范围始终不能超过原来自变量的范围！这一点很重要，一定要切记。

## 点火公式： ##

对于这种式子类型的定积分计算，我们可以使用点火公式：

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就是上面这种式子的时候，我们可以直接使用下面这个结论。 当然，上面的这个式子中的sin也可以是cos，他们都可以用点火公式。

## ![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 15][] ##

**需要我们记住的一个定理:**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 16][]

**下面这个是华里士公式的另外一个式子：**

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM4MTk4NDY3_size_16_color_FFFFFF_t_70 17][]

# 一元函数积分学的应用： #

数一的范围：知道怎么求空间曲面体的体积、面积、以及能够写出这个曲面体的函数

### 第一种：求曲边梯形的面积。 ###

这种一般是套用公式，杂糅进来了前面微分和极限的知识一起考查。

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### 第二种：用积分表达式计算旋转体的体积。 ###

绕着x轴旋转的：

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绕着y轴旋转的：

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### 第三种：用积分表达和计算函数的平均值： ###

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