时间复杂度的表示方法

港控/mmm° 2023-10-11 14:19 9阅读 0赞

**时间复杂度的表示方法**

其实就是算法（代码）的执行效率，算法代码的执行时间。我们来看下面一个简单的代码：

int sumFunc(int n) {
    
    int num = 0; // 执行一次
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 执行n次
    
    num = num + i; // 执行n次
    
    }
    
    return num;
    
    }

假设，每行代码的执行时间为t，那么这块代码的时间就是(2n+2)\*t

由此得出：代码执行时间T(n)与代码的执行次数是成正比的！

那么我们来看下一个例子：

int sumFunc(int n) {
    
        int num = 0; // 执行一次
    
        for (int i = 1; i <= n; ++i) { // 执行n次
    
            for (int j = 1; j <= n; ++j) { //执行n*n次
    
                num = num + i * j; // 执行n*n次
            }
        }
    }

同理，该代码执行时间为(2n\*n+n+1)\*t，没意见吧？继续往后看！

**注意：在数据结构/算法中，通常使用T(n)表示代码执行时间，n表示数据规模大小，f(n)表示代码执行次数综合，**

**所以上面这个例子可以表示为f(n)=(2n\*n+n+1)\*t，其实就是一个求总和的式子，O(大写O)表示代码执行时间与f(n) 成正比例。**

根据上面两个例子得出结论：代码的执行时间 T(n)与每行代码的执行次数 n 成正比，

人们把这个规律总结成这么一个公式：**T(n) = O(f(n))**

所以呢，第一个例子中的 T(n)=O(2n+1)，第二个例子中的 T(n)=O(2n\*n+n+1)，这就是时间复杂度表示法，也叫大O时间复杂度表示法。

但是，大O时间复杂度并不具体表示代码真正的执行时间，而是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势，所以，也叫作渐进时间复杂度，简称**时间复杂度。**

当n变得越来越大时，公式中的低阶，常量，系数三部分影响不了其增长趋势，所以可以直接忽略他们，只记录一个最大的量级就可以了，所以上述两个例子实际他们的时间复杂度应该记为：T(n)=O(n) ，T(n)=O(n\*n)

我想你应该明白大致是怎么回事了，那么我们来看看如何去计算它？

**时间复杂度的分析与计算方法**

**（1）循环次数最多原则**

我们上面说过了，当n变得越来越大时，公式中的低阶，常量，系数三部分影响不了其增长趋势，可以直接忽略他们，只记录一个最大的量级就可以了。因此我们在计算时间复杂度时，只需关注循环次数最多的那段代码即可。

int sumFunc(int n) {
    
    int sum = 0; //执行1次，忽略不计
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    sum += i; // 循环内执行次数最多，执行次数为n次，因此时间复杂度记为O(n)
    
    }
    
    return sum; //执行1次，忽略不计
    
    }

**（2）加法原则**

int sumFunc(int n) {
    
        int sum = 0; //常量级，忽略
    
        for (int i = 0; i < 99; i++) {
    
            sum += i; //执行100次，还是常量级，忽略
        }
        
      for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    sum += i; //执行n次
    
    }
    
    for (int i = 0; i < n; i++){
    
    for (int j = 0; j < n; j++) {
    
    sum += i; //执行n*n次
    
    }
    
    }
    
    return sum;
    
    }

上述例子中，最大的两块代码时间复杂度分别为 O(n)和O(n\*n)，其结果本应该是：T(n)=O(n)+O(n\*n)，我们取其中最大的量级，因此整段代码的复杂度为：O(n \* n)

所以得出结论：量级最大的那段代码时间复杂度=总的时间复杂度

**（3）乘法原则**

嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积

void Func1(int n) {
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    Func2(n); //执行n次，每次都会调用Func2函数执行n次
    
    }
    
    }
    
    void Func2(int n) {
    
    int sum = 0;
    
    for (int i = 0; i < n; i++)
    
    {
    
    sum += 1; //执行n次
    
    }
    
    }

因此这段代码时间复杂度为O(n) \* O(n) = O(n\*n) = O(n\*n)

同理，如果将其中一个n换成m，那么它的时间复杂度就是O(n\*m)

**常见的几种时间复杂度**

**（1）O(1)常量级时间复杂度**

void Func(void) {
    
        for (int i = 0; i < 100; i++) {
    
            printf("hello"); //执行一百次，也是常量级，记为O(1)
    
        }
    
    }
    
    void Func(void) {
    
        printf("hello");
    
        printf("hello");
    
        printf("hello");
    
        //各执行一次，还是记为O(1)
    
    }

相信你也看明白了，O(1)不是说代码只有一行，这个1它代表的是一个常量，即使它有以前一万行这样的也是O(1)，因为它是固定的不会变化（也就是常量），所以凡是常量级复杂度代码，均记为O(1)

**（2）常见的O(n)复杂度**

void Func(int n) {
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    printf("hello");
    
    }
    
    }

**（3）O(logn)，O(nlogn) ，这就有点难度了！**

首先我们来回忆以下换底公式：

**loga(b)\*logc(a)=logc(b)**

记住公式啊，来看例子：

void Func(int n) {
    
    for (int i = 1; i < n; i++) {
    
    i = i * 2;
    
    }
    
    }

可以看出，i = i \* 2这行代码执行次数是最多的，那么到底执行了多少次呢？

第一次 i=2，执行第二次 i=4，执行第三次 i=8…

假设它执行了x次，那么x的取值为：

**X=log2(n)**

当上述代码的2改成3的时候，x的取值也就是：

X=log3(n)![8644ebf81a4c510f48ecd17e0212712bd42aa57f.jpeg_token_550be272d96e17e487daa9878ddf276b_s_798C3472C563FF305C7918C70000A0B1][]

当然不管log的底数是几，是e也好，是10也罢，统统记为：

log(n)![1b4c510fd9f9d72ac3f35e4209617c32359bbba8.jpeg_token_b06d62290c9b92288f1aabff074c8451_s_19843C7AE5376B301EFC94C70000A0B1][]

这是为啥子念？由换底公式可以计算出：

log3(n)=log3(2)\*log2(n)

![8b82b9014a90f6038bf56f0aca58e71db151ed8c.jpeg_token_93a681e623f4333b69b55a43fc61239b][]

换底之后，可以看出log3(2)其实就是一个常数，忽略它！而在这场游戏中，log默认就是以2为底的，所以统统记为O(logn)。

void Func(int n) {
    
    for (int i = 0; i < n; i++) {
    
    Func2(n); //执行n次，嵌套调用，每次调用执行logn次
    
    }
    
    }
    
    void Func2(int n) {
    
    for (int i = 0; i < n; i++)
    
    {
    
    i = i * 2; //执行logn次
    
    }
    
    }

所以这个**O(nlogn)**也很好理解了吧！

其他就不赘述了，相信聪明的你一定可以举一反三！如果对你有帮助，就点个“在看”支持下作者吧！

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