[时间复杂度]-排序算法的时间复杂度

今天药忘吃喽~ 2023-09-24 14:38 104阅读 0赞

我们经常可以看到这样的描述：软件=数据结构+算法，可见算法基础对于一个程序员的重要性。算法中，有两个基本概念：时间复杂度和空间复杂度。

*  时间复杂度：描述算法执行消耗的时间，时间越短，时间复杂度越低，算法越优秀；
 *  空间复杂度：描述算法执行所占用的内存空间，占用内存越少，空间复杂度越低，算法越优秀；

因此，时间复杂度和空间复杂度是评价一个算法性能的主要指标。那么如何计算一个算法的时间复杂度和空间复杂度呢？

简单理解，计算时间复杂度就是评估一个算法完成后执行了多少行代码，也就是算法所消耗的时间，但是该如何用数学的方式其表示出来呢？

假设现在有个一个算法需要执行n次运算，我们用T(n)表示，n即表示算法的规模（比如n=10时，循环输出10次Hello World；n=100时，循环输出100次Hello World）。如果假设存在一个函数f(n)，表示随着n的变化，算法需要执行的次数，当T(n)=O(f(n))，那么O(f(n))即为算法的时间复杂度。

比如，一个普通的循环：

public int calc(int n) {
        int total = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            total += i;
        }
        return total;
    }

当n越大，循环的次数越多，那么耗费的时间也就越大，也就是f(n)随着n线性增长。那么该算法的执行时间T(n)=O(n)，即时间复杂度为O(n)。

再比如，一个双层循环：

public int calc(int n) {
        int total = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                total += j;
            }
        }
        return total;
    }

外层循环每循环一次，内层循环就循环了n次，那么代码总循环次数就是n\*n。那么该算法的执行时间T(n)=O(n^2) ，即时间复杂度为O(n^2)。

一般来说，时间复杂度是用来评估随着n的增大，算法执行需要消耗时间的增速，而不是精确计算消耗的时间，事实上也无法精确计算。既然是评估，那么f(n)函数我们只需要保留对消耗时间影响最大的因子即可。

例如，有一个f(n)=2\*n3函数，系数2对f(n)函数的增速影响就不大，所以该算法的时间复杂度T(n)=O(n3)，即忽略常量系数对增速的影响。

再比如，在一个没有循环的代码块里，只有三行输出代码：

public void print() {
        System.out.println("Hello 河先森");
        System.out.println("Hello 河先森");
        System.out.println("Hello 河先森");
    }

即T(n)=3，是一个常数，而常数对增速的影响是可以忽略的，那么该代码块的时间复杂度就是O(1)。

再来看一个例子，计算下面代码块的时间复杂度：

public void print(int n) {
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = i; j < n; j++) {
                System.out.println("Hello 河先森");
            }
        }
    }

当i=0时，内层循环了n次，当i=1时，内层循环了n-1次，以此内推，当i=n-1时，内层循环了1次。那么总的循环次数T(n)=n+(n-1)+(n-1)+...+1=n(n+1)/2=nn/2+n/2，忽略常数项和对增速影响不大的因子，只保留影响最大的因子，那么该算法的时间复杂度即为O(n2)。

常见的时间复杂度量级：

*  常数阶O(1)
 *  对数阶O(logN)
 *  线性阶O(n)
 *  线性对数阶O(nlogN)
 *  平方阶O(n²)
 *  立方阶O(n³)
 *  K次方阶O(n^k)
 *  指数阶(2^n)

以上算法时间复杂度中，随着n的增大，f(n)增速越快，说明算法的效率越低。即算法耗费的时间O(1) < O(logN) < O(n) < O(nlogN) < O(n²) < O(n³) < O(n^k) < O(2^n)。

如果想在一个数组中找到一个数，最简单的方法就是循环遍历：

public boolean search(int m) {
        int[] arr = new int[]{3, 5, 7, 1, 2, 6, 4, 9};
        for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
            if (m == arr[i]) {
                return true;
            }
        }
        return false;
    }

如果要查找的是数是数组的第一个数（本例子中的3），那么只需要一次循环就能找到，时间复杂度为O(1)。但是如果要查找的数在数组最后位置（本例中的9），那么必须要经过arr.length次循环，时间复杂度为O(n)，n为数组的长度。那么这段代码代码块的时间复杂度到底是多少呢？

一般在没有特殊说明的情况下，时间复杂度都是指最坏的时间复杂度，因为没有比这更坏的情况了。所以这段代码块的时间复杂度为O(n)。

时间复杂度描述的是算法消耗时间趋势，同理，空间复杂度则是描述算法在运行时临时内存消耗的趋势，一般用 S(n) 来定义，记作S(n)=O(fn)。

至于评价算法的具体好坏，就要具体情况具体分析了。有时我们会拿时间换空间，有时会去拿空间换时间，有时则需要同时考虑时间和空间复杂度。

总之，具体问题具体分析，但是我们一定要理解时间复杂度和空间复杂度的分析过程。

重要的排序算法的时间复杂度:

重点记忆: 插入排序-堆排序-快速排序-归并排序 的 平均时间复杂度

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