[C++] 贪心算法之活动安排、背包问题

男娘i 2023-10-06 09:41 13阅读 0赞

### 一、贪心算法的基本思想 ###

在求解过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解。

从贪心算法的定义可以看出，贪心算法不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。如果一个问题可以同时用几种方法解决，贪心算法应该是最好的选择之一。

### 二、贪心算法的基本要素 ###

（1）最优子结构性质

（2）贪心选择性质（局部最优选择）

### 三、贪心算法实例 ###

1、活动安排

设有n个活动的集合 E ＝ \{1,2,…,n\}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。

每个活动 i 都有一个要求使用该资源的起始时间 si 和一个结束时间 fi，且 si ＜ fi。如果选择了活动i，则它在半开时间区间 \[si ,fi ) 内占用资源。若区间 \[si , fi )与区间 \[sj, fj ) 不相交，则称活动i与活动j是相容的。当 si ≥ fj 或 sj ≥ fi 时，活动 i 与活动 j 相容。

活动安排问题就是在所给的活动集合中选出最大的相容活动子集合。

例如：

![format_png][]

1 #include <iostream>   
     2 using namespace std;   
     3   
     4 #define NUM 50 
     5 
     6 void GreedySelector(int n, int s[], int f[], bool b[])  
     7 {
     8     b[1]=true;  //默认将第一个活动先安排 
     9     int j=1;    //记录最近一次加入b中的活动  
    10   
    11       //依次检查活动i是否与当前已选择的活动相容
    12     for(int i=2;i<=n;i++)  
    13     {  
    14         if (s[i]>=f[j])  
    15         {   
    16             b[i]=true;  
    17             j=i;  
    18         }  
    19         else  
    20             b[i]=false;  
    21     }  
    22 }
    23 
    24 int main()  
    25 {  
    26     int s[] = {
        0,1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12};          //存储活动开始时间
    27     int f[] = {
        0,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14};      //存储活动结束时间
    28     bool b[NUM];  //存储被安排的活动编号 
    29      int n = (sizeof(s) / sizeof(s[0])) - 1;
    30      
    31     GreedySelector(n, s, f, b);
    32     
    33     for(int i = 1; i <= n; i++)      //输出被安排的活动编号和它的开始时间和结束时间 
    34     {  
    35         if(b[i]) cout << "活动 " << i << " :" << "(" << s[i] << "," << f[i] << ")" <<endl;  
    36     }  
    37     return 0;  
    38 }

2、背包问题

给定一个载重量为 M 的背包，考虑 n 个物品，其中第 i 个物品的重量 wi（1 ≤ i ≤ n），价值 vi（1 ≤ i ≤ n），要求把物品装满背包，且使背包内的物品价值最大。  
　　有两类背包问题（根据物品是否可以分割），如果物品不可以分割，称为 0—1 背包问题（动态规划）；如果物品可以分割，则称为背包问题（贪心算法）。

例如：

有3种方法来选取物品：

（1）当作 0—1 背包问题，用动态规划算法，获得最优值 220；  
　　　　（2）当作 0—1 背包问题，用贪心算法，按性价比从高到底顺序选取物品，获得最优值 160。由于物品不可分割，剩下的空间白白浪费。  
　　　　（3）当作背包问题，用贪心算法，按性价比从高到底的顺序选取物品，获得最优值 240。由于物品可以分割，剩下的空间装入物品 3 的一部分，而获得了更好的性能。

![format_png 1][]

图2.1 背包问题

1 #include <iostream>   
     2 using namespace std;   
     3   
     4 #define NUM 50
     5 
     6 //这里假设 w[], v[] 已按要求排好序 
     7 void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[])  
     8 {
     9     int i; 
    10     for(i = 1; i <= n; i++) x[i] = 0;    //初始化数组 
    11     float c  =  M;  
    12     for(i = 1;i <= n; i++)                //全部被装下的物品,且将 x[i] = 1  
    13     {  
    14         if(w[i]>c) break;
    15         x[i] = 1;  
    16         c -= w[i];  
    17     }  
    18   
    19     if(i <= n) x[i] = c / w[i];  //将物品i 的部分装下
    20 } 
    21 
    22 int main()  
    23 {
    24     float M = 50;                //背包所能容纳的重量  
    25     float w[] = {
        0,10,20,30};   //这里给定的物品按价值降序排序 
    26     float v[] = {
        0,60,100,120};  
    27       float x[NUM];                //存储每个物品装入背包的比例 
    28       
    29     int n = (sizeof(w) / sizeof(w[0])) - 1; 
    30       
    31     Knapsack(n, M, v, w, x);
    32      
    33     for(int i = 1; i <= n; i++)
    34         cout << "物品 " << i << " 装入的比例: " << x[i] << endl;  
    35     return 0;  
    36 }

[format_png]: http://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9pbWFnZXMyMDE1LmNuYmxvZ3MuY29tL2Jsb2cvMTExOTA5Ny8yMDE3MDUvMTExOTA5Ny0yMDE3MDUyNDE5NDI0MjM1Ny0xODg1NjY4NjYzLmpwZw?x-oss-process=image/format,png
[format_png 1]: http://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9pbWFnZXMyMDE1LmNuYmxvZ3MuY29tL2Jsb2cvMTExOTA5Ny8yMDE3MDUvMTExOTA5Ny0yMDE3MDUyNDE5NTEyNDg1Ny00NzQzOTUyNDcuanBn?x-oss-process=image/format,png