算法 - 判定素数的四种方法（JavaScript）

朱雀 2023-09-28 16:41 109阅读 0赞

**目录**

素数的概念

素数只能被1和自身整除

素数平方根范围

素数不能是除了2外的偶数

大于等于5的素数一定和6的倍数相邻

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### 素数的概念 ###

> 素数又叫质数，素数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。
> 
> 100以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个。

### 素数只能被1和自身整除 ###

素数只能被1和自身整除，所以遍历（1，n）开区间中的所有自然数给n来除，若存在整除，即余数为0，则表示该数n不是素数，否则就是素数。

但是这种算法的复杂度为O(n)

### 素数平方根范围 ###

假设n不是素数，则n除了可以被1和n整除外，还可以被i、j整除，即 n / i = j...0，比如15不是素数，15 / 3 = 5，比如35不是素数，35 / 5 = 7，此时i,j必然分别处于(1, Math.sqrt(n)\]和\[Math.sqrt(n), n） 之中，比如Math.sqrt(15) ≈ 3.8，则 3处于（1，3.8\]，5处于\[3.8, 15）。比如Math.sqrt(4) = 2，则2处于(1,2\]中，也处于\[2,4)中。

此时算法复杂度为O（sqrt(n)）

### 素数不能非2的其他偶数 ###

除了2，所有偶数都不是素数

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for循环中n，只能为上图浅蓝色部分。

因此上面算法减少了一半的循环，时间复杂度为O（sqrt(n) / 2）

需要注意的是，本算法的代码不能将n % 2 === 0 的判断条件加入到循环中，如下代码存在漏洞

此时4、6、8都会被判定为素数。

漏洞形成的原因是，for循环的循环条件 i <= Math.sqrt(n) 不成立，比如n=4时，i <= Math.sqrt(4) 不成立，导致n无法进入循环中n % 2 === 0 的判断，而是直接退出循环，return true。

该算法只能保证循环条件 i <= Math.sqrt(n) 成立的n值判断素数正确，即 n >= i^2 = 9 时。

### 大于等于5的素数一定和6的倍数相邻 ###

大于等于5的素数一定和6的倍数相邻

（注意这句话不等价于：和6的倍数相邻的数一定是大于5的素数，该结论不成立。）

![e0dc7f8299a14217b5fa6f4b9551c06f.png][]

如上图中，将大于等于5的数分为了：6y-1、6y、6y+1、6y+2、6y+3、6y+4（y>=1）

其中，6y、6y+2、6y+3、6y+4都不可能是素数，只有6y-1和6y+1**可能**是素数。

另外，6y-1（y>=1）和 6y + 5 （y>=0）等价。

所以，我们可以将n不为6y-1（或6y+5）和6y+1的数直接排除，排除方法为，

> if (n % 6 !== 1 && n % 6 !== 5) \{  
> return false;  
> \}

下面要剔除掉6y-1（或6y+5）和6y+1中的非素数，

> for (let i = 5; i <= Math.sqrt(n); i += 6) \{  
> if (n % i === 0 || n % (i + 2) === 0) \{  
> return false;  
> \}  
> \}

这里大家比较疑惑的可能有两点：

*  for循环i自增为啥是 6
 *  for循环中素数判定的条件为啥是 n % i === 0 || n % (i+2) === 0

![e0dc7f8299a14217b5fa6f4b9551c06f.png][]

我们看上面图解，可以发现，6y-1，是基数为5，差值为6的等差数列，即 5 + 6x :

*  对于 5 + 6x 而言，如果x为5的倍数（5 \* z），则5 + 6x = 5 + 6 \* 5 \* z = 5 \*（1+6z）,则此时5 + 6x可以被5整除。
 *  5 + 6x 还可以转化为 5 + 6 + 6 \* (x-1) = 11 + 6(x-1)，则只要x-1为11的倍数，则5 + 6x可以被11整除，
 *  5 + 6x 还可以转化为 5 + 12 + 6 \* (x-2) = 17 + 6(x-2)，则只要x-2为17的倍数，则5 + 6x可以被17整除
 *  ......

6y+1，是基数为7，差值为6的等差数列，即 7 + 6x :

*  对于 7 + 6x 而言，如果x为7的倍数（7 \* z），则7 + 6x = 7 + 6 \* 7 \* z = 7 \*（1+6z）,则此时7 + 6x可以被7整除。
 *  7 + 6x 还可以转化为 7 + 6 + 6 \* (x-1) = 13 + 6(x-1)，则只要x-1为13的倍数，则7 + 6x可以被13整除，
 *  7 + 6x 还可以转化为 7 + 12 + 6 \* (x-2) = 19 + 6(x-2)，则只要x-2为19的倍数，则7 + 6x可以被19整除，
 *  ......

所以6y-1和6y+1可能整除的数自增量为6，这是for循环i自增为啥是 6的原因

且6y-1和6y+1的整除数基数为5和7，相差为2，这是for循环中素数判定的条件为啥是 n % i === 0 || n % (i+2) === 0的原因

此时时间复杂度为 O（sqrt(n) / 3）

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