插值算法模型

古城微笑少年丶 2023-09-28 14:46 11阅读 0赞

来源：数学建模清风学习内容整理

--------------------

#### 文章目录 ####

*  插值算法
 *  拉格朗日插值法合和牛顿插值法
 *   *  拉格朗日插值法
     *  拉格朗日插值存在的问题
     *  牛顿插值法
     *  两种插值法的对比和问题
 *  ※埃尔米特插值（常用）
 *  ※三次样条插值（常用）
 *  n维插值
 *  插值预测
 *  建模实例

--------------------

## 插值算法 ##

*  **插值的作用：** 数模比赛中，常常需要根据已知的函数点进行数据、模型的处理和  
    分析，而有时候现有的数据是极少的，不足以支撑分析的进行，这时就  
    需要使用一些数学的方法，“模拟产生”一些新的但又比较靠谱的值来满  
    足需求，这就是插值的作用。

![在这里插入图片描述][a0e5de37ae644710a737f5830c41fb51.png]

![在这里插入图片描述][647fe5741bdf4d95b072918c49e99a21.png]  
![在这里插入图片描述][1dd137ee8e0c444f8ffe905841169cbb.png]  
![在这里插入图片描述][737f2da0ecc941deb1f77f9d7b1269a6.png]  
![在这里插入图片描述][399af624795b402a8bb726ca3f23e96d.png]

## 拉格朗日插值法合和牛顿插值法 ##

### 拉格朗日插值法 ###

![在这里插入图片描述][dd1650b804da4c4ba3fee22941ccdf3e.png]  
![在这里插入图片描述][fb7ade39656742efb2566dd946c8e8bc.png]  
![在这里插入图片描述][68b727a935824f2dbe63abdd3d146e48.png]

![在这里插入图片描述][7338fd080efa4a92a1af2e5546fe3c47.png]

### 拉格朗日插值存在的问题 ###

当次数n太多会造成不稳定，误差急剧增大，可采用分段解决

![在这里插入图片描述][00a746f75ff349dd894efe6273032f5d.png]  
![在这里插入图片描述][582ee760a61a464286c59a951ee57a82.png]

![在这里插入图片描述][57cec13f2331403283e7edb65e038161.png]

![在这里插入图片描述][61b6e47df7d94884950b9a59a68613fa.png]

### 牛顿插值法 ###

![在这里插入图片描述][637a1b080bd84032a8ef19fa3192d9d6.png]

### 两种插值法的对比和问题 ###

![在这里插入图片描述][ff73717fc8504b6aa4d52e45a755628a.png]

![在这里插入图片描述][5bd55c02a69845df8fabde42e96d0e54.png]

*  **所以 拉格朗日插值 和 牛顿插值 都不常用**

--------------------

## ※埃尔米特插值（常用） ##

*  能够保持线性程度良好

![在这里插入图片描述][5584dce7c14b4b208350db0b4210e0ab.png]

![在这里插入图片描述][02fbb3a041b24910bf3bf75f139268f3.png]

![在这里插入图片描述][6646a8c6e5434a9d960aea152f70639f.png]

% 分段三次埃尔米特插值
    x = -pi:pi; y = sin(x); 
    new_x = -pi:0.1:pi;
    p = pchip(x,y,new_x);
    figure(1); % 在同一个脚本文件里面，要想画多个图，需要给每个图编号，否则只会显示最后一个图
    plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')
    
    % plot函数用法:
    % plot(x1,y1,x2,y2) 
    % 线方式： - 实线 :点线 -. 虚点线 - - 波折线 
    % 点方式： . 圆点  +加号  * 星号  x x形  o 小圆
    % 颜色： y黄； r红； g绿； b蓝； w白； k黑； m紫； c青

--------------------

## ※三次样条插值（常用） ##

![在这里插入图片描述][7a4b52497df44d3da9c1b3c9ea79b317.png]

> ![加粗样式][f24d8b15a73a40deb5fab0e7b9acc3e1.png]

![在这里插入图片描述][4488fc6be3a947b9a5ae38e173d24d78.png]

% 三次样条插值和分段三次埃尔米特插值的对比
    x = -pi:pi; 
    y = sin(x); 
    new_x = -pi:0.1:pi;
    p1 = pchip(x,y,new_x);   %分段三次埃尔米特插值
    p2 = spline(x,y,new_x);  %三次样条插值
    figure(2);
    plot(x,y,'o',new_x,p1,'r-',new_x,p2,'b-')
    legend('样本点','三次埃尔米特插值','三次样条插值','Location','SouthEast')   %标注显示在东南方向
    % 说明：
    % LEGEND(string1,string2,string3, …)
    % 分别将字符串1、字符串2、字符串3……标注到图中，每个字符串对应的图标为画图时的图标。
    % ‘Location’用来指定标注显示的位置

![在这里插入图片描述][83058063310a4be991bc234a05b4c193.png]

## n维插值 ##

![在这里插入图片描述][b65ee2893571463b86b5bc30c62dbb81.png]

% n维数据的插值
    x = -pi:pi; y = sin(x); 
    new_x = -pi:0.1:pi;
    p = interpn (x, y, new_x, 'spline');
    % 等价于 p = spline(x, y, new_x);
    figure(3);
    plot(x, y, 'o', new_x, p, 'r-')

## 插值预测 ##

![在这里插入图片描述][4a2b3d9b2fa84ca9b64a448ea3a0c731.png]

% 人口预测（注意：一般我们很少使用插值算法来预测数据，随着课程的深入，后面的章节会有更适合预测的算法供大家选择，例如灰色预测、拟合预测等）
    population=[133126,133770,134413,135069,135738,136427,137122,137866,138639, 139538];
    year = 2009:2018;
    p1 = pchip(year, population, 2019:2021)  %分段三次埃尔米特插值预测
    p2 = spline(year, population, 2019:2021) %三次样条插值预测
    figure(4);
    plot(year, population,'o',2019:2021,p1,'r*-',2019:2021,p2,'bx-')
    legend('样本点','三次埃尔米特插值预测','三次样条插值预测','Location','SouthEast')

## 建模实例 ##

![在这里插入图片描述][dc74a19fd597403cb26fd0d3a76d9a4f.png]

![在这里插入图片描述][e703bf988af64094a7eca49e16e6cf67.png]

*  使用matlab插值补其缺少的数据

%插值预测中间周的水体评价指标
    load Z.mat
    x=Z(1,:); %Z的第一行是星期Z: 1     3     5     7     9    11    13    15
    [n,m]=size(Z);%n为Z的行数，m为Z的列数
    % 注意Matlab的数组中不能保存字符串，如果要生成字符串数组，就需要使用元胞数组，其用大括号{}定义和引用
    ylab={'周数','轮虫','溶氧','COD','水温','PH值','盐度','透明度','总碱度','氯离子','透明度','生物量'};  % 等会要画的图形的标签
    disp(['共有' num2str(n-1) '个指标要进行插值。'])
    disp('正在对一号池三次埃尔米特插值，请等待')%一号池共有十一组要插值的数据，算上星期所在的第一行，共十二行
    P=zeros(11,15);%对要储存数据的矩阵P赋予初值
    for i=2:n%从第二行开始都是要进行插值的指标
        y=Z(i,:);%将每一行依次赋值给y
        new_x=1:15;%要进行插值的x
        p1=pchip(x,y,new_x);%调用三次埃尔米特插值函数
        subplot(4,3,i-1);%将所有图依次变现在4*3的一幅大图上
        plot(x,y,'ro',new_x,p1,'-');%画出每次循环处理后的图像
        axis([0 15,-inf,inf])  %设置坐标轴的范围，这里设置横坐标轴0-15，纵坐标不变化
        %  xlabel('星期')%x轴标题
        ylabel(ylab{i})%y轴标题  这里是直接引用元胞数组中的字符串哦
        P(i-1,:)=p1;%将每次插值之后的结果保存在P矩阵中       
    end
    legend('原始数据','三次埃尔米特插值数据','Location','SouthEast')%加上标注，注意要手动在图中拖动标注到图片右下角哦
    P = [1:15; P]  %把P的第一行加上周数
    
    
    % % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
    % % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭

[a0e5de37ae644710a737f5830c41fb51.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/a0e5de37ae644710a737f5830c41fb51.png
[647fe5741bdf4d95b072918c49e99a21.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/647fe5741bdf4d95b072918c49e99a21.png
[1dd137ee8e0c444f8ffe905841169cbb.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/1dd137ee8e0c444f8ffe905841169cbb.png
[737f2da0ecc941deb1f77f9d7b1269a6.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/737f2da0ecc941deb1f77f9d7b1269a6.png
[399af624795b402a8bb726ca3f23e96d.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/399af624795b402a8bb726ca3f23e96d.png
[dd1650b804da4c4ba3fee22941ccdf3e.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/dd1650b804da4c4ba3fee22941ccdf3e.png
[fb7ade39656742efb2566dd946c8e8bc.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/fb7ade39656742efb2566dd946c8e8bc.png
[68b727a935824f2dbe63abdd3d146e48.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/68b727a935824f2dbe63abdd3d146e48.png
[7338fd080efa4a92a1af2e5546fe3c47.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/7338fd080efa4a92a1af2e5546fe3c47.png
[00a746f75ff349dd894efe6273032f5d.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/00a746f75ff349dd894efe6273032f5d.png
[582ee760a61a464286c59a951ee57a82.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/582ee760a61a464286c59a951ee57a82.png
[57cec13f2331403283e7edb65e038161.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/57cec13f2331403283e7edb65e038161.png
[61b6e47df7d94884950b9a59a68613fa.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/61b6e47df7d94884950b9a59a68613fa.png
[637a1b080bd84032a8ef19fa3192d9d6.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/637a1b080bd84032a8ef19fa3192d9d6.png
[ff73717fc8504b6aa4d52e45a755628a.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/ff73717fc8504b6aa4d52e45a755628a.png
[5bd55c02a69845df8fabde42e96d0e54.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/5bd55c02a69845df8fabde42e96d0e54.png
[5584dce7c14b4b208350db0b4210e0ab.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/5584dce7c14b4b208350db0b4210e0ab.png
[02fbb3a041b24910bf3bf75f139268f3.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/02fbb3a041b24910bf3bf75f139268f3.png
[6646a8c6e5434a9d960aea152f70639f.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/6646a8c6e5434a9d960aea152f70639f.png
[7a4b52497df44d3da9c1b3c9ea79b317.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/7a4b52497df44d3da9c1b3c9ea79b317.png
[f24d8b15a73a40deb5fab0e7b9acc3e1.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/f24d8b15a73a40deb5fab0e7b9acc3e1.png
[4488fc6be3a947b9a5ae38e173d24d78.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/4488fc6be3a947b9a5ae38e173d24d78.png
[83058063310a4be991bc234a05b4c193.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/83058063310a4be991bc234a05b4c193.png
[b65ee2893571463b86b5bc30c62dbb81.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/b65ee2893571463b86b5bc30c62dbb81.png
[4a2b3d9b2fa84ca9b64a448ea3a0c731.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/4a2b3d9b2fa84ca9b64a448ea3a0c731.png
[dc74a19fd597403cb26fd0d3a76d9a4f.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/dc74a19fd597403cb26fd0d3a76d9a4f.png
[e703bf988af64094a7eca49e16e6cf67.png]: https://img-blog.csdnimg.cn/e703bf988af64094a7eca49e16e6cf67.png