Java进阶知识 —— 算法时间复杂度

梦里梦外; 2023-09-27 23:46 119阅读 0赞

### 算法时间复杂度 ###

前言

通常，对于一个给定的算法，我们要做 两项分析。第一是从数学上证明算法的正确性，这一步主要用到形式化证明的方法及相关推理模式，如循环不变式、数学归纳法等。而在证明算法是正确的基础上，第二部就是分析算法的时间复杂度。算法的时间复杂度反映了程序执行时间随输入规模增长而增长的量级，在很大程度上能很好反映出算法的优劣与否。因此，作为程序员，掌握基本的算法时间复杂度分析方法是很有必要的。  
算法执行时间需通过依据该算法编制的程序在计算机上运行时所消耗的时间来度量。而度量一个程序的执行时间通常有两种方法。

#### 1.算法的效率 ####

虽然计算机能快速的完成运算处理，但实际上，它也需要根据输入数据的大小和算法效率来消耗一定的处理器资源。要想编写出能高效运行的程序，我们就需要考虑到算法的效率。  
算法的效率主要由以下两个复杂度来评估：  
时间复杂度：评估执行程序所需的时间。可以估算出程序对处理器的使用程度。  
空间复杂度：评估执行程序所需的存储空间。可以估算出程序对计算机内存的使用程度。

设计算法时，一般是要先考虑系统环境，然后权衡时间复杂度和空间复杂度，选取一个平衡点。不过，时间复杂度要比空间复杂度更容易产生问题，因此算法研究的主要也是时间复杂度，不特别说明的情况下，复杂度就是指时间复杂度。

#### 2.时间复杂度 ####

时间频度  
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

时间复杂度  
前面提到的时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时我们想知道它变化时呈现什么规律，为此我们引入时间复杂度的概念。一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记作T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

#### 3.大O表示法 ####

像前面用O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O表示法。  
算法复杂度可以从最理想情况、平均情况和最坏情况三个角度来评估，由于平均情况大多和最坏情况持平，而且评估最坏情况也可以避免后顾之忧，因此一般情况下，我们设计算法时都要直接估算最坏情况的复杂度。  
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值可以为1、n、logn、n²等，因此我们可以将O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别可以称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶，那么如何推导出f(n)的值呢？我们接着来看推导大O阶的方法。

推导大O阶

推导大O阶，我们可以按照如下的规则来进行推导，得到的结果就是大O表示法：  
1.用常数1来取代运行时间中所有加法常数。  
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项  
3.如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

常数阶

先举了例子，如下所示。

ini

复制代码

`int sum = 0,n = 100; //执行一次 sum = (1+n)*n/2; //执行一次 System.out.println (sum); //执行一次`

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，我们需要将常数3改为1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。如果sum = （1+n）\*n/2这条语句再执行10遍，因为这与问题大小n的值并没有关系，所以这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，我们可以称之为常数阶。

线性阶

线性阶主要要分析循环结构的运行情况，如下所示。

css

复制代码

`for(int i=0;i<n;i++){ //时间复杂度为O(1)的算法 ... }`

上面算法循环体中的代码执行了n次，因此时间复杂度为O(n)。

对数阶

接着看如下代码：

ini

复制代码

`int number=1; while(number<n){ number=number*2; //时间复杂度为O(1)的算法 ... }`

可以看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会越来越接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，因此得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

平方阶

下面的代码是循环嵌套：

ini

复制代码

`for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;i++){ //复杂度为O(1)的算法 ... } }`

内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，现在经过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。  
接下来我们来算一下下面算法的时间复杂度：

ini

复制代码

`for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=i;j<n;i++){ //复杂度为O(1)的算法 ... } }`

需要注意的是内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，我们可以推算出总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1  
=(n+1)+\[(n-1)+2\]+\[(n-2)+3\]+\[(n-3)+4\]+……  
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+……  
=(n+1)n/2  
=n(n+1)/2  
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，因此保留n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

其他常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有如下时间复杂度：  
\- f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，可以称为nlogn阶。  
\- f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，可以称为立方阶。  
\- f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，可以称为指数阶。  
\- f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，可以称为阶乘阶。  
\- f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，可以称为平方根阶。

#### 4.复杂度的比较 ####

下面将算法中常见的f(n)值根据几种典型的数量级来列成一张表，根据这种表，我们来看看各种算法复杂度的差异。

<table> 
 <thead> 
  <tr> 
   <th>n</th> 
   <th>logn</th> 
   <th>√n</th> 
   <th>nlogn</th> 
   <th>n²</th> 
   <th>2ⁿ</th> 
   <th>n!</th> 
  </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
  <tr> 
   <td>5</td> 
   <td>2</td> 
   <td>2</td> 
   <td>10</td> 
   <td>25</td> 
   <td>32</td> 
   <td>120</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>10</td> 
   <td>3</td> 
   <td>3</td> 
   <td></td> 
   <td>30</td> 
   <td>100</td> 
   <td>1024</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>50</td> 
   <td>5</td> 
   <td>7</td> 
   <td>250</td> 
   <td>2500</td> 
   <td>约10^15</td> 
   <td>约3.0*10^64</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>100</td> 
   <td>6</td> 
   <td>10</td> 
   <td>600</td> 
   <td>10000</td> 
   <td>约10^30</td> 
   <td>约9.3*10^157</td> 
  </tr> 
  <tr> 
   <td>1000</td> 
   <td>9</td> 
   <td>31</td> 
   <td>9000</td> 
   <td>1000 000</td> 
   <td>约10^300</td> 
   <td>约4.0*10^2567</td> 
  </tr> 
 </tbody> 
</table>

从上表可以看出，O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )随着n的增加，复杂度提升不大，因此这些复杂度属于效率高的算法，反观O(2ⁿ)和O(n!)当n增加到50时，复杂度就突破十位数了，这种效率极差的复杂度最好不要出现在程序中，因此在动手编程时要评估所写算法的最坏情况的复杂度。

下面给出一个更加直观的图：  
这里写图片描述

其中x轴代表n值，y轴代表T(n)值（时间复杂度）。T(n)值随着n的值的变化而变化，其中可以看出O(n!)和O(2ⁿ)随着n值的增大，它们的T(n)值上升幅度非常大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)随着n值的增大，T(n)值上升幅度则很小。  
常用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：

作者：Dai\_Dev  
链接：https://juejin.cn/post/7234330098090311739