三点共线的向量刻画

川长思鸟来 2023-08-17 17:32 105阅读 0赞

## 前言 ##

在数学中，三点共线的给出方式有以下几种： 其中向量的表示形式比较难理解，以下用图形帮助我们理解；

*  向量表示形式：\\(\\overrightarrow\{OC\}=\\lambda\\overrightarrow\{OA\}+(1-\\lambda)\\overrightarrow\{OB\}\\) 或\\(\\overrightarrow\{AB\}=k\\cdot \\overrightarrow\{AC\}\\)
 *  距离表示形式：\\(|AB|+|BC|=|AC|\\)
 *  斜率表示形式:\\(k\_\{AB\}=k\_\{AC\}\\)

## 定理内容 ##

【源题】已知\\(\\overrightarrow\{OC\}=\\lambda \\overrightarrow\{OA\}+\\mu \\overrightarrow\{OB\}\\)，其中\\(\\lambda+\\mu=1\\)，求证：\\(A、B、C\\)三点共线；

![992978-20190831105149602-41082424.png][]

思路：通过向量共线(如\\(\\overrightarrow\{AB\}=k\\cdot \\overrightarrow\{AC\}\\))，得三点共线；

证明：如图，由\\(\\lambda+\\mu=1\\)，得到\\(\\mu=1-\\lambda\\)，

又由于\\(\\overrightarrow\{OC\}=\\lambda \\overrightarrow\{OA\}+\\mu \\overrightarrow\{OB\}\\)，

即\\(\\overrightarrow\{OC\}=\\lambda \\overrightarrow\{OA\}+(1-\\lambda)\\overrightarrow\{OB\}\\)，

则\\(\\overrightarrow\{OC\}-\\overrightarrow\{OB\}=\\lambda(\\overrightarrow\{OA\}-\\overrightarrow\{OB\})\\)

即\\(\\overrightarrow\{BC\}=\\lambda \\overrightarrow\{BA\}\\)，

故\\(A、B、C\\)三点共线；

解后反思：

1、此题揭示了证明三点共线的又一个向量方法，点\\(O\\)的位置可以任意选择，具有灵活性。

2、其逆命题也成立，即若\\(A、B、C\\)三点共线，则存在唯一实数对\\(\\lambda\\)、\\(\\mu\\)，满足\\(\\overrightarrow\{OC\}=\\lambda \\overrightarrow\{OA\}+\\mu \\overrightarrow\{OB\}\\)，且\\(\\lambda+\\mu=1\\)；

3、\\(\\overrightarrow\{OC\}=\\lambda\\overrightarrow\{OA\}+(1-\\lambda)\\overrightarrow\{OB\}\\)是\\(A、B、C\\)三点共线的【充要条件】。

4、特例，当\\(\\lambda=\\mu=\\cfrac\{1\}\{2\}\\)时，\\(\\overrightarrow\{OC\}=\\cfrac\{1\}\{2\}(\\overrightarrow\{OA\}+\\overrightarrow\{OB\})\\)，则点\\(C\\)为\\(\\overrightarrow\{AB\}\\)的中点，揭示了\\(\\triangle OAB\\)的中线\\(OC\\)的一个向量公式，应用很广泛；

## 图形解释 ##

> 为什么必须\\(k=1\\)? \\(\\overrightarrow\{OC\}=t\\overrightarrow\{OA\}+(k-t)\\overrightarrow\{OB\}\\)

图形语言：

![992978-20190830192337635-2094242024.gif][]

> 如果\\(k>1\\)会怎么样呢？比如\\(k=1.5\\)；\\(\\overrightarrow\{OC\}=t\\overrightarrow\{OA\}+(k-t)\\overrightarrow\{OB\}\\)；

![992978-20190830193021966-1418377896.gif][]

> 如果\\(k<1\\)又会怎么样呢？ 比如\\(k=0.5\\)；\\(\\overrightarrow\{OC\}=t\\overrightarrow\{OA\}+(k-t)\\overrightarrow\{OB\}\\)；

![992978-20190830192406943-152567717.gif][]

*  总结：当\\(k=1\\)时，三点共线；当\\(k\\neq 1\\)时，三点不共线，但是点\\(C\\)的轨迹会和直线\\(AB\\)平行。

## 引申 ##

当\\(\\overrightarrow\{OC\}=\\alpha \\overrightarrow\{OA\}+\\beta \\overrightarrow\{OB\}\\)，当参数\\(\\alpha\\)和\\(\\beta\\)没有关系时，即意味着，用\\(\\overrightarrow\{OA\}\\)和\\(\\overrightarrow\{OB\}\\)为基向量，可以表示此平面内的所有向量。

![992978-20190908213849142-1928277269.gif][]

## 定理应用 ##

例1如图，平行四边形\\(ABCD\\)中，点\\(M\\)是\\(AB\\)的中点，点\\(N\\)在\\(BD\\)上，且\\(BN=\\cfrac\{1\}\{3\}BD\\)，利用向量法证明：\\(M、N、C\\)三点共线。

![992978-20190831113701473-773662947.png][]

分析：选择点\\(B\\)，只需要证明\\(\\overrightarrow\{BN\}=\\lambda \\overrightarrow\{BM\}+\\mu \\overrightarrow\{BC\}\\)，且\\(\\lambda+\\mu=1\\)；

证明：由已知\\(\\overrightarrow\{BD\}=\\overrightarrow\{BA\}+\\overrightarrow\{BC\}\\)，又点\\(N\\)在\\(BD\\)上，且\\(BN=\\cfrac\{1\}\{3\}BD\\)，

则\\(\\overrightarrow\{BN\}=\\cfrac\{1\}\{3\}\\overrightarrow\{BD\}=\\cfrac\{1\}\{3\}(\\overrightarrow\{BA\}+\\overrightarrow\{BC\})=\\cfrac\{1\}\{3\}\\overrightarrow\{BA\}+\\cfrac\{1\}\{3\}\\overrightarrow\{BC\}\\)，

又点\\(M\\)是\\(AB\\)的中点，则\\(\\overrightarrow\{BA\}=2\\overrightarrow\{BM\}\\)，

则\\(\\overrightarrow\{BN\}=\\cfrac\{2\}\{3\}\\overrightarrow\{BM\}+\\cfrac\{1\}\{3\}\\overrightarrow\{BC\}\\)，

而\\(\\cfrac\{1\}\{3\}+\\cfrac\{2\}\{3\}=1\\)，故\\(M、N、C\\)三点共线。

例2如图，平行四边形\\(OACB\\)中，\\(BD=\\cfrac\{1\}\{3\}BC\\)，\\(OD\\)与\\(AB\\)相交于点\\(E\\)，求证：\\(BE=\\cfrac\{1\}\{4\}BA\\)；

![992978-20190831113707195-1272852250.png][]

分析：借助向量知识，只须证明\\(\\overrightarrow\{BE\}=\\cfrac\{1\}\{4\}\\overrightarrow\{BA\}\\)，而\\(\\overrightarrow\{BA\}=\\overrightarrow\{BO\}+\\overrightarrow\{BC\}\\)，又\\(O、D、E\\)三点共线，存在唯一实数对\\(\\lambda\\)，\\(\\mu\\)，且\\(\\lambda+\\mu=1\\)，使\\(\\overrightarrow\{BE\}=\\lambda \\overrightarrow\{BO\}+\\mu \\overrightarrow\{BD\}\\)，从而得到\\(\\overrightarrow\{BE\}\\)与\\(\\overrightarrow\{BA\}\\)的关系。

证明：由已知条件，\\(\\overrightarrow\{BA\}=\\overrightarrow\{BO\}+\\overrightarrow\{BC\}\\)，又\\(B、E、A\\)三点共线，可设\\(\\overrightarrow\{BE\}=k\\overrightarrow\{BA\}\\)，

则\\(\\overrightarrow\{BE\}=k\\overrightarrow\{BO\}+k\\overrightarrow\{BC\}①\\)，

又\\(O、D、E\\)三点共线，存在唯一实数对\\(\\lambda\\)，\\(\\mu\\)，且\\(\\lambda+\\mu=1\\)，使\\(\\overrightarrow\{BE\}=\\lambda \\overrightarrow\{BO\}+\\mu \\overrightarrow\{BD\}\\)，

又\\(\\overrightarrow\{BD\}=\\cfrac\{1\}\{3\}\\overrightarrow\{BC\}\\)，

则\\(\\overrightarrow\{BE\}=\\lambda \\overrightarrow\{BO\}+\\cfrac\{1\}\{3\}\\mu\\overrightarrow\{BC\}②\\)，

根据①②可得，

\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{k=\\lambda\}\\\\\{k=\\cfrac\{1\}\{3\}\\mu\}\\\\\{\\lambda+\\mu=1\}\\end\{array\}\\right.\\) 解得\\(\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{k=\\cfrac\{1\}\{4\}\}\\\\\{\\lambda=\\cfrac\{1\}\{4\}\}\\\\\{\\mu=\\cfrac\{3\}\{4\}\}\\end\{array\}\\right.\\)

故\\(\\overrightarrow\{BE\}=\\cfrac\{1\}\{4\}\\overrightarrow\{BA\}\\)，即\\(BE=\\cfrac\{1\}\{4\}BA\\)；

解后反思：借助向量知识，充分运用三点共线的向量性质和同一法解决问题，巧妙、简洁。

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11436729.html

[992978-20190831105149602-41082424.png]: /images/20230808/ce1e13f7ccae451fa1f74a2ce30d5a9a.png
[992978-20190830192337635-2094242024.gif]: /images/20230808/2125ed1d9c184f12a30b50e1a326a14f.png
[992978-20190830193021966-1418377896.gif]: /images/20230808/f3a6209854424b9b81101ab39a367df0.png
[992978-20190830192406943-152567717.gif]: /images/20230808/16b369d11b244ba59704f685c7e156ee.png
[992978-20190908213849142-1928277269.gif]: /images/20230808/03ff2822363441caa45708cb596f25d2.png
[992978-20190831113701473-773662947.png]: /images/20230808/7cbf8d70dd2e42e4acb378f6e0f8bfa5.png
[992978-20190831113707195-1272852250.png]: /images/20230808/756042605b284a1f9945f18b7d5a963c.png