直线平面垂直的判定和性质

柔光的暖阳◎ 2023-08-17 17:31 54阅读 0赞

**垂直问题的转化关系示意图**

graph LR A((线线垂直))--判定=> <=性质-->B\{线面垂直\} B--判定=><=性质-->C((面面垂直)) C--判定=><=性质-->A

\\\[线\\perp线 \\xlongequal\[\\Leftarrow 性质定理\]\{判定定理\\Rightarrow\}线\\perp面\\xlongequal\[\\Leftarrow 性质定理\]\{判定定理\\Rightarrow\}面\\perp 面\\\]

\\\[线\\perp 线\\xlongequal\[\\Leftarrow 性质定理\]\{判定定理\\Rightarrow\}面\\perp 面\\\]

## 前言 ##

## 常识储备 ##

识记如图所示的是正方体\$ABCD-A'B'C'D'\$，有如下的常用结论：

(1)体对角线\$B'D\\perp\$平面\$ACD'\$(如图1)

证明：令体对角线\$B'D\$和平面\$ACD'\$的交点是\$N\$，由正四面体\$B'-ACD'\$可知，

\$N\$是三角形底面的中心，连接\$OD'\$，则易知\$AC\\perp BD\$，\$AC\\perp BB'\$，故\$AC\\perp B'D\$，

同理\$AD'\\perp B'D\$，故体对角线\$B'D\\perp\$平面\$ACD'\$。

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(2)\$DN=\\cfrac\{1\}\{3\}B'D\$(如图1，利用等体积法)

(3)平面\$ACD'//A'BC'\$(如图2)

(4)平面\$ACD'\$与平面\$A'BC'\$的间距是\$\\cfrac\{1\}\{3\}B'D\$，即体对角线的\$\\cfrac\{1\}\{3\}\$(如图2)

(5)三棱锥\$B'-ACD'\$是正四面体。三棱锥\$D-ACD'\$是正三棱锥。

(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。

(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

![992978-20171109171036809-2092797097.png][]

(8)正方形的棱长设为\$2a\$，则正方形的内切圆半径为\$a\$，正方形的外接圆半径为\$\\sqrt\{2\}a\$，三者的关系之比为\$2:1:\\sqrt\{2\}\$；

正方体的棱长设为\$2a\$，则正方体的内切球半径为\$a\$，正方体的外接球半径为\$\\sqrt\{3\}a\$，三者的关系之比为\$2:1:\\sqrt\{3\}\$；

(9)正三角形的棱长设为\$2a\$，则正三角形的内切圆半径为\$\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{3\}a\$，正三角形的外接圆半径为\$\\cfrac\{2\\sqrt\{3\}\}\{3\}a\$，三者的关系之比为\$2\\sqrt\{3\}:1:2\$；

正四面体的棱长设为\$2a\$，则正四面体的内切球半径为\$\\cfrac\{\\sqrt\{6 \}\}\{6\}a\$，正四面体的外接球半径为\$\\cfrac\{\\sqrt\{6 \}\}\{2\}a\$，三者的关系之比为\$2\\sqrt\{6\}:1:3\$；

## 判定难点 ##

*  主从关系的转换，比如证明\$A\_1F\\perp DE\$不容易时，我们转而证明\$DE\\perp A\_1F\$可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
 *  区分清楚判定定理和性质定理。
 *  垂直关系的相互转化

## 典例剖析 ##

>  *  线线垂直

例10【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体\$ABCD-A\_1B\_1C\_1D\_1\$中，点\$O\$是四边形\$ABCD\$的中心，关于直线\$A\_1O\$，下列说法正确的是【】

$A.A\_1O//D\_1C$ $B.A\_1O\\perp BC$ $C.A\_1O//平面B\_1CD\_1$ $D.A\_1O\\perp平面AB\_1D\_1$

分析：由于题目中给定点\$O\$是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心\$E\$，如图所示，

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当连结\$CE\$时，我们就很容易看出\$A\_1O//CE\$，以下做以说明；

由于\$OC//A\_1E\$，且\$OC=A\_1E\$，则可知\$A\_1O//CE\$，

又由于\$A\_1O\\not \\subset 面B\_1CD\_1\$，\$CE \\subset 面B\_1CD\_1\$，故\$A\_1O//平面B\_1CD\_1\$ ，故选\$C\$，

此时，我们也能轻松的排除\$A\$，\$B\$，\$D\$三个选项是错误的。

>  *  线面垂直

例3【2017凤翔中学第二次月考理科第19题】如图，\$\\Delta ABC\$和\$\\Delta BCD\$所在平面互相垂直，且\$AB=\$\$BC=BD\$\$=2\$，\$\\angle ABC=\\angle DBC=120^\{\\circ\}\$，\$E、F、G\$分别是\$AC、DC、AD\$的中点，

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(1)求证：\$EF\\perp 平面BCG\$

分析提示：只要证明\$AD\\perp 平面BCG\$

(2)求三棱锥\$D-BCG\$的体积。

分析：在平面\$ABC\$内，作\$AO\\perp BC\$，交\$CB\$延长线于\$O\$，由平面\$ABC\\perp BCD\$，可知\$AO\\perp 平面BDC\$，

由\$G\$到平面\$BCD\$距离\$h\$是\$AO\$长度的一半，在\$\\Delta AOB\$中，\$AO=AB\\cdot sin60^\{\\circ\}=\\sqrt\{3\}\$，

故\$V\_\{D-BCG\}=V\_\{G-BCD\}=\\cfrac\{1\}\{3\}S\_\{\\Delta DBC\}\\cdot h\$\$=\\cfrac\{1\}\{3\}\\cdot \\cfrac\{1\}\{2\}\\cdot BD\\cdot BC\$\$\\cdot sin120^\{\\circ\}\\cdot \\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{2\}\$\$=\\cfrac\{1\}\{2\}\$。

>  *  面面垂直

例1【2016江苏高考卷】如图，在直三棱柱\$ABC-A\_1B\_1C\_1\$中，\$D\$、\$E\$分别是\$AB\$、\$BC\$的中点，点\$F\$在侧棱\$BB\_1\$上，且\$B\_1D\\perp A\_1F\$，\$A\_1C\_1\\perp A\_1B\_1\$。

求证：(1)直线\$DE//\$平面\$A\_1C\_1F\$.

分析：现在需要\$\\Leftarrow\$直线\$DE//\$平面\$A\_1C\_1F\$

\$\\Leftarrow\$直线\$DE//\$平面\$A\_1C\_1F\$内的某直线\$?\$

某条直线可能是三角形的边界线，三角形中线，高线，中位线，或者需要我们做出的某条辅助直线。

![992978-20170927224654465-801173223.png][]

证明：因为\$D\$、\$E\$分别是\$AB\$、\$BC\$的中点，则有\$DE//AC//A\_1C\_1\$，

又因为直线\$A\_1C\_1\\subsetneqq\$平面\$A\_1C\_1F\$，

\$DE\\not\\subseteq\$平面\$A\_1C\_1F\$，则直线\$DE//\$平面\$A\_1C\_1F\$。

求证(2)平面\$B\_1DE\\perp\$平面\$A\_1C\_1F\$.

分析：\$\\Leftarrow\$平面\$B\_1DE\\perp\$平面\$A\_1C\_1F\$

\$\\Leftarrow\$一个面内的某条直线\$\\perp\$另一个面内的两条相交直线。

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此时往往需要结合图形及已知条件来确定，比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线\$A\_1F\$，

那么此时就需要在另一个平面\$B\_1DE\$内找两条相交直线，且都要能证明和直线\$A\_1F\$，

如果能找到，则这样的思路就基本固定下来了，

思路一大致为：\$A\_1F\\perp\\begin\{cases\}B\_1D\\\\ DE\\end\{cases\}\$，

从而转证\$DE\\perp A\_1F\$，从而转证\$A\_1C\_1\\perp A\_1F\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp\$包含\$A\_1F\$的平面\$ABB\_1A\_1\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp\\begin\{cases\}A\_1B\_1\\\\ A\_1A\\end\{cases\}\$；

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思路二大致为：\$B\_1D\\perp\\begin\{cases\}A\_1F\\\\ A\_1C\_1\\end\{cases\}\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp B\_1D\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp\$包含\$B\_1D\_1\$的平面\$ABB\_1A\_1\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp\\begin\{cases\}A\_1B\_1\\\\ A\_1A\\end\{cases\}\$；

证明：你能自主写出证明过程吗？

【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要证明\$A\_1F\\perp DE\$时，包含了视角上的转换，如证明\$A\_1F\\perp DE\$不容易时，我们转而证明\$DE\\perp A\_1F\$，即转证\$A\_1C\_1\\perp A\_1F\$，从而接下来就可以考虑证明线面垂直，从而转证\$A\_1C\_1\\perp\$包含\$A\_1F\$的平面\$ABB\_1A\_1\$，

例2【2016衡水金卷】如图，在四棱锥\$P-ABCD\$中，\$AB\\perp PA\$，\$AB//CD\$，且\$PB=\$\$BC=BD\$\$=\\sqrt\{6\}\$，\$CD=2AB=2\\sqrt\{2\}\$，\$\\angle PAD=120^\{\\circ\}\$，\$E\$和\$F\$分别是棱\$CD\$和\$PC\$的中点。

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(1).求证：平面\$BEF\\perp\$平面\$PCD\$.

证明：因为\$E\$为\$CD\$的中点，\$CD=2AB\$，则\$AB=DE\$，又因为\$AB//CD\$，所以四边形\$ABED\$为平行四边形。

又因为\$BC=BD\$，\$E\$为\$CD\$的中点，故\$BE\\perp CD\$，则四边形\$ABED\$为矩形，则\$AB\\perp AD\$。

又因为\$AB\\perp PA\$，\$PA\\cap AD=A\$，所以\$AB\\perp 平面PAD\$。

又因为\$AB//CE\$，所以\$CD\\perp 平面PAD\$，所以\$CD\\perp PD\$。

又因为\$EF//PD\$，所以\$CD\\perp EF\$。又因为\$CD\\perp BE\$，所以\$CD\\perp 平面BEF\$。所以平面\$PCD\\perp 平面BEF\$。

(2).求直线\$PD\$与平面\$PBC\$所成角的正弦值。

待补充。

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11187604.html

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