直线平面平行的判定和性质

Myth丶恋晨 2023-08-17 17:31 95阅读 0赞

**平行直问题的转化关系示意图**

graph LR A((线线平行 ))--判定=> <=性质-->B\{线面平行 \} B--判定=><=性质-->C((面面平行 )) C--判定=><=性质-->A

\\\[线//线\\xlongequal\[\\Leftarrow 性质定理\]\{判定定理\\Rightarrow\}线//面\\xlongequal\[\\Leftarrow 性质定理\]\{判定定理\\Rightarrow\}面//面\\\]

\\\[线//线\\xlongequal\[\\Leftarrow 性质定理\]\{判定定理\\Rightarrow\}面//面\\\]

## 前 言 ##

## 判定难点 ##

*  主从关系的转换，比如证明\$A\_1F// DE\$不容易时，我们转而证明\$DE// A\_1F\$可能很容易。山重水复疑无路，柳暗花明又一村。
 *  区分清楚判定定理和性质定理。
 *  平行关系的相互转化，

## 常识储备 ##

识记如图所示的是正方体\$ABCD-A'B'C'D'\$，有如下的常用结论：

(1)体对角线\$B'D\\perp\$平面\$ACD'\$(如图1)

证明：令体对角线\$B'D\$和平面\$ACD'\$的交点是\$N\$，由正四面体\$B'-ACD'\$可知，

\$N\$是三角形底面的中心，连接\$OD'\$，则易知\$AC\\perp BD\$，\$AC\\perp BB'\$，故\$AC\\perp B'D\$，

同理\$AD'\\perp B'D\$，故体对角线\$B'D\\perp\$平面\$ACD'\$。

![992978-20171108151131981-1823495053.png][]

![992978-20190129204721070-1111764122.gif][]

(2)\$DN=\\cfrac\{1\}\{3\}B'D\$(如图1，利用等体积法)

(3)平面\$ACD'//A'BC'\$(如图2)

(4)平面\$ACD'\$与平面\$A'BC'\$的间距是\$\\cfrac\{1\}\{3\}B'D\$，即体对角线的\$\\cfrac\{1\}\{3\}\$(如图2)

(5)三棱锥\$B'-ACD'\$是正四面体。三棱锥\$D-ACD'\$是正三棱锥。

(6)如果需要将正四面体或者墙角型的正三棱锥恢复还原为正方体，我们可以先画出正方体，然后在里面找出需要的正四面体或者墙角型正三棱锥。

(7)圆内接正方形的中心就是圆心，正方形的对角线的长度就是圆的直径；球内接正方体的中心就是球心，正方体的体对角线的长度就是球的直径。

![992978-20171109171036809-2092797097.png][]

(8)正方形的棱长设为\$2a\$，则正方形的内切圆半径为\$a\$，正方形的外接圆半径为\$\\sqrt\{2\}a\$，三者的关系之比为\$2:1:\\sqrt\{2\}\$；

正方体的棱长设为\$2a\$，则正方体的内切球半径为\$a\$，正方体的外接球半径为\$\\sqrt\{3\}a\$，三者的关系之比为\$2:1:\\sqrt\{3\}\$；

(9)正三角形的棱长设为\$2a\$，则正三角形的内切圆半径为\$\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{3\}a\$，正三角形的外接圆半径为\$\\cfrac\{2\\sqrt\{3\}\}\{3\}a\$，三者的关系之比为\$2\\sqrt\{3\}:1:2\$；

正四面体的棱长设为\$2a\$，则正四面体的内切球半径为\$\\cfrac\{\\sqrt\{6 \}\}\{6\}a\$，正四面体的外接球半径为\$\\cfrac\{\\sqrt\{6 \}\}\{2\}a\$，三者的关系之比为\$2\\sqrt\{6\}:1:3\$；

## 典例剖析 ##

>  *  线线平行

例10【2019届高三理科数学三轮模拟试题】在正方体\$ABCD-A\_1B\_1C\_1D\_1\$中，点\$O\$是四边形\$ABCD\$的中心，关于直线\$A\_1O\$，下列说法正确的是【】

$A.A\_1O//D\_1C$ $B.A\_1O\\perp BC$ $C.A\_1O//平面B\_1CD\_1$ $D.A\_1O\\perp平面AB\_1D\_1$

分析：由于题目中给定点\$O\$是下底面的中心，故我们想到也做出上底面的中心\$E\$，如图所示，

![992978-20190613212949007-201314607.png][]

当连结\$CE\$时，我们就很容易看出\$A\_1O//CE\$，以下做以说明；

由于\$OC//A\_1E\$，且\$OC=A\_1E\$，则可知\$A\_1O//CE\$，

又由于\$A\_1O\\not \\subset 面B\_1CD\_1\$，\$CE \\subset 面B\_1CD\_1\$，故\$A\_1O//平面B\_1CD\_1\$ ，故选\$C\$，

此时，我们也能轻松的排除\$A\$，\$B\$，\$D\$三个选项是错误的。

>  *  线面平行

例1【2016江苏高考卷】如图，在直三棱柱\$ABC-A\_1B\_1C\_1\$中，\$D\$、\$E\$分别是\$AB\$、\$BC\$的中点，点\$F\$在侧棱\$BB\_1\$上，且\$B\_1D\\perp A\_1F\$，\$A\_1C\_1\\perp A\_1B\_1\$。

求证：(1)直线\$DE//\$平面\$A\_1C\_1F\$.

分析：现在需要\$\\Leftarrow\$直线\$DE//\$平面\$A\_1C\_1F\$

\$\\Leftarrow\$直线\$DE//\$平面\$A\_1C\_1F\$内的某直线\$?\$

某条直线可能是三角形的边界线，三角形中线，高线，中位线，或者需要我们做出的某条辅助直线。

![992978-20170927224654465-801173223.png][]

证明：因为\$D\$、\$E\$分别是\$AB\$、\$BC\$的中点，则有\$DE//AC//A\_1C\_1\$，

又因为直线\$A\_1C\_1\\subsetneqq\$平面\$A\_1C\_1F\$，

\$DE\\not\\subseteq\$平面\$A\_1C\_1F\$，则直线\$DE//\$平面\$A\_1C\_1F\$。

求证(2)平面\$B\_1DE\\perp\$平面\$A\_1C\_1F\$.

分析：\$\\Leftarrow\$平面\$B\_1DE\\perp\$平面\$A\_1C\_1F\$

\$\\Leftarrow\$一个面内的某条直线\$\\perp\$另一个面内的两条相交直线。

此时往往需要结合图形及已知条件来确定，比如将一个面内的某条直线暂时确定为直线\$A\_1F\$，

那么此时就需要在另一个平面\$B\_1DE\$内找两条相交直线，且都要能证明和直线\$A\_1F\$，

如果能找到，则这样的思路就基本固定下来了，

![992978-20170927224654465-801173223.png][]

思路一大致为：\$A\_1F\\perp\\begin\{cases\}B\_1D\\\\ DE\\end\{cases\}\$，

从而转证\$DE\\perp A\_1F\$，从而转证\$A\_1C\_1\\perp A\_1F\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp\$包含\$A\_1F\$的平面\$ABB\_1A\_1\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp\\begin\{cases\}A\_1B\_1\\\\ A\_1A\\end\{cases\}\$；

![992978-20170927224654465-801173223.png][]

思路二大致为：\$B\_1D\\perp\\begin\{cases\}A\_1F\\\\ A\_1C\_1\\end\{cases\}\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp B\_1D\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp\$包含\$B\_1D\_1\$的平面\$ABB\_1A\_1\$，

从而转证\$A\_1C\_1\\perp\\begin\{cases\}A\_1B\_1\\\\ A\_1A\\end\{cases\}\$；

证明：你能自主写出证明过程吗？

【反思提升】上述解答中的思路一中，在分析需要证明\$A\_1F\\perp DE\$时，包含了视角上的转换，如证明\$A\_1F\\perp DE\$不容易时，我们转而证明\$DE\\perp A\_1F\$，即转证\$A\_1C\_1\\perp A\_1F\$，从而接下来就可以考虑证明线面垂直，从而转证\$A\_1C\_1\\perp\$包含\$A\_1F\$的平面\$ABB\_1A\_1\$，

例8已知底面是平行四边形的四棱锥\$P-ABCD\$，点\$E\$在\$PD\$上，且\$PE：ED=2：1\$，在棱\$PC\$上是否存在一点\$F\$，使得\$BF//\$面\$AEC\$，证明并说出点\$F\$的位置。[相关课件][Link 1]

![992978-20181222195505718-1048125426.png][]

分析：在棱\$PC\$上存在一点\$F\$，\$F\$为\$PC\$的中点，使得\$BF//\$面\$AEC\$，理由如下：

取\$PE\$的中点\$H\$，\$PC\$的中点\$F\$，联结\$BF\$、\$HF\$、\$BH\$，联结\$AC\$和\$BD\$，交点为\$O\$，

则由\$HF\$是\$\\Delta PEC\$的底边\$EC\$的中位线，故\$HF//EC\$；

由\$EO\$是\$\\Delta DBH\$的底边\$BH\$的中位线，故\$BH//EO\$；

(说明：这样的话，平面\$BHF\$内的两条相交直线\$HF\$和\$BH\$分别平行与另一个平面\$AEC\$内的两条相交直线\$EO\$和\$EC\$，则这两个平面就平行）

又由于\$HF\\subsetneqq\$平面\$BHF\$，\$BH\\subsetneqq\$平面\$BHF\$，\$BH\\cap HF=H\$，

\$EO\\subsetneqq\$平面\$AEC\$，\$EC\\subsetneqq\$平面\$AEC\$，\$EO\\cap EC=E\$，

则平面\$BHF//\$平面\$AEC\$，

又\$BF\\subsetneqq\$平面\$BHF\$，

则有\$BF//\$平面\$AEC\$，猜想得证。

>  *  面面平行

例19【2018宝鸡市高三数学第一次质量检测第9题】已知四棱锥\$S-ABCD\$的底面为平行四边形，且\$SD\\perp 面ABCD\$，\$AB=2AD=2SD\$，\$\\angle DCB=60^\{\\circ\}\$，\$M、N\$分别是\$SB、SC\$的中点，过\$MN\$作平面\$MNPQ\$分别与线段\$CD、AB\$相交于点\$P、Q\$。

(1).在图中作出平面\$MNPQ\$，使面\$MNPQ//面SAD\$(不要求证明)；

分析：如图所示，点\$P、Q\$分别是线段\$CD、AB\$的中点，联结\$NP、PQ、QM\$所得的平面即为所求做的平面。

![992978-20180124183121975-55629616.png][]

反思总结：1、一般的考法是题目作出这样的平面，然后要求我们证明面面平行，现在是要求我们利用面面平行的判定定理作出这样的平面，应该是要求提高了。

2、注意图中的线的虚实。

(2).【文】若\$|\\overrightarrow\{AB\}|=4\$，在(1)的条件下求多面体\$MNCBPQ\$的体积。

【理】若\$\\overrightarrow\{AQ\}=\\lambda \\overrightarrow\{AB\}\$，是否存在实数\$\\lambda\$，使二面角\$M-PQ-B\$的平面角大小为\$60^\{\\circ\}\$？若存在，求出\$\\lambda\$的值；若不存在，请说明理由。

【文科】法1：![992978-20180121211933349-425986972.png][]

如图所示，连接\$PB、NB\$，有题目可知在(1)的情形下，平面\$MNPQ\$与平面\$ABCD\$垂直，由题目可知，\$AB=4\$，\$BC=PC=2\$，\$SD=2\$，\$NP=1\$，

则\$SD\\perp面ABCD\$，\$NP//SD\$，则\$NP\\perp 面ABCD\$，

\$\\Delta PCB\$是边长为2的等边三角形，则\$V\_\{N-PBC\}=\\cfrac\{1\}\{3\}\\cdot S\_\{\\Delta PBC\}\\cdot |NP|=\\cfrac\{1\}\{3\}\\cdot \\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{4\}\\cdot 4\\cdot 1=\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{3\}\$

由\$MN//BC\$，\$MN \\perp面SAD\$，面\$MNPQ\$是直角梯形，\$MN=NP=1\$，\$PQ=2\$

连接\$BD\$交\$PQ\$于点\$H\$，在\$\\Delta ABD\$中，由余弦定理可知，\$BD=2\\sqrt\{3\}\$，\$AB^2=AD^2+BD^2\$，则\$BD\\perp AD\$

即\$BH\\perp PQ\$，且\$BH\\perp NP\$，故\$BH\\perp 面MNPQ\$，

\$V\_\{B-MNPQ\}=\\cfrac\{1\}\{3\}\\cdot S\_\{MNPQ\}\\cdot |BH|=\\cfrac\{1\}\{3\}\\cdot \\cfrac\{(1+2)\\cdot 1\}\{2\}\\cdot \\sqrt\{3\}=\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{2\}\$

故\$V\_\{MNCBPQ\}=V\_\{B-MNPQ\}+V\_\{N-PBC\}=\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{2\}+\\cfrac\{\\sqrt\{3\}\}\{3\}=\\cfrac\{5\\sqrt\{3\}\}\{6\}\$。

法2：![992978-20180121211928521-1257430086.png][]

待补充。

【理科】待补充。

转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11187579.html

[992978-20171108151131981-1823495053.png]: /images/20230808/608bfa5379934fc1a620a834b7285c3f.png
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[992978-20170927224654465-801173223.png]: /images/20230808/21c8702cc78041919f3368f0b4943c97.png
[Link 1]: https://www.geogebra.org/geometry/d52r63wv
[992978-20181222195505718-1048125426.png]: /images/20230808/c555875afbfa4440bc895d30022e9bbb.png
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