卡特兰数(Catalan Number)

太过爱你忘了你带给我的痛 2023-08-17 16:32 136阅读 0赞

卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问题中出现的数列。该数在计算机专业中比较重要，有一些具体的应用实例。这篇文章主要分三部分：

1.  卡特兰数递归式的含义解释
2.  卡特兰数表达式的证明过程
3.  卡特兰数的计算机中的应用

## Catalan Number递归式解释 ##

假设h(0)=1，h(1)=1，catalan数满足递推式：  
\\\[ h(n) = h(0)\*h(n-1) + h(1)\*h(n-2) + h(2)\*h(n-3) + ... +h(n-1)\*h(0) \\tag\{1.1\} \\\]  
递归式背后有什么物理含义呢，这里以出栈序列问题进行说明：

问题描述：一个栈(无穷大)的进栈序列为1，2，3，…，n，有多少个不同的出栈序列?

含义解释：首先，我们设\\(h(n)\\)=序列个数为n的出栈序列种数。（我们假定，最后出栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的值均出栈，此处情况有\\(h(k-1)\\)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有\\(h(n-k)\\)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独立的，此处可用乘法原则，\\(h(n-k)\*h(k-1)\\)种，求和便是Catalan递归式。

## Catalan Number表达式证明 ##

第n个卡特兰数h(n)表达式如下  
\\\[ h(n)=\\frac\{C\_\{2n\}^\{n\}\}\{n+1\}=C\_\{2n\}^\{n\}-C\_\{2n\}^\{n-1\} \\tag\{1.2\} \\\]  
具体证明过程如下

![catalan1.jpeg][]

![catalan2.jpeg][]

![catalan3.jpeg][]

为了便于编程实现，需要进一步推导h(n)与h(n-1)之间的关系

已知\\(h(n)\\)，易知  
\\\[ h(n-1)=\\frac\{C\_\{2n-2\}^\{n-1\}\}\{n\} \\\]  
推导\\(h(n)\\)的\\(C\_\{2n\}^\{n\}\\)和\\(h(n-1)\\)的\\(C\_\{2n-2\}^\{n-1\}\\)之间的关系，由\\(kC\_\{n\}^\{k\}=nC\_\{n-1\}^\{k-1\}\\)知  
\\\[ \\begin\{align\} n\*C\_\{2n\}^\{n\}&=2nC\_\{2n-1\}^\{n-1\} \\\\ C\_\{2n\}^\{n\}&=2C\_\{2n-1\}^\{n-1\} \\\\ C\_\{2n\}^\{n\}&=2\\frac\{(2n-1)C\_\{2n-2\}^\{n-1\}\}\{n\} \\\\ C\_\{2n\}^\{n\}&=2(2n-1)h(n-1) \\\\ \\frac\{C\_\{2n\}^\{n\}\}\{n+1\}&=\\frac\{2(2n-1)\}\{n+1\}h(n-1) \\\\ h(n)&=\\frac\{2(2n-1)\}\{n+1\}h(n-1) \\end\{align\} \\\]  
最终得到\\(h(n)\\)和\\(h(n-1)\\)之间的递归式\\(h(n)=\\frac\{2(2n-1)\}\{n+1\}h(n-1)\\)

## Catalan Number应用实例 ##

### 括号匹配问题 ###

问题描述: 矩阵连乘 \\(P=A\_1A\_2...A\_n\\)，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，问有几种括号化的方案？

问题转换一下就是n对括号的正确匹配方案，可以做一下[LeetCode-22][]

### 出栈次序问题 ###

问题描述: 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

出栈问题问题正是卡特兰数递归式\\(h(n)=h(0)h(n-1)+h(1)h(n-2)+...+h(n-1)h(0)\\)的由来

### 相关应用问题 ###

1.  有2n个人排成一行进入剧场，入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
2.  n个1和n个0组成一个2n位的二进制数，要求从左到右扫描，0的累计数不小于1的累计数，求满足条件的的数。
3.  12个人排成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人高，问排列方式有多少种？
    
    我们先把这12个人从低到高排列，然后，选择6个人排在第一排，那么剩下的6个肯定是在第二排。对问题进行转化：用0表示对应的人在第一排，用1表示对应的人在第二排，那么含有6个0，6个1的序列，并且任意前缀中0的个数大于等于1的个数就对应一种方案，转化后的问题就是问题2了。
4.  给定节点组成二叉树的问题：给定n个节点，能构成多少种形状不同的二叉树？
    
    先取一个点作为顶点，然后左边依次可以取0至n-1个相对应的，右边是n-1到0个，两两配对相乘，就是\\(h(0)\*h(n-1) + h(2)\*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0)=h(n)\\)能构成\\(h(n)\\)个，因此二叉树问题也可以解释卡特兰数递归式(1.1)式的由来
5.  n\*n棋盘从左下角走到右上角而不穿过主对角线的走法？
    
    要从左下角走到右上角则必须向上走n步，向右n步，同时为了不跨过主对角线，则走过的步数中向上走的步数必须大于等于向右走的步数，剖析之后发现这个问题与问题3是等价问题，走法有卡特兰数\\(h(n)\\)种。
    
    可以做一下下面两题练练手：
    
    [hdoj2067-小兔的棋盘][hdoj2067-]
    
    [LeetCode62-Unique Paths][]
6.  n个+1和n个-1构成的2n项序列，其部分和总满足：\\(a\_1+a\_2+...+a\_n>=0\\)的序列的个数。
    
    卡特兰数表达式(1.2)式就是以该问题模型为基础推导出来的

参考链接:

1.  [https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/7628667][https_blog.csdn.net_ACdreamers_article_details_7628667]

转载于:https://www.cnblogs.com/brooksj/p/11575611.html

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[catalan3.jpeg]: /images/20230810/5b8ae5a769ad414196c10f0e799b536a.png
[LeetCode-22]: https://leetcode.com/problems/generate-parentheses/
[hdoj2067-]: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2067
[LeetCode62-Unique Paths]: https://leetcode.com/problems/unique-paths/
[https_blog.csdn.net_ACdreamers_article_details_7628667]: https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/7628667