卡特兰数

旧城等待， 2022-08-05 05:15 253阅读 0赞

Catalan数

中文:卡特兰数

原理：

令h(1)＝1,h(0)=1，catalan数满足递归式：

h(n)= h(1)\*h(n-1) + h(2)\*h(n-2) + ... + h(n-1)h(1) (其中n>=2)

另类递归式：

h(n)=((4\*n-2)/(n+1))\*h(n-1);

该递推关系的解为：

h(n+1)=C(2n,n)/(n+1) (n=1,2,3,...)

我并不关心其解是怎么求出来的，我只想知道怎么用catalan数分析问题。

我总结了一下，最典型的四类应用：（实质上却都一样，无非是递归等式的应用，就看你能不能分解问题写出递归式了）

*1.括号化问题。*

矩阵链乘： P=a1×a2×a3×……×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，试问有几种括号化的方案？(h(n)种)

*2.出栈次序问题。*

一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?

类似：有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)

*3.将多边行划分为三角形问题。*

将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

类似：一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她

从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

类似：在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来使得所得到的n条线段不相交的方法数?

4.*给顶节点组成二叉树的问题。*

给定N个节点，能构成多少种不同的二叉树？

（能构成h（N）个）

Catalan数的解法

Catalan数的组合公式为 Cn=C(2n,n) / (n+1);

此数的递归公式为 h(n ) = h(n-1)\*(4\*n-2) / (n+1)

* 大数解
    
    对于大数来说，就应该使用下面的大数算法。
    
    使用的公式为：h(n) = h(n-1)*(4*n-2)/（n+1）;
    
    */
    
    // 0ms
    
    #include<iostream>
    
    using namespace std;
    
    #define MAX 100
    
    #define BASE 10000
    
    void multiply(int a[],int Max,int b) //大数乘法,注意参数的传递
    
    {
    
        int i,array=0;
    
        for (i = Max-1; i >= 0; i--)   
    
        {
    
            array += b * a[i];
    
            a[i] = array % BASE; // 数组每一位存放大数的四位数字
    
            array /= BASE;   
    
        }
    
    }
    
    void divide(int a[], int Max, int b) //模拟大数除法
    
    {
    
        int i, div = 0;
    
        for (i = 0; i < Max; i++)   
    
        {
    
            div = div * BASE + a[i];
    
            a[i] = div / b;
    
            div %= b;
    
        }
    
    }
    
    int main()
    
    {
    
        int a[101][MAX],i, n;
    
        memset(a[1],0,MAX*sizeof(int));
    
        for (i=2, a[1][MAX-1] = 1; i < 101; i++) // 高坐标存放大数低位
    
        {
    
            memcpy(a[i], a[i-1], MAX * sizeof(int));      //h[i] = h[i-1];
    
            multiply(a[i], MAX, 4 * i - 2);               //h[i] *= (4*i-2);
    
            divide(a[i], MAX, i + 1);                  //h[i] /= （i+1）;
    
        }
    
        while (cin >> n)   
    
        {
    
            for (i = 0; i < MAX && a[n][i] == 0; i++); //去掉数组前为0的数字。
    
            cout << a[n][i++];             //输出第一个非0数
    
            for (; i < MAX; i++)   
    
            {
    
        printf("%04d",a[n][i]);       //输出后面的数，并每位都保持4位长度!(32767)
    
       }
    
            cout << endl;
    
        }
    
        return 0;
    
    }

AC CODE 2:
    
    //C(0) = 1 ; (n+2)*C(n+1) = (4n+2)*C(n); 也即是：h(n) = h(n-1) * (4 * n - 2)/（n+1）;
    
    // 0MS
    
    #include<iostream>
    
    using namespace std;
    
    int a[101][101] = {0};
    
    int main()
    
    {
    
        int n,i,j,len,r,temp,t;
    
        int b[101];
    
        a[1][0] = 1; // 低坐标存放大数的低位
    
        len = 1;
    
        b[1] = 1;
    
        for (i = 2; i <= 100; i++)
    
        {
    
            t = i - 1;
    
            for (j=0;j<len;j++) // 模拟乘法,从低位开始
    
       {
    
        a[i][j] = a[i-1][j] * (4 * t + 2);
    
       }
    
            for (r = j = 0; j < len; j++) // 处理相乘结果
    
            {
    
                temp = a[i][j] + r;
    
                a[i][j] = temp % 10;
    
                r = temp / 10;
    
            }
    
            while (r) // 进位处理
    
            {
    
                a[i][len++] = r % 10;
    
                r /= 10;
    
            }
    
            for (j = len-1, r = 0; j >= 0; j--) // 模拟除法，从高位开始
    
            {
    
                temp = r * 10 + a[i][j];
    
                a[i][j] = temp / (t+2);
    
                r = temp % (t+2);
    
            }
    
            while (!a[i][len-1]) // 高位零处理
    
       {
    
        len--;
    
       }
    
            b[i] = len; // 记录结果的长度
    
        }
    
        while (cin >> n)
    
        {  
    
            for(j = b[n] - 1; j >= 0; j--)
    
       {
    
        printf("%d",a[n][j]);
    
       }
    
            printf("\n");
    
        }
    
        return 0;

《编程之美》中提到了“买票找零”问题，查阅了下资料，此问题和卡特兰数 Cn有关，其定义如下：

![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888]

卡特兰数真是一个神奇的数字，很多组合问题的数量都和它有关系，例如：

*  Cn= 长度为 2n的 Dyck words的数量。 Dyck words是由 n个 X和 n个 Y组成的字符串，并且从左往右数， Y的数量不超过 X，例如长度为 6的 Dyck words为：

XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

*  Cn= n对括号正确匹配组成的字符串数，例如 3对括号能够组成：

((())) ()(()) ()()() (())() (()())

*  Cn= n+1个数相乘，所有的括号方案数。例如， 4个数相乘的括号方案为：

((ab)c)d (a(bc))d (ab)(cd) a((bc)d) a(b(cd))

*  Cn= 拥有 n+1 个叶子节点的二叉树的数量。例如 4个叶子节点的所有二叉树形态：

![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888 1]

*  Cn=n\*n的方格地图中，从一个角到另外一个角，不跨越对角线的路径数，例如， 4×4方格地图中的路径有：

![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888 2]

*  Cn= n+2条边的多边形，能被分割成三角形的方案数，例如 6边型的分割方案有：

![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888 3]

*  Cn= 圆桌周围有 2n个人，他们两两握手，但没有交叉的方案数。

在《Enumerative Combinatorics》一书中，竟然提到了多达 66种组合问题和卡特兰数有关。

分析

“卡特兰数”除了可以使用公式计算，也可以采用“分级排列法”来求解。以 n对括弧的合法匹配为例，对于一个序列 (()而言，有两个左括弧，和一个右括弧，可以看成“抵消了一对括弧，还剩下一个左括弧等待抵消”，那么说明还可以在末尾增加一个右括弧，或者一个左括弧，没有左括弧剩余的时候，不能添加右括弧。

由此，问题可以理解为，总共 2n个括弧，求 1～2n级的情况，第 i 级保存所有剩余 i 个左括号的排列方案数。 1～8级的计算过程如下表：

![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888 4]

计算过程解释如下： 1级:只能放 1个“(”； 2级:可以在一级末尾增加一个“）”或者一个“ (”

以后每级计算时，如果遇到剩余 n>0个“(”的方案，可以在末尾增加一个“ (”或者“ )”进入下一级；遇到剩余 n=0个“(”的方案，可以在末尾增加一个“ (”进入下一级。

> 奇数级只能包含剩余奇数个“（”的排列方案
> 
> 偶数级只能包含剩余偶数个“（”的排列方案

从表中可以看出，灰色部分可以不用计算。

解法

关键代码为：

double Catalan(int n) \{ if (n == 0) return 1; for (int i = 2; i <= 2 \* n; i++) \{ var m = i <= n ? i : 2 \* n + 1 - i; for (int j = (i - 1) & 1; j <= m; j += 2) \{ if (j > 0) arr\[j - 1\] += arr\[j\]; if (j < n) arr\[j + 1\] += arr\[j\]; arr\[j\] = 0; \} \} return arr\[0\]; \}

其中：

n为 Cn中的 n；

arr = new double\[n + 1\];//arr\[i\]代表有 k个括弧的时候，剩余 "("个数为 i的排列方案个数 arr\[1\] = 1;

讨论

算法复杂度为 [![卡特兰数 - lz\_666888 - lz\_666888的博客][- lz_666888 - lz_666888 5]][- lz_666888 - lz_666888_- lz_666888 - lz_666888 5] = O(n^2)，空间复杂度为 O(n+1)。相对于利用公式计算而言，此方法的优势在于——没有乘除法，只有加法。

[- lz_666888 - lz_666888]: /images/20220805/6650b7f5f2704737915f57a37aef5e67.png
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