Matlab 线性规划问题模型代码

约定不等于承诺〃 2023-08-17 16:12 139阅读 0赞

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## 线性规划问题的基本内容 ##

> 线性规划解决的是自变量在一定的线性约束条件下，使得线性目标函数求得最大值或者最小值的问题。

\\\[ \\min z=\\sum\_\{j=1\}^\{n\} f\_\{j\} x\_\{j\} \\\]

\\\[ \\text \{ s.t. \}\\left\\\{\\begin\{array\}\{ll\}\{\\sum\_\{j=1\}^\{n\} a\_\{i j\} x\_\{j\} \\leqslant b\_\{i\}\} & \{(i=1,2, \\cdots, m)\} \\\\ \{\\sum\_\{j=1\}^\{n\} a\_\{k j\}^\{\\mathrm\{eq\}\} x\_\{j\} \\leqslant b\_\{k\}^\{\\mathrm\{eq\}\}\} & \{(k=1,2, \\cdots, h)\} \\\\ \{\\mathrm\{lb\}\_\{j\} \\leqslant x\_\{j\} \\leqslant \\mathrm\{ub\}\_\{j\}\} & \{(j=1,2, \\cdots, n)\}\\end\{array\}\\right. \\\]

其中

价值系数向量为  
\\\[ \\mathbf\{F\}=\\left(f\_\{1\}, f\_\{2\}, \\cdots, f\_\{n\}\\right)^\{\\mathrm\{T\}\} \\\]

决策变量向量为  
\\\[\\mathbf\{X\}=\\left(x\_\{1\}, x\_\{2\}, \\cdots, x\_\{n\}\\right)^\{\\mathrm\{T\}\}\\\]

不等式约束系数矩阵为  
\\\[\\mathbf\{A\}=\\left(\\begin\{array\}\{ccc\}\{a\_\{11\}\} & \{\\cdots\} & \{a\_\{1 n\}\} \\\\ \{\\vdots\} & \{\\ddots\} & \{\\vdots\} \\\\ \{a\_\{m 1\}\} & \{\\cdots\} & \{a\_\{m n\}\}\\end\{array\}\\right)\\\]

不等式右端常数向量为  
\\\[\\mathbf\{B\}=\\left(b\_\{1\}, b\_\{2\}, \\cdots, b\_\{n\}\\right)^\{\\mathrm\{T\}\}\\\]

等式约束系数矩阵为  
\\\[\\mathbf\{A\}\_\{eq\} = \\left(\\begin\{array\}\{ccc\}\{a\_\{11\}^\{\\mathrm\{cq\}\}\} & \{\\cdots\} & \{a\_\{1 n\}^\{\\mathrm\{cq\}\}\} \\\\ \{\\vdots\} & \{\\ddots\} & \{\\vdots\} \\\\ \{a\_\{\\mathrm\{h1\}\}^\{\\mathrm\{eq\}\}\} & \{\\cdots\} & \{a\_\{\\mathrm\{hn\}\}^\{\\mathrm\{eq\}\}\}\\end\{array\}\\right)\\\]

等式右端常数向量为  
\\\[\\mathbf\{B\}\_\{\\mathrm\{eq\}\}=\\left(b\_\{1\}^\{\\mathrm\{eq\}\}, b\_\{2\}^\{\\mathrm\{eq\}\}, \\cdots, b\_\{\\mathrm\{h\}\}^\{\\mathrm\{eq\}\}\\right)^\{\\mathrm\{T\}\}\\\]

决策变量下界向量为  
\\\[\\mathbf\{L B\}=\\left(\\mathrm\{lb\}\_\{1\}, \\mathrm\{lb\}\_\{2\}, \\cdots, \\mathrm\{lb\}\_\{n\}\\right)^\{\\mathrm\{T\}\}\\\]

决策变量上界变量为  
\\\[\\mathbf\{UB\}=\\left(\\mathrm\{ub\}\_\{1\}, \\mathrm\{ub\}\_\{2\}, \\cdots, \\mathrm\{ub\}\_\{n\}\\right)^\{\\mathrm\{T\}\}\\\]

当目标函数为最小值时，上述问题可以写成如下形式：

\\\[ \\min z=\\boldsymbol\{F\}^\{\\mathrm\{T\}\} \\boldsymbol\{X\} \\\]

\\\[ \\text \{ s.t. \}\\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{\\mathbf\{A\}\\mathbf\{X\} \\leqslant \\mathbf\{B\}\} \\\\ \{\\mathbf\{A\}\_\{\\mathrm\{eq\}\} \\mathbf\{X\}=\\mathbf\{B\}\_\{\\mathrm\{eq\}\}\} \\\\ \{\\mathbf\{LB\} \\leqslant \\mathbf\{X\} \\leqslant \\mathbf\{UB\}\}\\end\{array\}\\right. \\\]

当目标函数为最大值时，上述问题可以写成如下形式：  
\\\[ \\max z=\\boldsymbol\{-F\}^\{\\mathrm\{T\}\} \\boldsymbol\{X\} \\\]

## Matlab模型代码 ##

### 调用形式 ###

[X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = linprog(F,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) % 目标函数为最小值
        [X,FVAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA] = linprog(-F,A,B,Aeq,Beq,LB,UB) % 目标函数为最大值

### 输入变量 ###

*  F 为目标函数中的价值系数向量
 *  A 为不等式约束系数矩阵(注意默认不等式方向为小于等于，若为大于等于，需要将其取相反数)
 *  B 为不等式右端常数向量(注意默认不等式方向为小于等于，若为大于等于，需要将其取相反数)
 *  Aeq 为等式约束系数矩阵
 *  Beq 为等式右端常数向量
 *  LB 为决策变量下界向量
 *  UB为决策变量上界向量

在调用时，输入参数不存在时，可以将其输入用 `[]` 空矩阵表示。

### 输出变量 ###

*  X 为最优解
 *  FVAL 为最优目标值
 *  EXITFLAG 为运行结束标志，当等于1时，表示程序收敛于解 X；当等于0时，表示程序运行次数到达最大；当小于0时，说明情况较多
 *  OUTPUT 为程序迭代次数
 *  LAMBDA 为解X相关的Largrange乘子和影子价格

## 案例演示 ##

### 目标函数与约束条件 ###

\\\[ \\min z=2 x\_\{1\}+3 x\_\{2\}+x\_\{3\} \\\]

\\\[ \\left\\\{\\begin\{array\}\{l\}\{x\_\{1\}+4 x\_\{2\}+2 x\_\{3\} \\geq 8\} \\\\ \{3 x\_\{1\}+2 x\_\{2\} \\geq 6\} \\\\ \{x\_\{1\}, x\_\{2\}, x\_\{3\} \\geq 0\}\\end\{array\}\\right. \\\]

### Matlab程序 ###

F= [2;3;1];
    A = [1,4,2;3,2,0];
    B = [8;6];
    LB = zeros(3,1);
    [X,FVAL] = linprog(F,-A,-B,[],[],LB,[])

### 运行结果 ###

Optimization terminated.
    
    X =
    
        0.8066
        1.7900
        0.0166
    
    
    FVAL =
    
        7.0000

转载于:https://www.cnblogs.com/gshang/p/11486534.html

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