四元数系列2——什么是保结构算法

Love The Way You Lie 2023-07-24 14:45 16阅读 0赞

首先说一下我对保结构算法的理解吧，所谓的四元数保结构算法，就是指可以将四元数矩阵表示为一种实数矩阵的形式，通过对该实数矩阵实施数值算法，进而实现对四元数矩阵实施该数值算法。为什么叫保结构算法呢？因为该实数矩阵在形式上具有某种结构，并且在整个算法实施过程中，该结构是一直保持着的，所以叫保结构算法。  
可能上面的描述有些啰嗦，那么接下来，我们就从理论上来看看什么是四元数的保结构算法。

### 四元数的实表示形式 ###

首先，我们定义一个酉四元数矩阵：  
 U = 1 2 \[ I n − j I n − i I n − k I n I n j I n − i I n k I n I n − j I n i I n k I n I n j I n i I n − k I n \] . U=\\frac\{1\}\{2\}\\left\[ \\begin\{matrix\} \\mathbb\{I\}\_n & -j\\mathbb\{I\}\_n & -i\\mathbb\{I\}\_n & -k\\mathbb\{I\}\_n \\\\ \\mathbb\{I\}\_n & j\\mathbb\{I\}\_n & -i\\mathbb\{I\}\_n & k\\mathbb\{I\}\_n \\\\ \\mathbb\{I\}\_n & -j\\mathbb\{I\}\_n & i\\mathbb\{I\}\_n & k\\mathbb\{I\}\_n \\\\ \\mathbb\{I\}\_n & j\\mathbb\{I\}\_n & i\\mathbb\{I\}\_n & -k\\mathbb\{I\}\_n \\end\{matrix\} \\right\]. U=21⎣⎢⎢⎡InInInIn−jInjIn−jInjIn−iIn−iIniIniIn−kInkInkIn−kIn⎦⎥⎥⎤.  
其中， I n \\mathbb\{I\}\_n In为 n × n n \\times n n×n的单位矩阵，并且在接下来的叙述中，我们令上标 T ^T T以及 ∗ ^\* ∗表示转置和共轭转置。  
上面定义的矩阵 U U U是酉矩阵，即满足  
 U ∗ × U = U × U ∗ = I 4 n U^\*\\times U = U \\times U^\* = \\mathbb\{I\}\_\{4n\} U∗×U=U×U∗=I4n  
\*\*四元数的实表示形式：\*\*对于任意的四元数矩阵 Q = Q 0 + Q 1 i + Q 2 j + Q 3 k Q = Q\_0+Q\_1i+Q\_2j+Q\_3k Q=Q0\+Q1i\+Q2j\+Q3k，其中 Q 0 , Q 1 , Q 2 , Q 3 ∈ R n × n Q\_0,Q\_1,Q\_2,Q\_3 \\in\\mathbb\{R\}^\{n\\times n\} Q0,Q1,Q2,Q3∈Rn×n，该四元数的实表示形式被定义为：  
 γ Q = \[ Q 0 Q 2 Q 1 Q 3 − Q 2 Q 0 Q 3 − Q 1 − Q 1 − Q 3 Q 0 Q 2 − Q 3 Q 1 − Q 2 Q 0 \] . \\gamma \_Q = \\left\[ \\begin\{matrix\} Q\_0 & Q\_2 & Q\_1 & Q\_3 \\\\ -Q\_2 & Q\_0 & Q\_3 & -Q\_1 \\\\ -Q\_1 & -Q\_3 & Q\_0 & Q\_2 \\\\ -Q\_3 & Q\_1 & -Q\_2 & Q\_0 \\end\{matrix\} \\right\]. γQ=⎣⎢⎢⎡Q0−Q2−Q1−Q3Q2Q0−Q3Q1Q1Q3Q0−Q2Q3−Q1Q2Q0⎦⎥⎥⎤.  
上述矩阵 γ Q \\gamma \_Q γQ就被称为四元数矩阵 Q Q Q的实表示形式。那么，为什么我们会用这种形式的矩阵来作为四元数的实表示呢？  
为了解答上述问题，我们首先来看下面的这个等式：  
如果我们令四元数 Q = A + B j Q = A + Bj Q=A\+Bj，其中 A = Q 0 + Q 1 i , B = Q 2 + Q 3 i A = Q\_0 + Q\_1i, B = Q\_2 + Q\_3i A=Q0\+Q1i,B=Q2\+Q3i，所以我们可以得到：  
 γ Q = U ∗ \[ A + B j 0 0 0 0 A − B j 0 0 0 0 A ‾ − B ‾ j 0 0 0 0 A ‾ − B ‾ j \] U \\gamma\_Q=U^\* \\left\[ \\begin\{matrix\} A+Bj & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & A-Bj & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \\overline\{A\}-\\overline\{B\}j & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \\overline\{A\}-\\overline\{B\}j \\end\{matrix\} \\right\]U γQ=U∗⎣⎢⎢⎡A\+Bj0000A−Bj0000A−Bj0000A−Bj⎦⎥⎥⎤U  
从上式中我们就可以得知：  **Q Q Q的特征值问题就等价于 γ Q \\gamma\_Q γQ的特征值问题**。

### 保结构算法的性质 ###

上面我们知道了什么是四元数保结构算法，下面我们来看看该算法有什么好的性质。  
我们首先定义四个酉矩阵：  
 P n = \[ I n 0 0 0 0 − I n 0 0 0 0 I n 0 0 0 0 − I n \] , J n = \[ 0 0 − I n 0 0 0 0 − I n I n 0 0 0 0 I n 0 0 \] , R n = \[ 0 − I n 0 0 I n 0 0 0 0 0 0 I n 0 0 − I n 0 \] , S n = \[ 0 0 0 − I n 0 0 I n 0 0 − I n 0 0 I n 0 0 0 \] . P\_n = \\left\[ \\begin\{matrix\} \\mathbb\{I\}\_n & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & -\\mathbb\{I\}\_n & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & \\mathbb\{I\}\_n & 0 \\\\ 0& 0 & 0 & -\\mathbb\{I\}\_n \\end\{matrix\} \\right\], J\_n=\\left\[ \\begin\{matrix\} 0 & 0 & -\\mathbb\{I\}\_n & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & -\\mathbb\{I\}\_n \\\\ \\mathbb\{I\}\_n & 0 & 0 &0 \\\\ 0 & \\mathbb\{I\}\_n & 0 & 0 \\end\{matrix\} \\right\], \\\\ R\_n = \\left\[ \\begin\{matrix\} 0 & -\\mathbb\{I\}\_n & 0 & 0 \\\\ \\mathbb\{I\}\_n & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 0 & \\mathbb\{I\}\_n \\\\ 0 & 0 & -\\mathbb\{I\}\_n & 0 \\end\{matrix\} \\right\], S\_n=\\left\[ \\begin\{matrix\} 0 & 0 & 0 & -\\mathbb\{I\}\_n \\\\ 0 & 0 & \\mathbb\{I\}\_n &0 \\\\ 0 & -\\mathbb\{I\}\_n & 0 & 0\\\\ \\mathbb\{I\}\_n & 0 & 0 & 0 \\end\{matrix\} \\right\]. Pn=⎣⎢⎢⎡In0000−In0000In0000−In⎦⎥⎥⎤,Jn=⎣⎢⎢⎡00In0000In−In0000−In00⎦⎥⎥⎤,Rn=⎣⎢⎢⎡0In00−In000000−In00In0⎦⎥⎥⎤,Sn=⎣⎢⎢⎡000In00−In00In00−In000⎦⎥⎥⎤.  
可以验证，上述四个矩阵都是酉矩阵。  
下面定义两类矩阵：  
 **J R S JRS JRS对称矩阵**：对于一个实矩阵 M ∈ R 4 n × 4 n M\\in\\mathbb\{R\}^\{4n\\times 4n\} M∈R4n×4n，如果满足 J n M J n T = M , R n M R n T = M , S n M S n T = M J\_nMJ^T\_n=M,R\_nMR^T\_n=M,S\_nMS^T\_n=M JnMJnT=M,RnMRnT=M,SnMSnT=M，则称矩阵 M M M是 J R S JRS JRS对称矩阵。

**J R S JRS JRS辛矩阵**：对于一个实矩阵 O ∈ R 4 n × 4 n O\\in\\mathbb\{R\}^\{4n\\times 4n\} O∈R4n×4n，如果满足 O J n O T = J n , O R n O T = R n , O S n O T = S n OJ\_nO^T=J\_n,OR\_nO^T=R\_n,OS\_nO^T=S\_n OJnOT=Jn,ORnOT=Rn,OSnOT=Sn，则称矩阵 O O O是 J R S JRS JRS辛矩阵。

在上述两类矩阵的基础上，我们可以引申定义**正交 J R S JRS JRS辛矩阵**：对于一个实矩阵 W ∈ R 4 n × 4 n W\\in\\mathbb\{R\}^\{4n\\times 4n\} W∈R4n×4n，如果该矩阵是正交阵，且是 J R S JRS JRS辛矩阵，则称矩阵 W W W是 J R S JRS JRS正交辛矩阵。通过  
对照辛矩阵的定义，我们可以看出， J R S JRS JRS正交辛矩阵一定是辛矩阵，但反之则不一定正确。

**引理2.1.** 令 Q Q Q和 H H H为两个 n × n n\\times n n×n的四元数矩阵， α ∈ R \\alpha\\in\\mathbb\{R\} α∈R，则我们有以下关系成立：

1.   γ Q + H = γ Q + γ H , γ α Q = α γ Q , γ Q H = γ Q γ H . \\gamma\_\{Q+H\}=\\gamma\_Q+\\gamma\_H, \\gamma\_\{\\alpha Q\}=\\alpha \\gamma\_Q, \\gamma\_\{QH\}=\\gamma\_Q\\gamma\_H. γQ\+H=γQ\+γH,γαQ=αγQ,γQH=γQγH.
2.   γ Q \\gamma\_Q γQ是 J R S JRS JRS对称矩阵。
3.   Q Q Q是酉矩阵，当且仅当 γ Q \\gamma\_Q γQ是正交矩阵。
4.  如果 γ Q \\gamma\_Q γQ是正交的，则其一定是 J R S JRS JRS正交辛矩阵。

上述引理的证明可直接由计算推导证得，此处略。

**定理2.2**：令 Q ∈ H n × n Q\\in\\mathbb\{H\}^\{n \\times n\} Q∈Hn×n，则 γ Q \\gamma\_Q γQ的实值特征值成四出现(即一个实值特征值出现四次)，纯虚数特征值成共轭对出现。  
**定理2.3**：令 Q ∈ H n × n Q\\in\\mathbb\{H\}^\{n \\times n\} Q∈Hn×n，则 Q Q Q是一个可对角化四元数矩阵，当且仅当它的实表示 γ Q \\gamma\_Q γQ是可对角化实矩阵。

**这两个定理的证明，以后有机会再补上**

从上述内容中，我们可以看到，如果我们想要计算 n × n n\\times n n×n的四元数矩阵 Q Q Q的特征值，我们可以等价的去计算 4 n × 4 n 4n\\times 4n 4n×4n的实表示 γ Q \\gamma\_Q γQ的特征值。

### 保结构算法的便捷性 ###

终于来到了主要部分了。本节主要讨论保结构算法名称的来历，以及相对于普通算法，他主要方便在哪里？

首先，我们通过前文可以看到，保结构算法其实就是在对四元数矩阵进行相关算法操作时，等价于使用它的实表示矩阵去进行相应的算法操作，得到的结果是一样的。

其次，为什么该方法叫做保结构算法呢？是如何保结构的呢？  
我们注意到，对于一个四元数矩阵 Q = Q 0 + Q 1 i + Q 2 j + Q 3 k Q = Q\_0+Q\_1i+Q\_2j+Q\_3k Q=Q0\+Q1i\+Q2j\+Q3k，其中 Q 0 , Q 1 , Q 2 , Q 3 ∈ R n × n Q\_0,Q\_1,Q\_2,Q\_3 \\in\\mathbb\{R\}^\{n\\times n\} Q0,Q1,Q2,Q3∈Rn×n，该四元数的实表示形式被定义为：  
 γ Q = \[ Q 0 Q 2 Q 1 Q 3 − Q 2 Q 0 Q 3 − Q 1 − Q 1 − Q 3 Q 0 Q 2 − Q 3 Q 1 − Q 2 Q 0 \] . \\gamma \_Q = \\left\[ \\begin\{matrix\} Q\_0 & Q\_2 & Q\_1 & Q\_3 \\\\ -Q\_2 & Q\_0 & Q\_3 & -Q\_1 \\\\ -Q\_1 & -Q\_3 & Q\_0 & Q\_2 \\\\ -Q\_3 & Q\_1 & -Q\_2 & Q\_0 \\end\{matrix\} \\right\]. γQ=⎣⎢⎢⎡Q0−Q2−Q1−Q3Q2Q0−Q3Q1Q1Q3Q0−Q2Q3−Q1Q2Q0⎦⎥⎥⎤.  
如果我们用一个四元数 Q 1 = Q 10 + Q 11 i + Q 12 j + Q 13 k Q\_1=Q\_\{10\}+Q\_\{11\}i+Q\_\{12\}j+Q\_\{13\}k Q1=Q10\+Q11i\+Q12j\+Q13k乘上另一个四元数 Q 2 = Q 20 + Q 21 i + Q 22 j + Q 23 k Q\_2=Q\_\{20\}+Q\_\{21\}i+Q\_\{22\}j+Q\_\{23\}k Q2=Q20\+Q21i\+Q22j\+Q23k，得到  
 Q 3 = Q 1 × Q 2 = ( Q 10 + Q 11 i + Q 12 j + Q 13 k ) × ( Q 20 + Q 21 i + Q 22 j + Q 23 k ) = ( Q 10 × Q 20 − Q 11 × Q 21 − Q 12 × Q 22 − Q 13 × Q 23 ) + ( Q 10 × Q 21 + Q 11 × Q 20 + Q 12 × Q 23 − Q 13 × Q 23 ) i + ( Q 10 × Q 22 − Q 11 × Q 23 + Q 12 × Q 20 + Q 13 × Q 21 ) j + ( Q 10 × Q 23 + Q 11 × Q 22 − Q 12 × Q 21 + Q 13 × Q 20 ) k Q\_3=Q\_1\\times Q\_2 \\\\ = (Q\_\{10\}+Q\_\{11\}i+Q\_\{12\}j+Q\_\{13\}k)\\times (Q\_\{20\}+Q\_\{21\}i+Q\_\{22\}j+Q\_\{23\}k) \\\\ = (Q\_\{10\}\\times Q\_\{20\} - Q\_\{11\}\\times Q\_\{21\} - Q\_\{12\}\\times Q\_\{22\} - Q\_\{13\}\\times Q\_\{23\})\\\\+(Q\_\{10\}\\times Q\_\{21\} + Q\_\{11\}\\times Q\_\{20\} + Q\_\{12\}\\times Q\_\{23\} - Q\_\{13\}\\times Q\_\{23\})i\\\\+(Q\_\{10\}\\times Q\_\{22\} - Q\_\{11\} \\times Q\_\{23\} + Q\_\{12\}\\times Q\_\{20\} + Q\_\{13\}\\times Q\_\{21\})j \\\\+ (Q\_\{10\}\\times Q\_\{23\} + Q\_\{11\}\\times Q\_\{22\} - Q\_\{12\}\\times Q\_\{21\} + Q\_\{13\}\\times Q\_\{20\})k Q3=Q1×Q2=(Q10\+Q11i\+Q12j\+Q13k)×(Q20\+Q21i\+Q22j\+Q23k)=(Q10×Q20−Q11×Q21−Q12×Q22−Q13×Q23)\+(Q10×Q21\+Q11×Q20\+Q12×Q23−Q13×Q23)i\+(Q10×Q22−Q11×Q23\+Q12×Q20\+Q13×Q21)j\+(Q10×Q23\+Q11×Q22−Q12×Q21\+Q13×Q20)k  
emmmm，上面写的比较长，看着比较乱，但总之就是对式子的化简，很简单。  
上面的结果是直接运用四元数来进行计算的，那如果用实表示来计算会是什么样的结果呢？  
 γ Q 1 × γ Q 2 = \[ Q 10 Q 12 Q 11 Q 13 − Q 12 Q 10 Q 13 − Q 11 − Q 11 − Q 13 Q 10 Q 12 − Q 13 Q 11 − Q 12 Q 10 \] × \[ Q 20 Q 22 Q 21 Q 23 − Q 22 Q 20 Q 23 − Q 21 − Q 21 − Q 23 Q 20 Q 22 − Q 23 Q 21 − Q 22 Q 20 \] \\gamma\_\{Q\_1\}\\times \\gamma\_\{Q\_2\} \\\\ =\\left\[ \\begin\{matrix\} Q\_\{10\} & Q\_\{12\} & Q\_\{11\} & Q\_\{13\} \\\\ -Q\_\{12\} & Q\_\{10\} & Q\_\{13\} & -Q\_\{11\} \\\\ -Q\_\{11\} & -Q\_\{13\} & Q\_\{10\} & Q\_\{12\} \\\\ -Q\_\{13\} & Q\_\{11\} & -Q\_\{12\} & Q\_\{10\} \\end\{matrix\} \\right\] \\times \\left\[ \\begin\{matrix\} Q\_\{20\} & Q\_\{22\} & Q\_\{21\} & Q\_\{23\} \\\\ -Q\_\{22\} & Q\_\{20\} & Q\_\{23\} & -Q\_\{21\} \\\\ -Q\_\{21\} & -Q\_\{23\} & Q\_\{20\} & Q\_\{22\} \\\\ -Q\_\{23\} & Q\_\{21\} & -Q\_\{22\} & Q\_\{20\} \\end\{matrix\} \\right\] γQ1×γQ2=⎣⎢⎢⎡Q10−Q12−Q11−Q13Q12Q10−Q13Q11Q11Q13Q10−Q12Q13−Q11Q12Q10⎦⎥⎥⎤×⎣⎢⎢⎡Q20−Q22−Q21−Q23Q22Q20−Q23Q21Q21Q23Q20−Q22Q23−Q21Q22Q20⎦⎥⎥⎤  
最终结果是这个：  
![在这里插入图片描述][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FxXzM5ODYyNTA1_size_16_color_FFFFFF_t_70_pic_center]  
可能有点模糊，建议大家可以自己动手去化简一下。  
通过上面的图片，我们可以看到，最终结果是满足实表示矩阵的结构的，将其还原为四元数就是：  
 Q 3 = ( Q 10 × Q 20 − Q 11 × Q 21 − Q 12 × Q 22 − Q 13 × Q 23 ) + ( Q 10 × Q 21 + Q 11 × Q 20 + Q 12 × Q 23 − Q 13 × Q 23 ) i + ( Q 10 × Q 22 − Q 11 × Q 23 + Q 12 × Q 20 + Q 13 × Q 21 ) j + ( Q 10 × Q 23 + Q 11 × Q 22 − Q 12 × Q 21 + Q 13 × Q 20 ) k Q\_3= (Q\_\{10\}\\times Q\_\{20\} - Q\_\{11\}\\times Q\_\{21\} - Q\_\{12\}\\times Q\_\{22\} - Q\_\{13\}\\times Q\_\{23\})\\\\+(Q\_\{10\}\\times Q\_\{21\} + Q\_\{11\}\\times Q\_\{20\} + Q\_\{12\}\\times Q\_\{23\} - Q\_\{13\}\\times Q\_\{23\})i\\\\+(Q\_\{10\}\\times Q\_\{22\} - Q\_\{11\} \\times Q\_\{23\} + Q\_\{12\}\\times Q\_\{20\} + Q\_\{13\}\\times Q\_\{21\})j \\\\+ (Q\_\{10\}\\times Q\_\{23\} + Q\_\{11\}\\times Q\_\{22\} - Q\_\{12\}\\times Q\_\{21\} + Q\_\{13\}\\times Q\_\{20\})k Q3=(Q10×Q20−Q11×Q21−Q12×Q22−Q13×Q23)\+(Q10×Q21\+Q11×Q20\+Q12×Q23−Q13×Q23)i\+(Q10×Q22−Q11×Q23\+Q12×Q20\+Q13×Q21)j\+(Q10×Q23\+Q11×Q22−Q12×Q21\+Q13×Q20)k  
跟上面四元数直接计算的结果是一样的，所以，到这里，大家应该知道为什么这个算法叫做"保结构算法"了吧？

当然，可能有人会问，实表示矩阵是将原四元数矩阵的维度放大了四倍，这是否会起到简化运算步骤的效果呢？  
针对这个问题，其实我们可以这样来看，由于上文实表示运算得到的 γ Q 3 \\gamma\_\{Q\_3\} γQ3也是满足实表示的结构的，所以我们只需要用 γ Q 1 \\gamma\_\{Q\_1\} γQ1乘以 γ Q 2 \\gamma\_\{Q\_2\} γQ2的第一列块得到 γ Q 3 \\gamma\_\{Q\_3\} γQ3的第一列块即可，我们可以根据 γ Q 3 \\gamma\_\{Q\_3\} γQ3放入第一列块还原出 Q 3 Q\_3 Q3。

接下来我们比较一下计算量。假设 Q 1 Q\_1 Q1与 Q 2 Q\_2 Q2均为 n × n n\\times n n×n的四元数矩阵，有如下的计算量：

<table> 
 <thead> 
 <tr> 
 <th>计算方法</th> 
 <th>计算量</th> 
 </tr> 
 </thead> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td>四元数乘法</td> 
 <td> 32 n 3 − 4 n 2 32n^3-4n^2 32n3−4n2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>实表示乘法</td> 
 <td> 128 n 3 − 16 n 2 128n^3-16n^2 128n3−16n2</td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td>简化的实表示乘法(即计算第一列块)</td> 
 <td> 32 n 3 − 4 n 2 32n^3-4n^2 32n3−4n2</td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

由此可见，实表示算法虽然看上去维度扩大了四倍，但是单纯的看四元数乘法的计算量却与直接四元数相乘一样，有人可能会问这样的一种算法还有什么意义呢？不如直接用四元数相乘啦。在以后我们利用实保结构算法来进行一些算法的实施的时候，我会显示出实保结构算法的具体的便利之处。

好了，关于实表示算法的基本介绍就到这里了，之后我会具体介绍一下如何来用实表示结构实施一些数值算法。

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