四元数[转]

古城微笑少年丶 2022-08-21 05:35 178阅读 0赞

最近做camera 的 AI，需要对四元数，欧拉角等要有一定的了解，把前面学习的整理了一下：

1。四元数的优势： 三维空间的旋转完全可以由4元数来胜任。传统意义上需要3×3矩阵来进行向量的旋转（4x4矩阵的第四列表示平移）。所以四元数更节省空间，运算速度更快。既然四元数能方便的表示3D旋转，那么对他们进行插值就能产生平滑的旋转效果。

劣势可能是比较抽象，不大好理解。而且据说顶点变换还是矩阵效率更高（涉及到平移）。

2。四元数的物理意义：

Q( x, y, z, w)来表示向量 绕轴 A（ax, ay,az) 旋转alpha

则： x ＝ sin(alpha/2)\*ax;

y =   sin(alpha/2)\*ay;

z =  sin(alpha/2)\*az;

w = cos(alpha/2);

3。四元素的数学意义：

我们知道 复数的表示为 a+bi; 其中i\*i = -1;

四元数 q = w + xi + yi +zi;

复数的运算法则为四元数的数学运算提供了规则基础。比如说乘法，加法等。

4。四元数和矩阵间的转换：

QX =0; QY=1;QZ=2;QW=3;

void quat\_ConvertFromMatrix(float \*pQuat, const float mat\[4\]\[4\]) \{ float diag, s; int i, j, k;

diag = mat\[0\]\[0\] + mat\[1\]\[1\] + mat\[2\]\[2\];

if(diag < -0.999f ) \{   i = QX;   if( mat\[QY\]\[QY\] > mat\[QX\]\[QX\] )    i = QY;   if( mat\[QZ\]\[QZ\] > mat\[i\]\[i\] )    i = QZ;     j = g\_QNext\[i\];   k = g\_QNext\[j\];

s = ltsqrtf( mat\[i\]\[i\] - ( mat\[j\]\[j\] + mat\[k\]\[k\] ) + /\*mat\[3\]\[3\]\*/ 1.0f );

pQuat\[i\] = s \* 0.5f;   s = 0.5f / s;   pQuat\[QW\] = ( mat\[k\]\[j\] - mat\[j\]\[k\] ) \* s;   pQuat\[j\] = ( mat\[j\]\[i\] + mat\[i\]\[j\] ) \* s;   pQuat\[k\] = ( mat\[k\]\[i\] + mat\[i\]\[k\] ) \* s;   return; \}

s = ltsqrtf( diag + /\*mat\[3\]\[3\]\*/ 1.0f ); pQuat\[3\] = s \* 0.5f; s = 0.5f / s;

pQuat\[0\] = (mat\[2\]\[1\] - mat\[1\]\[2\]) \* s; pQuat\[1\] = (mat\[0\]\[2\] - mat\[2\]\[0\]) \* s; pQuat\[2\] = (mat\[1\]\[0\] - mat\[0\]\[1\]) \* s; \}

void quat\_ConvertToMatrix(const float \*pQuat, float mat\[4\]\[4\]) \{ float s, xs, ys, zs, wx, wy, wz, xx, xy, xz, yy, yz, zz;

/\*!   get the values for matrix calcuation. \*/ s = 2.0f / ((pQuat\[0\] \* pQuat\[0\]) + (pQuat\[1\] \* pQuat\[1\]) +   (pQuat\[2\] \* pQuat\[2\]) + (pQuat\[3\] \* pQuat\[3\]));

xs = pQuat\[0\] \* s; ys = pQuat\[1\] \* s; zs = pQuat\[2\] \* s;

wx = pQuat\[3\] \* xs; wy = pQuat\[3\] \* ys; wz = pQuat\[3\] \* zs;

xx = pQuat\[0\] \* xs; xy = pQuat\[0\] \* ys; xz = pQuat\[0\] \* zs;

yy = pQuat\[1\] \* ys; yz = pQuat\[1\] \* zs;

zz = pQuat\[2\] \* zs;

/\*!   Fill in matrix

\*/ mat\[0\]\[0\] = 1.0f - (yy + zz); mat\[0\]\[1\] = xy - wz; mat\[0\]\[2\] = xz + wy; mat\[1\]\[0\] = xy + wz; mat\[1\]\[1\] = 1.0f - (xx + zz); mat\[1\]\[2\] = yz - wx;

mat\[2\]\[0\] = xz - wy; mat\[2\]\[1\] = yz + wx; mat\[2\]\[2\] = 1.0f - (xx + yy);

mat\[0\]\[3\] = mat\[1\]\[3\] = mat\[2\]\[3\] = mat\[3\]\[0\] = mat\[3\]\[1\] = mat\[3\]\[2\] = 0.0f; mat\[3\]\[3\] = 1.0f; \} 具体推倒过程可以参考相关文献。

5。四元数插值： 有很多插值方法，比如线性，球形，样条插值等；

lerp (t;,q0,q1) = (1-t)q0 + tq1 ;//快速，但动画不平滑，需要归一化 / ||(1-t)q0 + tq1||;

slerp( t;, q0,q1) = \[q0 \*sin(thata(1-thata)) + q1sin(thata\*t)\] / sin(thata); //平滑，归一化；

thata　为q0 q1夹角。q0 dot q1 ＝ cos(thata);