动态规划9--例9.9最长公共子序列

妖狐艹你老母 2023-07-12 05:19 12阅读 0赞

### 1265：【例9.9】最长公共子序列   【题目描述】 ###

一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。  
确切地说，若给定序列X=<x1,x2,…,xm>，则另一序列Z＝<z1，z2，…，zk>是X的子序列  
是指存在一个严格递增的下标序列<i1,i2,…,ik>,使得对于所有j=1,2,…,k有：Xij=Zj

例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列,相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。  
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。  
例如，若X＝<A,B,C,B,D,A,B>和Y＝<B,D,C,A,B,A>，则序列<B,C,A>是X和Y的一个公共子序列,  
序列<B,C,B,A>也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列．因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。

给定两个序列X＝<x1，x2，…，xm>和Y=<y1,y2…．yn>．要求找出X和Y的一个最长公共子序列。  
【输入】  
共有两行。每行为一个由大写字母构成的长度不超过1000的字符串，表示序列X和Y。  
【输出】  
第一行为一个非负整数。表示所求得的最长公共子序列的长度。若不存在公共子序列．则输出文件仅有一行输出一个整数0。

提示：  
最长公共子串(Longest Common Substirng)和最长公共子序列(Longest Common  
Subsequence, LCS)的区别为：子串是串的一个连续的部分,子序列则是不改变序列的顺序，  
而从序列中去掉任意的元素而获得新的序列，也就是说,子串中字符的位置必须是连续的，  
子序列则可以不必连续.字符串长度小于等于1000.

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### 算法分析： ###

与最长不下降子序列（LIS）类似的，我们可以以子序列的结尾作为状态,但现在有两个子序列，  
那么直接以两个子序列当前的结尾作为状态即可.

①  确定状态：  
设F\[x\]\[y\]表示S\[l..x\]与T\[1..y\]的最长公共子序列的长度,答案为F\[|S|\]\[|T|\],

②  确定状态转移方程和边界条件：  
分三种情况来考虑：  
•S\[x\]不在公共于序列中：该情况下F\[x\]\[y\] = F\[x-l\]\[y\],  
•T\[y\]不在公共于序列中:该情况下F\[x\]\[y\] = F\[x\]\[y-l\],  
\-S\[x\] = T\[y\],S\[x\]与 T\[y\]在公共子序列中：该情况下.FEx\]\[y\] = F\[x-l\]\[y-1\]+ 1。  
F\[x\]\[y\]取上述三种情况的最大值。综上，  
状态转移方程: F\[x\]\[y\] = max\{F\[x—l\]\[y\],F\[x\]\[y—l\],F\[x—l\]\[y—l\] + l\},其中第三种情况要満足S\[x\] = T\[y\]；  
边界条件:F\[O\]\[y\]=O, F\[x\]\[O\] = O.

③程序实现，  
计算F\[x\]\[y\]时用到F\[x-l\]\[y-l\].F\[x-l\]\[y\],FCx\]\[y-l\]这些状态，它们要么在  
F\[x\]\[y\]的上一行,要么在F\[x\]\[y\]的左边。因此預处理出第。行，然后按照行从小到大、同一行  
按照列从小到大的顺序来计算就可以用迭代法计算出来。时间复杂度为0(|S| \* |T|).

借鉴网上一张图：

![watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FldzIwMTc_size_16_color_FFFFFF_t_70][]

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### 代码： ###

#include<iostream>
    using namespace std;
    
    //数据初始化
    
    const int MAXN=5005;
    string S,T;
    int F[20][20];
    
    //处理函数
    
    //主函数
    int main(){
        //初始化数据
        //输入数据
        cin>>S;
        cin>>T;
        int ls=S.length();
        int lt=T.length();
    
        int n=0;
    
        //事务处理
        for(int i=1;i<=ls;i++){
            for (int j = 1; j <=lt ; ++j) {
                F[i][j]=max(F[i-1][j],F[i][j-1]);
                n=F[i][j];
                if(S[i-1]==T[j-1]){
                    F[i][j]=max(F[i][j],F[i-1][j-1]+1);
                }
            }
        }
    
        //输出数据
        cout<<F[ls][lt]<<endl;
    
        return 0;
    }

总结：

1.这一题感觉有点难，代码看着比较少，但是理解起来有点抽象

2.这一题还是比较基础的一个题只要求出长度，进阶版是还要求打印出公共子序列。

参考：

[https://blog.csdn.net/weixin\_40673608/article/details/84262695?depth\_1-utm\_source=distribute.pc\_relevant.none-task&utm\_source=distribute.pc\_relevant.none-task][https_blog.csdn.net_weixin_40673608_article_details_84262695_depth_1-utm_source_distribute.pc_relevant.none-task_utm_source_distribute.pc_relevant.none-task]

[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FldzIwMTc_size_16_color_FFFFFF_t_70]: https://img-blog.csdnimg.cn/20200307125649107.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3FldzIwMTc=,size_16,color_FFFFFF,t_70
[https_blog.csdn.net_weixin_40673608_article_details_84262695_depth_1-utm_source_distribute.pc_relevant.none-task_utm_source_distribute.pc_relevant.none-task]: https://blog.csdn.net/weixin_40673608/article/details/84262695?depth_1-utm_source=distribute.pc_relevant.none-task&utm_source=distribute.pc_relevant.none-task