【学习笔记】离散数学（Discrete Math） -命题逻辑1

╰半橙微兮° 2023-06-28 09:54 22阅读 0赞

# 离散数学（Discrete Math）-命题逻辑 #

**目录**

离散数学（Discrete Math）-第一章 命题逻辑

逻辑命题Def:

算子运算符Def：

事件Def：

运算定律

代数运算

--------------------

## 逻辑命题Def: ##

**Proposition** 命题 ：A proposition is a declaration that is either **true** or **false** but **not both**.

**Truth Value** 真值 ：The truth value of a true (or false respectively) proposition is True (or false respectively) and denoted by T (or F respectively).

Ex:

1.  太阳的英文是sun。是命题 为真命题
2.  2+5=9 是命题 为假命题
3.  X+8=0 不是命题
4.  今天天气不错哦。 不是命题
5.  请递给我课本。 不是命题

**Propositional Variables**命题变量：Propositional Variables are variables that represent propositions,e.q: *p,q,r…*(小写)

**propositions Caculus** 命题运算 ：The area of logic that deals with propositions is called propositions Caculus.

**Compound Propositions** 复合命题 ： Compound Propositions are propositions that are formed from existing propositions using **Logical Operators**(逻辑算子).

Logical Operators 逻辑算子

Truth Table 真值表

logic puzzles 逻辑推理

## 算子运算符Def： ##

Negation Operator 否定运算符（横折 - ）

例：

Conjunction Operator 连接运算符（∧ AND）

例：

Disjunction Operator 或运算符 （∨ OR）

例：

Exclusive OR 异或 （圆里加号）

例：

Conditional Operator 条件运算符（→）

p→q，若p则q。

例：

解释如下：若p则q，即（1，1）为真，（1，0）为假，但是若p=0，则对后面没影响，无论q为真或假，命题均为真命题。例：如果我买了一本书，那么晚饭我就会炒面。可是我没买书，那晚上炒不炒面就不依赖前面条件了，即无法通过p推出q，所以认为它是真命题。

**p→q** **等价于****非****q→****非****q**

Biconditional Operator 双条件运算符（<->）

p<->q 代表 (p→q)∧(q→p) 当且仅当

例：

**运算优先级**

**not** > **and** > **or** > **→** > **<->**

**位运算**

Bitwise OR

Bitwise AND

Bitwise XOR

## 事件Def： ##

A compound proposition is always true (or false resp) is called a tautology赘述 (or contradiction矛盾 ,resp)，neither of them is contingency偶然事件.

**Logical Eequivalence** 逻辑等价 : The two compound proposition p and q are called logical equivalence , if p<->q is a tautology ，and is denoted as **p≡q**.

## 运算定律 ##

<table> 
 <tbody> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 结合律Associative laws </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> &nbsp;(p∧q)∧r ≡p∧(q∧r) </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 交换律Commtative laws </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> P∧q ≡ q∧p&nbsp;&nbsp;&nbsp; p∨q ≡ q∨p </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 分配律Distributive laws </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 两者能相互分配 </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 恒等率 Identity laws </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> p∧T ≡ p &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; p∨F ≡ p </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 支配律/零律 Domination laws </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> p∨T ≡ T &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; p∧F ≡ F </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 等幂律 Idempotent laws&nbsp; </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> p∧T ≡ p &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; p∨p ≡ p </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 对合律 Double negation </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 非非p ≡ p </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 德摩根律 De Morgan laws </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 类似于分配率 非(p∧q) ≡ 非p∨非q 非(p∨q) ≡ 非p∧非q </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 吸收律 &nbsp;Absorption laws </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> p∨(p∧q) ≡ p p∧(p∨q) ≡ p </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 蕴含律 Conditional statement </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> p→q ≡ 非p∨q （即只有10时为0） </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 逆反律Conditional statement </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> p→q ≡ 非q→非p </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 输出律 </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> (p∧q) →r ≡ p→q →r </td> 
 </tr> 
 <tr> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> 归谬律 </td> 
 <td style="vertical-align:top;width:207.4pt;"> (p→q) ∧(p→非q) ≡ 非p </td> 
 </tr> 
 </tbody> 
</table>

## 代数运算 ##

方法一：真值表

方法二：推演法·定律运用