求均方误差

电玩女神 2023-06-19 05:24 15阅读 0赞

1.设 x 1 , x 2 , . . . , x n x\_1,x\_2,...,x\_n x1,x2,...,xn是来自正态总体 N ( 0 , σ 2 ) N(0,\\sigma^2) N(0,σ2)的简单样本，用 σ ^ 2 = n x ‾ 2 = 1 n ( ∑ i = 1 n x i ) 2 \\hat\{\\sigma\}^2=n \\overline\{x\}^2=\\frac\{1\}\{n\}(\\sum\_\{i=1\}^\{n\}x\_i)^2 σ^2=nx2=n1(∑i=1nxi)2，估计 σ 2 \\sigma^2 σ2，则均方误差 E σ 2 ( σ ^ 2 − σ 2 ) E\_\{ \{\\sigma\}^\{2\}\}(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2) Eσ2(σ^2−σ2)= ？

解： E σ 2 ( σ ^ 2 − σ 2 ) 2 = V a r ( σ ^ 2 ) + E 2 ( σ ^ 2 − σ 2 ) E\_\{ \{\\sigma\}^\{2\}\}(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2)^2 = Var(\\hat\{\\sigma\}^2) + E^2(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2) Eσ2(σ^2−σ2)2=Var(σ^2)\+E2(σ^2−σ2)  E ( X 2 ) = D ( X ) + E 2 ( X ) E(X^2)=D(X)+\{E^2(X)\} E(X2)=D(X)\+E2(X)  
 = V a r ( σ ^ 2 ) + E 2 ( σ ^ 2 − σ 2 ) =Var(\\hat\{\\sigma\}^2) + E^2(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2) =Var(σ^2)\+E2(σ^2−σ2)

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令 V a r ( σ ^ 2 ) 为 ( 1 ) , E 2 ( σ ^ 2 − σ 2 ) 为 ( 2 ) Var(\\hat\{\\sigma\}^2)为(1),E^2(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2)为(2) Var(σ^2)为(1),E2(σ^2−σ2)为(2)

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## 先求（1） ##

V a r ( σ ^ 2 ) = V a r ( n x ‾ 2 ) = n 2 V a r ( x ‾ 2 ) Var(\\hat\{\\sigma\}^2)=Var(n\\overline x^2)=n^2Var(\\overline x^2) Var(σ^2)=Var(nx2)=n2Var(x2)  
分析：  
 X X X~ N ( 0 , σ 2 ) N(0,\\sigma^2) N(0,σ2)  
 X ‾ \\overline X X~ N ( 0 , σ 2 n ) N(0,\\frac\{\\sigma^2\}\{n\}) N(0,nσ2)  
将 X ‾ \\overline X X变成标准正态分布  
 X ‾ − 0 ( u ) σ n \\frac\{\\overline X - 0(u)\}\{\\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt\{n\}\}\} nσX−0(u)~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)  
 n X ‾ σ \\frac\{\\sqrt\{n\} \\overline X\}\{\\sigma\} σnX~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)  
∵ σ ^ 2 = n x ‾ 2 \\hat\{\\sigma\}^2=n \\overline\{x\}^2 σ^2=nx2  
∴ σ ^ = n x ‾ \\hat\{\\sigma\}=\\sqrt\{n\} \\overline\{x\} σ^=nx  
 σ ^ σ \\frac\{\\hat\{\\sigma\}\}\{\\sigma\} σσ^~ N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)  
 σ ^ σ \\frac\{\\hat\{\\sigma\}\}\{\\sigma\} σσ^服从正态分布，所以 ( σ ^ σ ) 2 / 1 ( n ) (\\frac\{\\hat\{\\sigma\}\}\{\\sigma\})^2/1(n) (σσ^)2/1(n)服从自由度为1的 χ 2 \\chi ^2 χ2分布  
 χ 2 \\chi ^2 χ2分布的期望是n，方差是2n  
所以 E ( σ ^ 2 σ 2 ) = 1 E(\\frac\{\\hat\{\\sigma\}^2\}\{\\sigma^2\})=1 E(σ2σ^2)=1  
 V a r ( σ ^ 2 σ 2 ) = 2 Var(\\frac\{\\hat\{\\sigma\}^2\}\{\\sigma^2\})=2 Var(σ2σ^2)=2  
 V a r ( σ ^ 2 ) = 2 σ 4 Var(\{\\hat\{\\sigma\}^2\})=2\\sigma^4 Var(σ^2)=2σ4

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## 再求（2） ##

E 2 ( σ ^ 2 − σ 2 ) E^2(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2) E2(σ^2−σ2)  
 = E ( σ ^ 2 − σ 2 ) ∗ E ( σ ^ 2 − σ 2 ) =E(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2) \* E(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2) =E(σ^2−σ2)∗E(σ^2−σ2)  
 = ( 3 ) ∗ ( 3 ) =(3)\*(3) =(3)∗(3)

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## 再求(3) ##

E ( σ ^ 2 − σ 2 ) E(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2) E(σ^2−σ2)  
 = E ( σ ^ 2 ) − σ 2 =E(\\hat\\sigma^2) - \\sigma^2 =E(σ^2)−σ2 常数的期望仍然是常数  
由题意知： E ( σ ^ 2 σ 2 ) E(\\frac\{\\hat\\sigma^2\}\{\\sigma ^2\}) E(σ2σ^2)=1  
 E ( σ ^ 2 ) = σ 2 E(\\hat\\sigma^2)=\\sigma ^2 E(σ^2)=σ2

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E ( σ ^ 2 − σ 2 ) = E ( σ ^ 2 ) − σ 2 E(\\hat\{\\sigma\}^2-\\sigma^2) = E(\\hat \\sigma ^ 2)-\\sigma ^2 E(σ^2−σ2)=E(σ^2)−σ2  
 = σ 2 − σ 2 = 0 =\\sigma^2-\\sigma^2=0 =σ2−σ2=0

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所以(3)=0  
(2)=(3)\*(3)=0  
原式=(1)= 2 σ 4 2\\sigma^4 2σ4

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