线性代数知识点总结

清疚 2023-06-16 04:00 25阅读 0赞

# 线性代数知识点总结 #

本文秉承着“将书读薄”的思想将《线性代数》和《程序员的数学——线性代数》中的知识点进行凝练总结，以便以后时常复习。  
———————————————————————————————————

# 1.矩阵 #

### 1.1 矩阵的几何意义： ###

矩 阵 = 映 射 矩阵 = 映射 矩阵=映射  
**矩阵表示一种映射关系**

1.  m\*n维矩阵表示从n维空间到m维空间的映射
2.  映射相同则矩阵相同
3.  矩阵的乘积 = 映射的合成
4.  矩阵的乘方 = 映射的迭代
5.  矩阵的列向量表示各个坐标轴方向上的单位向量经过映射之后到达的目标点

### 1.2 矩阵的运算关系 ###

加法  
数乘  
矩阵乘法  
线性空间：满足加法和数乘运算的空间

### 1.3 不同形态的矩阵 ###

**1.对角矩阵**：除对角线元素外，其余元素均为零。表示的映射关系为——沿各个坐标轴方向的伸缩。  
**2.单位矩阵**：对角线元素为1，其余元素为零的矩阵。表示的映射关系为——什么都不做。  
**3.逆矩阵**：  A A − 1 = A − 1 A = I AA^\{-1\} = A^\{-1\}A=I AA−1=A−1A=I，则 A A A与 A − 1 A^\{-1\} A−1互为逆矩阵.

1.   ( A − 1 ) − 1 = A , ( A − 1 ) K = ( A K ) − 1 (A^\{-1\})^\{-1\}=A , (A^\{-1\})^\{K\}=(A^\{K\})^\{-1\} (A−1)−1=A,(A−1)K=(AK)−1
2.   ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^\{-1\} = B^\{-1\}A^\{-1\} (AB)−1=B−1A−1说明先 B B B后 A A A的映射要进行还原的话，需要先逆 A A A后逆 B B B。
3.  对角矩阵的逆 = 对角矩阵对角线元素分之1。

**4.分块矩阵**:普通矩阵的一般性质同样适用于分块矩阵；分块矩阵不可以分得不均匀。

**5. x T y 和 x y T x^\{T\}y和xy^\{T\} xTy和xyT**:  x 和 y x和y x和y均表示列向量，则 x T y x^\{T\}y xTy的结果为数字， x y T xy^\{T\} xyT的结果为矩阵。（先横后竖为数字，先竖后横为矩阵）。

**6.伴随矩阵**:  A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ I AA^\{\*\} = A^\{\*\}A=|A|I AA∗=A∗A=∣A∣I  
**7.转置矩阵**:  ( A B ) T = B T A T (AB)^T =B^TA^T (AB)T=BTAT , ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (A^\{-1\})^T=(A^\{T\})^\{-1\} (A−1)T=(AT)−1

### 1.4 矩阵的初等变换 ###

初等行变换：

1.  两行对调
2.  以数 k k k 乘以某一行所有元素
3.  把某一行所有元素乘以数 k k k后加到另一行。  
     初 等 变 换 = 初 等 行 变 换 + 初 等 列 变 换 初等变换 = 初等行变换+初等列变换 初等变换=初等行变换\+初等列变换

初等变换之后，原矩阵与变换后的**矩阵等价**，即 A A A~ B B B

矩阵等价的性质：

1.  反身性： A A A~ A A A
2.  对称性： A A A~  B B B，则 B B B~ A A A
3.  传递性： A A A~  B B B， B B B ~  C C C，则 A A A~  C C C

\-------------------------- **A A A~ B B B的充要条件是：存在n阶可逆矩阵 P P P和n阶可逆矩阵 Q Q Q，使得 P A Q = B PAQ = B PAQ=B**\--------------------------

# 2.行列式 #

### 2.1 行列式的几何意义 ###

矩阵表示的是一种映射关系；行列式表示经过对应矩阵的映射之后，多边形体积扩大率。  
 行 列 式 = 体 积 扩 大 率 行列式 = 体积扩大率 行列式=体积扩大率

### 2.2 行列式的性质 ###

一般性质：

1.   d e t ( I ) = 1 det(I) = 1 det(I)=1
2.   d e t ( A B ) = d e t ( A ) d e t ( B ) det(AB)=det(A)det(B) det(AB)=det(A)det(B)
3.   d e t ( A − 1 ) = 1 d e t ( A ) det(A^\{-1\}) = \\frac\{1\}\{det(A)\} det(A−1)=det(A)1
4.   d e t ( A ) = 0 det(A) = 0 det(A)=0 时， A − 1 A^\{-1\} A−1不存在
5.   d e t ( d i a g ( a 1 , a 2 , . . . a n ) ) = a 1 a 2 . . . a n det(diag(a\_\{1\},a\_\{2\},...a\_\{n\})) = a\_\{1\}a\_\{2\}...a\_\{n\} det(diag(a1,a2,...an))=a1a2...an

特殊性质：

1.  行列式的某一列乘以常数加到另一列，行列式值不变（底面积不变，高不变）  
    ![在这里插入图片描述][20191124151255825.jpg]
2.   d e t ( A T ) = d e t ( A ) det(A^\{T\}) = det(A) det(AT)=det(A)
3.   d e t ( c a 1 , a 2 . . . a n ) = c ∗ d e t ( a 1 , a 2 . . . a n ) det(ca\_\{1\},a\_\{2\}...a\_\{n\}) =c\* det(a\_\{1\},a\_\{2\}...a\_\{n\}) det(ca1,a2...an)=c∗det(a1,a2...an)  
    ![在这里插入图片描述][20191124151752116.jpg]
4.   d e t ( a 1 + a 1 ′ , a 2 . . . a n ) = d e t ( a 1 , a 2 . . . a n ) + d e t ( a 1 ′ , a 2 . . . a n ) det(a\_\{1\}+a'\_\{1\},a\_\{2\}...a\_\{n\}) =det(a\_\{1\},a\_\{2\}...a\_\{n\})+det(a'\_\{1\},a\_\{2\}...a\_\{n\}) det(a1\+a1′,a2...an)=det(a1,a2...an)\+det(a1′,a2...an)

![在这里插入图片描述][20191124151921988.jpg]

### 2.3 行列式的计算方法 ###

# 3.线性方程组 #

### 3.1 顺问题与逆问题 ###

顺问题：从原因 x x x出发去预测结果 y y y的问题。  
逆问题：已知结果 y y y去推测原因 x x x的问题。  
\------------------------------------------------------**线性代数中主要解决的是逆问题**\--------------------------------------------

### 3.2 良性问题 ###

**1.问题定义**：对于 y = A x y=Ax y=Ax问题， A A A可逆。**由于 A A A可逆，则线性方程组有唯一解。**

**2.求解方法**：

1.  消元法（初中生方法）
2.  用分块矩阵表示线性方程组  
     A x = y Ax=y Ax=y     ⟹    \\implies ⟹  ( A ∣ y ) ( x − 1 ) = 0 (A|y)(\\frac\{x\}\{-1\})=0 (A∣y)(−1x)=0     ⟹    \\implies ⟹  ( I ∣ s ) ( x − 1 ) = 0 (I|s)(\\frac\{x\}\{-1\})=0 (I∣s)(−1x)=0  
    **利用初等变换将 A A A变换为单位矩阵，则 y y y对应列 s s s为线性方程组的解**  
    \*注：此过程中可以互换两行来选择主元，结果不变。

### 3.2 恶性问题 ###

**1.恶性问题的分类**

与良性问题不同，恶性问题分为多种情况。

*  **恶性问题1——线索不足**  
     y = A x y=Ax y=Ax， x x x是n维向量，y是m维向量， m < n m<n m<n。该种恶性问题成为**线索不足**，此时A为**矮矩阵**。  
    这种情况下，线性方程组的解有无数种可能，即有无穷解。
 *  **恶性问题2——线索过剩**  
     y = A x y=Ax y=Ax， x x x是n维向量，y是m维向量， m > n m>n m>n。该种恶性问题成为**线索过剩**，此时A为**长矩阵**。
 *  **恶性问题3——奇异矩阵**  
     y = A x y=Ax y=Ax， x x x是n维向量，y是m维向量， m = n m=n m=n，但矩阵 A A A为奇异矩阵。 这种情况下，线性方程组的无解。

**2.问题的恶性程度**

**单射**：对应相同的结果 y y y，引起它的原因 x x x是唯一的。  
**满射**：无论什么样的结果 y y y，都可以找到它相应的原因。  
**双射**：既是单射又是满射

--------------------

**核**：对于矩阵 A A A，满足 A x = 0 Ax=0 Ax=0的 x x x称为 A A A的核，记为 K e r A KerA KerA。  
**像**：对于矩阵 A A A， y = A x y=Ax y=Ax构成的集合称为 A A A的像，记为 I m g A ImgA ImgA。像就是把原空间通过 A A A变换到目标空间中对应的领域。

--------------------

K e r A KerA KerA **仅**包含原点     ⟺    \\iff ⟺ 单射  
 I m g A ImgA ImgA 与目标空间全体一致     ⟺    \\iff ⟺ 满射

**3.维数定理**  
 K e r A + I m g A = n KerA +ImgA = n KerA\+ImgA=n

**4.线索的实际个数——秩**  
 A A A 为  m ∗ n m\*n m∗n 维矩阵，将像 I m g A ImgA ImgA的维度命名为矩阵 A A A的**秩**，记为 r a n k A rankA rankA。

*   r a n k A rankA rankA=n(秩与原空间的维度相同)     ⟺    \\iff ⟺  A A A是单射
 *   r a n k A rankA rankA=m(秩与目标空间的维度相同)     ⟺    \\iff ⟺  A A A是满射

**秩的性质：**

1.   0 ≤ r a n k A ≤ m a x m , n 0\\leq rankA \\leq max\{m,n\} 0≤rankA≤maxm,n
2.   r a n k ( A ) = r a n k ( A T ) rank(A) = rank(A^\{T\}) rank(A)=rank(AT)
3.   A A A ~  B B B     ⟺    \\iff ⟺  r a n k ( A ) rank(A) rank(A) ~  r a n k ( B ) rank(B) rank(B)
4.   P , Q 可 逆 P,Q可逆 P,Q可逆，则 r a n k ( P A Q ) = r a n k ( A ) rank(PAQ)=rank(A) rank(PAQ)=rank(A)
5.   m a x ( r a n k ( A ) , r a n k ( B ) ) ≤ r a n k ( A , B ) ≤ r a n k ( A ) + r a n k ( B ) max(rank(A),rank(B)) \\leq rank(A,B) \\leq rank(A)+rank(B) max(rank(A),rank(B))≤rank(A,B)≤rank(A)\+rank(B)

**秩的求解方法**

### 3.3 恶性问题与良性问题的判定 ###

对于方阵 A A A，判定线性方程组 y = A x y =Ax y=Ax的条件是：**方阵A是否可逆**。

**可逆性的等价条件：**

1.  对于任意n维向量 y y y，使得 y = A x y =Ax y=Ax成立的 x x x都只有一个
2.   A A A是可逆矩阵
3.   A A A对应的映射为非“压缩扁平化”映射。
4.   A A A对应的映射为单射
5.  使得 A x = 0 Ax=0 Ax=0成立的仅有 x = 0 x=0 x=0一个值，即 A x = 0 Ax=0 Ax=0只有零解。
6.   A A A的列向量线性无关
7.  在 A A A的映射作用下，目标空间可以全部被覆盖，即 A A A对应的映射为满射。
8.   r a n k A = d i m r a n k A = n rankA = dim rankA=n rankA=dimrankA=n
9.   d e t A ≠ 0 detA \\neq 0 detA=0  
    10. A A A不含0的特征值

### 3.4 恶性问题的对策 ###

### 3.5线性方程组解的结构 ###

*   A x = 0 Ax=0 Ax=0有非零解     ⟺    \\iff ⟺  r a n k ( A ) < n rank(A)<n rank(A)<n
 *   A x = y Ax=y Ax=y有解     ⟺    \\iff ⟺  r a n k ( A ) = r a n k ( A ∣ y ) ≤ n rank(A)=rank(A|y) \\leq n rank(A)=rank(A∣y)≤n  
     r a n k ( A ) = r a n k ( A ∣ y ) = n rank(A)=rank(A|y) = n rank(A)=rank(A∣y)=n时有唯一解  
     r a n k ( A ) = r a n k ( A ∣ y ) < n rank(A)=rank(A|y) < n rank(A)=rank(A∣y)<n时有无穷解

对于 A x = 0 Ax=0 Ax=0：

1.  若 x 1 = ξ 1 x\_\{1\}=\\xi\_\{1\} x1=ξ1， x 2 = ξ 2 x\_\{2\}=\\xi\_\{2\} x2=ξ2是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解，则 x = ξ 1 + ξ 2 x=\\xi\_\{1\}+\\xi\_\{2\} x=ξ1\+ξ2也是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解。
2.  若 x 1 = ξ 1 x\_\{1\}=\\xi\_\{1\} x1=ξ1是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解，则 x = k ξ 1 x=k\\xi\_\{1\} x=kξ1也是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解。
3.   r a n k ( A ) = r rank(A)= r rank(A)=r，则 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解集 s s s的秩为 r a n k ( s ) = n − r rank(s)=n-r rank(s)=n−r

对于 A x = y Ax=y Ax=y：

1.  若 x 1 = ξ 1 x\_\{1\}=\\xi\_\{1\} x1=ξ1， x 2 = ξ 2 x\_\{2\}=\\xi\_\{2\} x2=ξ2是 A x = y Ax=y Ax=y的解，则 x = ξ 1 − ξ 2 x=\\xi\_\{1\}-\\xi\_\{2\} x=ξ1−ξ2也是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解。
2.  若 x 1 = ξ 1 x\_\{1\}=\\xi\_\{1\} x1=ξ1是 A x = y Ax=y Ax=y的解， x 2 = ξ 2 x\_\{2\}=\\xi\_\{2\} x2=ξ2是 A x = 0 Ax=0 Ax=0的解，则 A x = y Ax=y Ax=y的解包括 x = ξ 1 + ξ 2 x=\\xi\_\{1\}+\\xi\_\{2\} x=ξ1\+ξ2

\----------------- **A x = y Ax=y Ax=y的通解： A x = 0 Ax=0 Ax=0的通解+ A x = y Ax=y Ax=y的特解**\--------------------------

# 4.LU分解 #

**给定矩阵A，将 A A A分解为下三角矩阵 L L L(对角新元素为1)乘以上三角矩阵 U U U 的形式，称为 L U 分 解 LU分解 LU分解**

### 4.1 LU分解的应用 ###

1.  利用LU分解求解行列式  
     A = L U A=LU A=LU     ⟹    \\implies ⟹  d e t ( A ) = d e t ( L U ) = d e t ( L ) ∗ d e t ( U ) = d e t ( U ) = U 对 角 线 元 素 乘 积 det(A)=det(LU)=det(L)\*det(U)=det(U)=U对角线元素乘积 det(A)=det(LU)=det(L)∗det(U)=det(U)=U对角线元素乘积
2.  利用LU分解求解线性方程组  
    对于线性方程组中的良性问题，通过LU分解，则有：  
     A x = L U x = L ( U x ) = L z = y Ax=LUx=L(Ux)=Lz=y Ax=LUx=L(Ux)=Lz=y
3.  利用LU分解求解矩阵的逆  
    本质上是求解线性方程组但是只分解一次。

# 4.稳定性 #

**考虑问题**：对于 x ( t ) = A x ( t − 1 ) x(t) = Ax(t-1) x(t)=Ax(t−1)，是否对于任何初始化 x ( 0 ) x(0) x(0)， x ( t ) x(t) x(t)的各个分量都不超过一定的范围（不失控）。

### 4.1 问题的起源 ###

--------------------

令 x ( t ) = P y ( t ) x(t)=Py(t) x(t)=Py(t)，则：

x ( t ) = A x ( t − 1 ) x(t) = Ax(t-1) x(t)=Ax(t−1)     ⟹    \\implies ⟹  y ( t ) = P − 1 x ( t ) = P − 1 A x ( t − 1 ) = P − 1 A P y ( t − 1 ) y(t)=P^\{-1\}x(t)=P^\{-1\}Ax(t-1)=P^\{-1\}APy(t-1) y(t)=P−1x(t)=P−1Ax(t−1)=P−1APy(t−1)

即  y ( t ) = P − 1 A P y ( t − 1 ) y(t)=P^\{-1\}APy(t-1) y(t)=P−1APy(t−1)

**若  Λ = P − 1 A P \\Lambda = P^\{-1\}AP Λ=P−1AP 是对角阵，则可以判定系统是否会失控**。

\---------------**引出问题：如何选取合适的可逆矩阵 P P P，使 P − 1 A P P^\{-1\}AP P−1AP是对角阵**\-----------------

令 P = ( p 1 , p 2 . . . p n ) P=(p\_\{1\},p\_\{2\}...p\_\{n\}) P=(p1,p2...pn)， Λ = d i a g ( λ 1 , λ 2 . . . λ n ) \\Lambda = diag(\{\\lambda\_\{1\},\\lambda\_\{2\}...\\lambda\_\{n\}\}) Λ=diag(λ1,λ2...λn)；则有

P − 1 A P = Λ P^\{-1\}AP = \\Lambda P−1AP=Λ     ⟹    \\implies ⟹  A P = P Λ AP = P\\Lambda AP=PΛ     ⟹    \\implies ⟹ A(p\_\{1\},p\_\{2\}…p\_\{n\})= ( p 1 , p 2 . . . p n ) d i a g ( λ 1 , λ 2 . . . λ n ) (p\_\{1\},p\_\{2\}...p\_\{n\})diag(\\lambda\_\{1\},\\lambda\_\{2\}...\\lambda\_\{n\}) (p1,p2...pn)diag(λ1,λ2...λn)

即：

A p i = λ i p i , 其 中 i ∈ ( 1 , n ) Ap\_\{i\}=\\lambda\_\{i\}p\_\{i\} ,其中 i \\in (1,n) Api=λipi,其中i∈(1,n)

\----------------问题转化为：求解向量 p i p\_\{i\} pi和 λ i \\lambda\_\{i\} λi,使其满足 A p i = λ i p i Ap\_\{i\}=\\lambda\_\{i\}p\_\{i\} Api=λipi，即求解特征值和特征向量--------------------

**在可以对角化的前提下：**

1.  若 ∣ λ 1 ∣ , ∣ λ 2 ∣ . . . ∣ λ n ∣ |\\lambda\_\{1\}|,|\\lambda\_\{2\}|...|\\lambda\_\{n\}| ∣λ1∣,∣λ2∣...∣λn∣之中若有一个大于1，则系统不稳定，有失控的风险
2.  若 ∣ λ 1 ∣ ∣ λ 2 ∣ . . . ∣ λ n ∣ ≤ 1 |\\lambda\_\{1\}||\\lambda\_\{2\}|...|\\lambda\_\{n\}| \\leq 1 ∣λ1∣∣λ2∣...∣λn∣≤1，则没有失控的风险

### 4.2 特征值和特征向量 ###

A p = λ p Ap=\\lambda p Ap=λp  
其中  λ \\lambda λ为特征值， p p p为特征向量。

**1.特征值的几何意义**  
 p p p经过矩阵A的映射之后，长度会有伸缩变化，但是方向不会变。长度变换率即为特征值。

**2.特征值性质**

1.  上下三角矩阵的特征值为对角线元素
2.   A A A 与  P − 1 A P P^\{-1\}AP P−1AP **相似**，相似矩阵具有相同的特征值。 P − 1 p P^\{-1\}p P−1p是矩阵 P − 1 A P P^\{-1\}AP P−1AP的特征向量。
3.  行列式的值 = 特征值的乘积
4.  对角线元素之和 = 特征值之和
5.   d e t ( P − 1 A P ) = d e t ( P − 1 ) d e t ( A ) d e t ( P ) = d e t ( A ) det(P^\{-1\}AP)=det(P^\{-1\})det(A)det(P)=det(A) det(P−1AP)=det(P−1)det(A)det(P)=det(A)
6.  不相等的特征值对应的特征向量线性无关

**3.特征值的计算**

A p = λ p    ⟹    ( λ I − A ) p = 0 Ap=\\lambda p \\implies (\\lambda I-A)p=0 Ap=λp⟹(λI−A)p=0

计算特征值的过程即为求解特征方程的过程

**结论：n阶方程 A A A的特征方程，在包含重根的情况下恰好有n个**

**4.特征向量的计算**

1.  有重根的情况
2.  无重根的情况

### 4.3 对称矩阵的对角化 ###

1.   λ 1 \\lambda\_\{1\} λ1和 λ 2 \\lambda\_\{2\} λ2是对称矩阵 A A A的特征值，若 λ 1 ≠ λ 2 \\lambda\_\{1\} \\neq \\lambda\_\{2\} λ1=λ2，则 λ 1 \\lambda\_\{1\} λ1和 λ 2 \\lambda\_\{2\} λ2对应的特征向量正交。
2.   A A A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P P P，使 P T A P = P − 1 A P = Λ P^TAP=P^\{-1\}AP=\\Lambda PTAP=P−1AP=Λ，其中 Λ \\Lambda Λ是以 A A A的特征值为对角线元素的对角阵
3.   A A A为n阶对称矩阵， λ \\lambda λ是特征方程的 k k k重根，则 R ( A − λ I ) = n − k R(A-\\lambda I)=n-k R(A−λI)=n−k， λ \\lambda λ 的 k 个特征向量线性无关。

### 4.4 不可对角化的情况 ###

当矩阵 A A A不可进行对角化时，系统稳定与否的判定条件：

# 5.二次型及其标准型 #

### 5.1定义： ###

**二次型**  
 y = x T A x y = x^\{T\}Ax y=xTAx  
其中 A A A为对称阵

\*注：给定一个二次型能唯一确定一个对称矩阵，反之成立

**合同：** A ， B A，B A，B为 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 C C C，使 B = C T A C B =C^\{T\}AC B=CTAC，则称 A 和 B A和B A和B合同。  
\*\*合同的性质：

1.  \*\* R ( A ) = R ( B ) R(A)=R(B) R(A)=R(B)
2.  A对称，则B对称

**结论**：任意给定二次型 f = ∑ i , j = 1 n a i j x i x i f = \\sum^\{n\}\_\{i,j=1\}a\_\{ij\}x\_\{i\}x\_\{i\} f=∑i,j=1naijxixi，总有正交变换 x = P y x=Py x=Py，使 f f f化为标准型 f = λ 1 y 1 2 + λ 2 y 2 2 . . . λ n y n 2 f=\\lambda\_1 y^\{2\}\_\{1\}+\\lambda\_2 y^\{2\}\_\{2\}...\\lambda\_n y^\{2\}\_\{n\} f=λ1y12\+λ2y22...λnyn2。其中 λ \\lambda λ是 A A A的特征值。

### 5.2二次型的正定与负定 ###

二次型正定的充要条件：

1.  标准型的n个系数全为正
2.   A A A的特征值全为正
3.   A A A的各阶主子式均为正

二次型负定的充要条件：奇数阶主子式为正，偶数阶主子式为负

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