吴恩达机器学习:week3

向右看齐 2023-06-15 06:40 32阅读 0赞

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title: ‘吴恩达机器学习:week3’  
date: 2019-11-20 15:37:28  
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 *  机器学习

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## 线性代数回顾(Linear Algebra Review) ##

### 3.1 矩阵和向量 ###

参考视频: 3 - 1 - Matrices and Vectors (9 min).mkv

如图：这个是4×2矩阵，即4行2列，如 m m m为行， n n n为列，那么 m × n m×n m×n即4×2

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矩阵的维数即行数×列数

矩阵元素（矩阵项）： A = \[ 1402 191 1371 821 949 1437 147 1448 \] A=\\left\[ \\begin\{matrix\} 1402 & 191 \\\\ 1371 & 821 \\\\ 949 & 1437 \\\\ 147 & 1448 \\\\\\end\{matrix\} \\right\] A=⎣⎢⎢⎡1402137194914719182114371448⎦⎥⎥⎤

A i j A\_\{ij\} Aij指第 i i i行，第 j j j列的元素。

向量是一种特殊的矩阵，讲义中的向量一般都是列向量，如：  
 y = \[ 460 232 315 178 \] y=\\left\[ \\begin\{matrix\} \{460\} \\\\ \{232\} \\\\ \{315\} \\\\ \{178\} \\\\\\end\{matrix\} \\right\] y=⎣⎢⎢⎡460232315178⎦⎥⎥⎤

为四维列向量（4×1）。

如下图为1索引向量和0索引向量，左图为1索引向量，右图为0索引向量，一般我们用1索引向量。

y = \[ y 1 y 2 y 3 y 4 \] y=\\left\[ \\begin\{matrix\} \{ \{y\}\_\{1\}\} \\\\ \{ \{y\}\_\{2\}\} \\\\ \{ \{y\}\_\{3\}\} \\\\ \{ \{y\}\_\{4\}\} \\\\\\end\{matrix\} \\right\] y=⎣⎢⎢⎡y1y2y3y4⎦⎥⎥⎤， y = \[ y 0 y 1 y 2 y 3 \] y=\\left\[ \\begin\{matrix\} \{ \{y\}\_\{0\}\} \\\\ \{ \{y\}\_\{1\}\} \\\\ \{ \{y\}\_\{2\}\} \\\\ \{ \{y\}\_\{3\}\} \\\\\\end\{matrix\} \\right\] y=⎣⎢⎢⎡y0y1y2y3⎦⎥⎥⎤

### 3.2 加法和标量乘法 ###

参考视频: 3 - 2 - Addition and Scalar Multiplication (7 min).mkv

矩阵的加法：行列数相等的可以加。

例：

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矩阵的乘法：每个元素都要乘

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组合算法也类似。

### 3.3 矩阵向量乘法 ###

参考视频: 3 - 3 - Matrix Vector Multiplication (14 min).mkv

矩阵和向量的乘法如图： m × n m×n m×n的矩阵乘以 n × 1 n×1 n×1的向量，得到的是 m × 1 m×1 m×1的向量

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算法举例：

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### 3.4 矩阵乘法 ###

参考视频: 3 - 4 - Matrix Matrix Multiplication (11 min).mkv

矩阵乘法：

m × n m×n m×n矩阵乘以 n × o n×o n×o矩阵，变成 m × o m×o m×o矩阵。

如果这样说不好理解的话就举一个例子来说明一下，比如说现在有两个矩阵 A A A和 B B B，那么它们的乘积就可以表示为图中所示的形式。

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### 3.5 矩阵乘法的性质 ###

参考视频: 3 - 5 - Matrix Multiplication Properties (9 min).mkv

矩阵乘法的性质：

矩阵的乘法不满足交换律： A × B ≠ B × A A×B≠B×A A×B=B×A

矩阵的乘法满足结合律。即： A × ( B × C ) = ( A × B ) × C A×(B×C)=(A×B)×C A×(B×C)=(A×B)×C

单位矩阵：在矩阵的乘法中，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1,我们称这种矩阵为单位矩阵．它是个方阵，一般用  I I I 或者  E E E 表示，本讲义都用  I I I 代表单位矩阵，从左上角到右下角的对角线（称为主对角线）上的元素均为1以外全都为0。如：

A A − 1 = A − 1 A = I A\{ \{A\}^\{-1\}\}=\{ \{A\}^\{-1\}\}A=I AA−1=A−1A=I

对于单位矩阵，有 A I = I A = A AI=IA=A AI=IA=A

### 3.6 逆、转置 ###

参考视频: 3 - 6 - Inverse and Transpose (11 min).mkv

矩阵的逆：如矩阵 A A A是一个 m × m m×m m×m矩阵（方阵），如果有逆矩阵，则： A A − 1 = A − 1 A = I A\{ \{A\}^\{-1\}\}=\{ \{A\}^\{-1\}\}A=I AA−1=A−1A=I

我们一般在**OCTAVE**或者**MATLAB**中进行计算矩阵的逆矩阵。

矩阵的转置：设 A A A为 m × n m×n m×n阶矩阵（即 m m m行 n n n列），第$i  行 行 行j  列 的 元 素 是 列的元素是 列的元素是a(i,j) ， 即 ： ，即： ，即：A=a(i,j)$

定义 A A A的转置为这样一个 n × m n×m n×m阶矩阵 B B B，满足 B = a ( j , i ) B=a(j,i) B=a(j,i)，即  b ( i , j ) = a ( j , i ) b (i,j)=a(j,i) b(i,j)=a(j,i)（ B B B的第 i i i行第 j j j列元素是 A A A的第 j j j行第 i i i列元素），记 A T = B \{ \{A\}^\{T\}\}=B AT=B。(有些书记为A’=B）

直观来看，将 A A A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到 A A A的转置。

例：

∣ a b c d e f ∣ T = ∣ a c e b d f ∣ \{ \{\\left| \\begin\{matrix\} a& b \\\\ c& d \\\\ e& f \\\\\\end\{matrix\} \\right|\}^\{T\}\}=\\left|\\begin\{matrix\} a& c & e \\\\ b& d & f \\\\\\end\{matrix\} \\right| ∣∣∣∣∣∣acebdf∣∣∣∣∣∣T=∣∣∣∣abcdef∣∣∣∣

矩阵的转置基本性质:

$ \{ \{\\left( A\\pm B \\right)\}\{T\}\}=\{ \{A\}\{T\}\}\\pm \{ \{B\}^\{T\}\} $  
 ( A × B ) T = B T × A T \{ \{\\left( A\\times B \\right)\}^\{T\}\}=\{ \{B\}^\{T\}\}\\times \{ \{A\}^\{T\}\} (A×B)T=BT×AT  
$\{ \{\\left( \{ \{A\}^\{T\}\} \\right)\}^\{T\}\}=A $  
$\{ \{\\left( KA \\right)\}\{T\}\}=K\{ \{A\}\{T\}\} $

**matlab**中矩阵转置：直接打一撇，`x=y'`

## 机器学习的数学基础 ##

### 文章目录 ###

*   *  线性代数回顾(Linear Algebra Review)
     *   *  3.1 矩阵和向量
         *  3.2 加法和标量乘法
         *  3.3 矩阵向量乘法
         *  3.4 矩阵乘法
         *  3.5 矩阵乘法的性质
         *  3.6 逆、转置
     *  机器学习的数学基础
     *   *  高等数学
         *  线性代数
         *   *  行列式
             *  矩阵
             *  向量
             *  线性方程组
             *  矩阵的特征值和特征向量
             *  二次型
         *  概率论和数理统计
         *   *  随机事件和概率
             *  随机变量及其概率分布
             *  多维随机变量及其分布
             *  随机变量的数字特征
             *  数理统计的基本概念

### 高等数学 ###

**1.导数定义：**

导数和微分的概念

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0   f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x f'(\{ \{x\}\_\{0\}\})=\\underset\{\\Delta x\\to 0\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f(\{ \{x\}\_\{0\}\}+\\Delta x)-f(\{ \{x\}\_\{0\}\})\}\{\\Delta x\} f′(x0)=Δx→0limΔxf(x0\+Δx)−f(x0) （1）

或者：

f ′ ( x 0 ) = lim ⁡ x → x 0   f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 f'(\{ \{x\}\_\{0\}\})=\\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f(x)-f(\{ \{x\}\_\{0\}\})\}\{x-\{ \{x\}\_\{0\}\}\} f′(x0)=x→x0limx−x0f(x)−f(x0) （2）

**2.左右导数导数的几何意义和物理意义**

函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x\_0 x0处的左、右导数分别定义为：

左导数： f ′ − ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 −   f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ x → x 0 −   f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 , ( x = x 0 + Δ x ) \{ \{ \{f\}'\}\_\{-\}\}(\{ \{x\}\_\{0\}\})=\\underset\{\\Delta x\\to \{ \{0\}^\{-\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f(\{ \{x\}\_\{0\}\}+\\Delta x)-f(\{ \{x\}\_\{0\}\})\}\{\\Delta x\}=\\underset\{x\\to x\_\{0\}^\{-\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f(x)-f(\{ \{x\}\_\{0\}\})\}\{x-\{ \{x\}\_\{0\}\}\},(x=\{ \{x\}\_\{0\}\}+\\Delta x) f′−(x0)=Δx→0−limΔxf(x0\+Δx)−f(x0)=x→x0−limx−x0f(x)−f(x0),(x=x0\+Δx)

右导数： f ′ + ( x 0 ) = lim ⁡ Δ x → 0 +   f ( x 0 + Δ x ) − f ( x 0 ) Δ x = lim ⁡ x → x 0 +   f ( x ) − f ( x 0 ) x − x 0 \{ \{ \{f\}'\}\_\{+\}\}(\{ \{x\}\_\{0\}\})=\\underset\{\\Delta x\\to \{ \{0\}^\{+\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f(\{ \{x\}\_\{0\}\}+\\Delta x)-f(\{ \{x\}\_\{0\}\})\}\{\\Delta x\}=\\underset\{x\\to x\_\{0\}^\{+\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f(x)-f(\{ \{x\}\_\{0\}\})\}\{x-\{ \{x\}\_\{0\}\}\} f′\+(x0)=Δx→0\+limΔxf(x0\+Δx)−f(x0)=x→x0\+limx−x0f(x)−f(x0)

**3.函数的可导性与连续性之间的关系**

**Th1:** 函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 x\_0 x0处可微 ⇔ f ( x ) \\Leftrightarrow f(x) ⇔f(x)在 x 0 x\_0 x0处可导

**Th2:** 若函数在点 x 0 x\_0 x0处可导，则 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x 0 x\_0 x0处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

**Th3:**  f ′ ( x 0 ) \{f\}'(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f′(x0)存在 ⇔ f ′ − ( x 0 ) = f ′ + ( x 0 ) \\Leftrightarrow \{ \{ \{f\}'\}\_\{-\}\}(\{ \{x\}\_\{0\}\})=\{ \{ \{f\}'\}\_\{+\}\}(\{ \{x\}\_\{0\}\}) ⇔f′−(x0)=f′\+(x0)

**4.平面曲线的切线和法线**

切线方程 :  y − y 0 = f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) y-\{ \{y\}\_\{0\}\}=f'(\{ \{x\}\_\{0\}\})(x-\{ \{x\}\_\{0\}\}) y−y0=f′(x0)(x−x0)  
法线方程： y − y 0 = − 1 f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) , f ′ ( x 0 ) ≠ 0 y-\{ \{y\}\_\{0\}\}=-\\frac\{1\}\{f'(\{ \{x\}\_\{0\}\})\}(x-\{ \{x\}\_\{0\}\}),f'(\{ \{x\}\_\{0\}\})\\ne 0 y−y0=−f′(x0)1(x−x0),f′(x0)=0

**5.四则运算法则**  
设函数 u = u ( x ) ， v = v ( x ) u=u(x)，v=v(x) u=u(x)，v=v(x)\]在点 x x x可导则  
(1)  ( u ± v ) ′ = u ′ ± v ′ (u\\pm v\{)\}'=\{u\}'\\pm \{v\}' (u±v)′=u′±v′  d ( u ± v ) = d u ± d v d(u\\pm v)=du\\pm dv d(u±v)=du±dv  
(2) ( u v ) ′ = u v ′ + v u ′ (uv\{)\}'=u\{v\}'+v\{u\}' (uv)′=uv′\+vu′  d ( u v ) = u d v + v d u d(uv)=udv+vdu d(uv)=udv\+vdu  
(3)  ( u v ) ′ = v u ′ − u v ′ v 2 ( v ≠ 0 ) (\\frac\{u\}\{v\}\{)\}'=\\frac\{v\{u\}'-u\{v\}'\}\{ \{ \{v\}^\{2\}\}\}(v\\ne 0) (vu)′=v2vu′−uv′(v=0)  d ( u v ) = v d u − u d v v 2 d(\\frac\{u\}\{v\})=\\frac\{vdu-udv\}\{ \{ \{v\}^\{2\}\}\} d(vu)=v2vdu−udv

**6.基本导数与微分表**  
(1)  y = c y=c y=c（常数）  y ′ = 0 \{y\}'=0 y′=0  d y = 0 dy=0 dy=0  
(2)  y = x α y=\{ \{x\}^\{\\alpha \}\} y=xα($\\alpha $为实数)  y ′ = α x α − 1 \{y\}'=\\alpha \{ \{x\}^\{\\alpha -1\}\} y′=αxα−1  d y = α x α − 1 d x dy=\\alpha \{ \{x\}^\{\\alpha -1\}\}dx dy=αxα−1dx  
(3)  y = a x y=\{ \{a\}^\{x\}\} y=ax  y ′ = a x ln ⁡ a \{y\}'=\{ \{a\}^\{x\}\}\\ln a y′=axlna  d y = a x ln ⁡ a d x dy=\{ \{a\}^\{x\}\}\\ln adx dy=axlnadx  
特例:  ( e x ) ′ = e x (\{ \{ \{e\}\}^\{x\}\}\{)\}'=\{ \{ \{e\}\}^\{x\}\} (ex)′=ex  d ( e x ) = e x d x d(\{ \{ \{e\}\}^\{x\}\})=\{ \{ \{e\}\}^\{x\}\}dx d(ex)=exdx

(4)  y = log ⁡ a x y=\{ \{\\log \}\_\{a\}\}x y=logax  y ′ = 1 x ln ⁡ a \{y\}'=\\frac\{1\}\{x\\ln a\} y′=xlna1

d y = 1 x ln ⁡ a d x dy=\\frac\{1\}\{x\\ln a\}dx dy=xlna1dx  
特例: y = ln ⁡ x y=\\ln x y=lnx  ( ln ⁡ x ) ′ = 1 x (\\ln x\{)\}'=\\frac\{1\}\{x\} (lnx)′=x1  d ( ln ⁡ x ) = 1 x d x d(\\ln x)=\\frac\{1\}\{x\}dx d(lnx)=x1dx

(5)  y = sin ⁡ x y=\\sin x y=sinx

y ′ = cos ⁡ x \{y\}'=\\cos x y′=cosx  d ( sin ⁡ x ) = cos ⁡ x d x d(\\sin x)=\\cos xdx d(sinx)=cosxdx

(6)  y = cos ⁡ x y=\\cos x y=cosx

y ′ = − sin ⁡ x \{y\}'=-\\sin x y′=−sinx  d ( cos ⁡ x ) = − sin ⁡ x d x d(\\cos x)=-\\sin xdx d(cosx)=−sinxdx

(7)  y = tan ⁡ x y=\\tan x y=tanx

y ′ = 1 cos ⁡ 2 x = sec ⁡ 2 x \{y\}'=\\frac\{1\}\{ \{ \{\\cos \}^\{2\}\}x\}=\{ \{\\sec \}^\{2\}\}x y′=cos2x1=sec2x  d ( tan ⁡ x ) = sec ⁡ 2 x d x d(\\tan x)=\{ \{\\sec \}^\{2\}\}xdx d(tanx)=sec2xdx  
(8)  y = cot ⁡ x y=\\cot x y=cotx  y ′ = − 1 sin ⁡ 2 x = − csc ⁡ 2 x \{y\}'=-\\frac\{1\}\{ \{ \{\\sin \}^\{2\}\}x\}=-\{ \{\\csc \}^\{2\}\}x y′=−sin2x1=−csc2x  d ( cot ⁡ x ) = − csc ⁡ 2 x d x d(\\cot x)=-\{ \{\\csc \}^\{2\}\}xdx d(cotx)=−csc2xdx  
(9)  y = sec ⁡ x y=\\sec x y=secx  y ′ = sec ⁡ x tan ⁡ x \{y\}'=\\sec x\\tan x y′=secxtanx

d ( sec ⁡ x ) = sec ⁡ x tan ⁡ x d x d(\\sec x)=\\sec x\\tan xdx d(secx)=secxtanxdx  
(10)  y = csc ⁡ x y=\\csc x y=cscx  y ′ = − csc ⁡ x cot ⁡ x \{y\}'=-\\csc x\\cot x y′=−cscxcotx

d ( csc ⁡ x ) = − csc ⁡ x cot ⁡ x d x d(\\csc x)=-\\csc x\\cot xdx d(cscx)=−cscxcotxdx  
(11)  y = arcsin ⁡ x y=\\arcsin x y=arcsinx

y ′ = 1 1 − x 2 \{y\}'=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-\{ \{x\}^\{2\}\}\}\} y′=1−x21

d ( arcsin ⁡ x ) = 1 1 − x 2 d x d(\\arcsin x)=\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-\{ \{x\}^\{2\}\}\}\}dx d(arcsinx)=1−x21dx  
(12)  y = arccos ⁡ x y=\\arccos x y=arccosx

y ′ = − 1 1 − x 2 \{y\}'=-\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-\{ \{x\}^\{2\}\}\}\} y′=−1−x21  d ( arccos ⁡ x ) = − 1 1 − x 2 d x d(\\arccos x)=-\\frac\{1\}\{\\sqrt\{1-\{ \{x\}^\{2\}\}\}\}dx d(arccosx)=−1−x21dx

(13)  y = arctan ⁡ x y=\\arctan x y=arctanx

y ′ = 1 1 + x 2 \{y\}'=\\frac\{1\}\{1+\{ \{x\}^\{2\}\}\} y′=1\+x21  d ( arctan ⁡ x ) = 1 1 + x 2 d x d(\\arctan x)=\\frac\{1\}\{1+\{ \{x\}^\{2\}\}\}dx d(arctanx)=1\+x21dx

(14)  y = arc ⁡ cot ⁡ x y=\\operatorname\{arc\}\\cot x y=arccotx

y ′ = − 1 1 + x 2 \{y\}'=-\\frac\{1\}\{1+\{ \{x\}^\{2\}\}\} y′=−1\+x21

d ( arc ⁡ cot ⁡ x ) = − 1 1 + x 2 d x d(\\operatorname\{arc\}\\cot x)=-\\frac\{1\}\{1+\{ \{x\}^\{2\}\}\}dx d(arccotx)=−1\+x21dx  
(15)  y = s h x y=shx y=shx

y ′ = c h x \{y\}'=chx y′=chx  d ( s h x ) = c h x d x d(shx)=chxdx d(shx)=chxdx

(16)  y = c h x y=chx y=chx

y ′ = s h x \{y\}'=shx y′=shx  d ( c h x ) = s h x d x d(chx)=shxdx d(chx)=shxdx

**7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法**

(1) 反函数的运算法则: 设 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 x x x的某邻域内单调连续，在点 x x x处可导且 f ′ ( x ) ≠ 0 \{f\}'(x)\\ne 0 f′(x)=0，则其反函数在点 x x x所对应的 y y y处可导，并且有 d y d x = 1 d x d y \\frac\{dy\}\{dx\}=\\frac\{1\}\{\\frac\{dx\}\{dy\}\} dxdy=dydx1  
(2) 复合函数的运算法则:若 μ = φ ( x ) \\mu =\\varphi (x) μ=φ(x)在点 x x x可导,而 y = f ( μ ) y=f(\\mu ) y=f(μ)在对应点$\\mu  ( ( (\\mu =\\varphi (x) ) 可 导 , 则 复 合 函 数 )可导,则复合函数 )可导,则复合函数y=f(\\varphi (x)) 在 点 在点 在点x 可 导 , 且 可导,且 可导,且\{y\}’=\{f\}’(\\mu )\\cdot \{\\varphi \}’(x)$  
(3) 隐函数导数 d y d x \\frac\{dy\}\{dx\} dxdy的求法一般有三种方法：  
1)方程两边对 x x x求导，要记住 y y y是 x x x的函数，则 y y y的函数是 x x x的复合函数.例如 1 y \\frac\{1\}\{y\} y1， y 2 \{ \{y\}^\{2\}\} y2， l n y ln y lny， e y \{ \{ \{e\}\}^\{y\}\} ey等均是 x x x的复合函数.  
对 x x x求导应按复合函数连锁法则做.  
2)公式法.由 F ( x , y ) = 0 F(x,y)=0 F(x,y)=0知  d y d x = − F ′ x ( x , y ) F ′ y ( x , y ) \\frac\{dy\}\{dx\}=-\\frac\{ \{ \{ \{ \{F\}'\}\}\_\{x\}\}(x,y)\}\{ \{ \{ \{ \{F\}'\}\}\_\{y\}\}(x,y)\} dxdy=−F′y(x,y)F′x(x,y),其中， F ′ x ( x , y ) \{ \{ \{F\}'\}\_\{x\}\}(x,y) F′x(x,y)，  
 F ′ y ( x , y ) \{ \{ \{F\}'\}\_\{y\}\}(x,y) F′y(x,y)分别表示 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y)对 x x x和 y y y的偏导数  
3)利用微分形式不变性

**8.常用高阶导数公式**

（1） ( a x )   ( n ) = a x ln ⁡ n a ( a > 0 ) ( e x )   ( n ) = e   x (\{ \{a\}^\{x\}\})\{ \{\\,\}^\{(n)\}\}=\{ \{a\}^\{x\}\}\{ \{\\ln \}^\{n\}\}a\\quad (a>\{0\})\\quad \\quad (\{ \{ \{e\}\}^\{x\}\})\{ \{\\,\}^\{(n)\}\}=\{e\}\{ \{\\,\}^\{x\}\} (ax)(n)=axlnna(a>0)(ex)(n)=ex  
（2） ( sin ⁡ k x )   ( n ) = k n sin ⁡ ( k x + n ⋅ π 2 ) (\\sin kx\{)\}\{ \{\\,\}^\{(n)\}\}=\{ \{k\}^\{n\}\}\\sin (kx+n\\cdot \\frac\{\\pi \}\{ \{2\}\}) (sinkx)(n)=knsin(kx\+n⋅2π)  
（3） ( cos ⁡ k x )   ( n ) = k n cos ⁡ ( k x + n ⋅ π 2 ) (\\cos kx\{)\}\{ \{\\,\}^\{(n)\}\}=\{ \{k\}^\{n\}\}\\cos (kx+n\\cdot \\frac\{\\pi \}\{ \{2\}\}) (coskx)(n)=kncos(kx\+n⋅2π)  
（4） ( x m )   ( n ) = m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) x m − n (\{ \{x\}^\{m\}\})\{ \{\\,\}^\{(n)\}\}=m(m-1)\\cdots (m-n+1)\{ \{x\}^\{m-n\}\} (xm)(n)=m(m−1)⋯(m−n\+1)xm−n  
（5） ( ln ⁡ x )   ( n ) = ( − 1 ) ( n − 1 ) ( n − 1 ) ! x n (\\ln x)\{ \{\\,\}^\{(n)\}\}=\{ \{(-\{1\})\}^\{(n-\{1\})\}\}\\frac\{(n-\{1\})!\}\{ \{ \{x\}^\{n\}\}\} (lnx)(n)=(−1)(n−1)xn(n−1)!  
（6）莱布尼兹公式：若 u ( x )   , v ( x ) u(x)\\,,v(x) u(x),v(x)均 n n n阶可导，则  
 ( u v ) ( n ) = ∑ i = 0 n c n i u ( i ) v ( n − i ) \{ \{(uv)\}^\{(n)\}\}=\\sum\\limits\_\{i=\{0\}\}^\{n\}\{c\_\{n\}^\{i\}\{ \{u\}^\{(i)\}\}\{ \{v\}^\{(n-i)\}\}\} (uv)(n)=i=0∑ncniu(i)v(n−i)，其中 u ( 0 ) = u \{ \{u\}^\{(\{0\})\}\}=u u(0)=u， v ( 0 ) = v \{ \{v\}^\{(\{0\})\}\}=v v(0)=v

**9.微分中值定理，泰勒公式**

**Th1:**(费马定理)

若函数 f ( x ) f(x) f(x)满足条件：  
(1)函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有  
 f ( x ) ≤ f ( x 0 ) f(x)\\le f(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f(x)≤f(x0)或 f ( x ) ≥ f ( x 0 ) f(x)\\ge f(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f(x)≥f(x0),

(2)  f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处可导,则有  f ′ ( x 0 ) = 0 \{f\}'(\{ \{x\}\_\{0\}\})=0 f′(x0)=0

**Th2:**(罗尔定理)

设函数 f ( x ) f(x) f(x)满足条件：  
(1)在闭区间 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\]上连续；

(2)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导；

(3) f ( a ) = f ( b ) f(a)=f(b) f(a)=f(b)；

则在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内一存在个$\\xi $，使  f ′ ( ξ ) = 0 \{f\}'(\\xi )=0 f′(ξ)=0  
**Th3:** (拉格朗日中值定理)

设函数 f ( x ) f(x) f(x)满足条件：  
(1)在 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\]上连续；

(2)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导；

则在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内一存在个$\\xi $，使  f ( b ) − f ( a ) b − a = f ′ ( ξ ) \\frac\{f(b)-f(a)\}\{b-a\}=\{f\}'(\\xi ) b−af(b)−f(a)=f′(ξ)

**Th4:** (柯西中值定理)

设函数 f ( x ) f(x) f(x)， g ( x ) g(x) g(x)满足条件：  
(1) 在 \[ a , b \] \[a,b\] \[a,b\]上连续；

(2) 在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内可导且 f ′ ( x ) \{f\}'(x) f′(x)， g ′ ( x ) \{g\}'(x) g′(x)均存在，且 g ′ ( x ) ≠ 0 \{g\}'(x)\\ne 0 g′(x)=0

则在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内存在一个$\\xi $，使  f ( b ) − f ( a ) g ( b ) − g ( a ) = f ′ ( ξ ) g ′ ( ξ ) \\frac\{f(b)-f(a)\}\{g(b)-g(a)\}=\\frac\{ \{f\}'(\\xi )\}\{ \{g\}'(\\xi )\} g(b)−g(a)f(b)−f(a)=g′(ξ)f′(ξ)

**10.洛必达法则**  
法则Ⅰ ( 0 0 \\frac\{0\}\{0\} 00型)  
设函数 f ( x ) , g ( x ) f\\left( x \\right),g\\left( x \\right) f(x),g(x)满足条件：  
 lim ⁡ x → x 0   f ( x ) = 0 , lim ⁡ x → x 0   g ( x ) = 0 \\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,f\\left( x \\right)=0,\\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,g\\left( x \\right)=0 x→x0limf(x)=0,x→x0limg(x)=0;

f ( x ) , g ( x ) f\\left( x \\right),g\\left( x \\right) f(x),g(x)在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0的邻域内可导，(在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处可除外)且 g ′ ( x ) ≠ 0 \{g\}'\\left( x \\right)\\ne 0 g′(x)=0;

lim ⁡ x → x 0   f ′ ( x ) g ′ ( x ) \\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{ \{f\}'\\left( x \\right)\}\{ \{g\}'\\left( x \\right)\} x→x0limg′(x)f′(x)存在(或$\\infty $)。

存在一个 X > 0 X>0 X>0,当 ∣ x ∣ > X \\left| x \\right|>X ∣x∣>X时, f ( x ) , g ( x ) f\\left( x \\right),g\\left( x \\right) f(x),g(x)可导,且 g ′ ( x ) ≠ 0 \{g\}'\\left( x \\right)\\ne 0 g′(x)=0; lim ⁡ x → x 0   f ′ ( x ) g ′ ( x ) \\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{ \{f\}'\\left( x \\right)\}\{ \{g\}'\\left( x \\right)\} x→x0limg′(x)f′(x)存在(或$\\infty $)。

则:  
 lim ⁡ x → x 0   f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → x 0   f ′ ( x ) g ′ ( x ) \\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f\\left( x \\right)\}\{g\\left( x \\right)\}=\\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{ \{f\}'\\left( x \\right)\}\{ \{g\}'\\left( x \\right)\} x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x)  
法则Ⅱ( ∞ ∞ \\frac\{\\infty \}\{\\infty \} ∞∞型) 设函数 f ( x ) , g ( x ) f\\left( x \\right),g\\left( x \\right) f(x),g(x)满足条件：  
$\\underset\{x\\to \{ \{x\}*\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\},f\\left( x \\right)=\\infty ,\\underset\{x\\to \{ \{x\}*\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\},g\\left( x \\right)=\\infty $;  f ( x ) , g ( x ) f\\left( x \\right),g\\left( x \\right) f(x),g(x)在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0 的邻域内可导(在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处可除外)且 g ′ ( x ) ≠ 0 \{g\}'\\left( x \\right)\\ne 0 g′(x)=0; lim ⁡ x → x 0   f ′ ( x ) g ′ ( x ) \\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{ \{f\}'\\left( x \\right)\}\{ \{g\}'\\left( x \\right)\} x→x0limg′(x)f′(x)存在(或$\\infty $)。则  
 lim ⁡ x → x 0   f ( x ) g ( x ) = lim ⁡ x → x 0   f ′ ( x ) g ′ ( x ) . \\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f\\left( x \\right)\}\{g\\left( x \\right)\}=\\underset\{x\\to \{ \{x\}\_\{0\}\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{ \{f\}'\\left( x \\right)\}\{ \{g\}'\\left( x \\right)\}. x→x0limg(x)f(x)=x→x0limg′(x)f′(x).同理法则 I I ′ \{I\{I\}'\} II′( ∞ ∞ \\frac\{\\infty \}\{\\infty \} ∞∞型)仿法则 I ′ \{ \{I\}'\} I′可写出。

**11.泰勒公式**

设函数 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处的某邻域内具有 n + 1 n+1 n\+1阶导数，则对该邻域内异于 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0的任意点 x x x，在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0与 x x x之间至少存在  
一个$\\xi $，使得：  
$f(x)=f(\{ \{x\}*\{0\}\})+\{f\}’(\{ \{x\}*\{0\}\})(x-\{ \{x\}*\{0\}\})+\\frac\{1\}\{2!\}\{f\}’’(\{ \{x\}*\{0\}\})\{ \{(x-\{ \{x\}\_\{0\}\})\}^\{2\}\}+\\cdots $  
 \+ f ( n ) ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n + R n ( x ) +\\frac\{ \{ \{f\}^\{(n)\}\}(\{ \{x\}\_\{0\}\})\}\{n!\}\{ \{(x-\{ \{x\}\_\{0\}\})\}^\{n\}\}+\{ \{R\}\_\{n\}\}(x) \+n!f(n)(x0)(x−x0)n\+Rn(x)  
其中  R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! ( x − x 0 ) n + 1 \{ \{R\}\_\{n\}\}(x)=\\frac\{ \{ \{f\}^\{(n+1)\}\}(\\xi )\}\{(n+1)!\}\{ \{(x-\{ \{x\}\_\{0\}\})\}^\{n+1\}\} Rn(x)=(n\+1)!f(n\+1)(ξ)(x−x0)n\+1称为 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处的 n n n阶泰勒余项。

令 x 0 = 0 \{ \{x\}\_\{0\}\}=0 x0=0，则 n n n阶泰勒公式  
 f ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + 1 2 ! f ′ ′ ( 0 ) x 2 + ⋯ + f ( n ) ( 0 ) n ! x n + R n ( x ) f(x)=f(0)+\{f\}'(0)x+\\frac\{1\}\{2!\}\{f\}''(0)\{ \{x\}^\{2\}\}+\\cdots +\\frac\{ \{ \{f\}^\{(n)\}\}(0)\}\{n!\}\{ \{x\}^\{n\}\}+\{ \{R\}\_\{n\}\}(x) f(x)=f(0)\+f′(0)x\+2!1f′′(0)x2\+⋯\+n!f(n)(0)xn\+Rn(x)……(1)  
其中  R n ( x ) = f ( n + 1 ) ( ξ ) ( n + 1 ) ! x n + 1 \{ \{R\}\_\{n\}\}(x)=\\frac\{ \{ \{f\}^\{(n+1)\}\}(\\xi )\}\{(n+1)!\}\{ \{x\}^\{n+1\}\} Rn(x)=(n\+1)!f(n\+1)(ξ)xn\+1，$\\xi  在 0 与 在0与 在0与x$之间.(1)式称为麦克劳林公式

**常用五种函数在 x 0 = 0 \{ \{x\}\_\{0\}\}=0 x0=0处的泰勒公式**

(1)  e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n + x n + 1 ( n + 1 ) ! e ξ \{ \{ \{e\}\}^\{x\}\}=1+x+\\frac\{1\}\{2!\}\{ \{x\}^\{2\}\}+\\cdots +\\frac\{1\}\{n!\}\{ \{x\}^\{n\}\}+\\frac\{ \{ \{x\}^\{n+1\}\}\}\{(n+1)!\}\{ \{e\}^\{\\xi \}\} ex=1\+x\+2!1x2\+⋯\+n!1xn\+(n\+1)!xn\+1eξ

或  = 1 + x + 1 2 ! x 2 + ⋯ + 1 n ! x n + o ( x n ) =1+x+\\frac\{1\}\{2!\}\{ \{x\}^\{2\}\}+\\cdots +\\frac\{1\}\{n!\}\{ \{x\}^\{n\}\}+o(\{ \{x\}^\{n\}\}) =1\+x\+2!1x2\+⋯\+n!1xn\+o(xn)

(2)  sin ⁡ x = x − 1 3 ! x 3 + ⋯ + x n n ! sin ⁡ n π 2 + x n + 1 ( n + 1 ) ! sin ⁡ ( ξ + n + 1 2 π ) \\sin x=x-\\frac\{1\}\{3!\}\{ \{x\}^\{3\}\}+\\cdots +\\frac\{ \{ \{x\}^\{n\}\}\}\{n!\}\\sin \\frac\{n\\pi \}\{2\}+\\frac\{ \{ \{x\}^\{n+1\}\}\}\{(n+1)!\}\\sin (\\xi +\\frac\{n+1\}\{2\}\\pi ) sinx=x−3!1x3\+⋯\+n!xnsin2nπ\+(n\+1)!xn\+1sin(ξ\+2n\+1π)

或  = x − 1 3 ! x 3 + ⋯ + x n n ! sin ⁡ n π 2 + o ( x n ) =x-\\frac\{1\}\{3!\}\{ \{x\}^\{3\}\}+\\cdots +\\frac\{ \{ \{x\}^\{n\}\}\}\{n!\}\\sin \\frac\{n\\pi \}\{2\}+o(\{ \{x\}^\{n\}\}) =x−3!1x3\+⋯\+n!xnsin2nπ\+o(xn)

(3)  cos ⁡ x = 1 − 1 2 ! x 2 + ⋯ + x n n ! cos ⁡ n π 2 + x n + 1 ( n + 1 ) ! cos ⁡ ( ξ + n + 1 2 π ) \\cos x=1-\\frac\{1\}\{2!\}\{ \{x\}^\{2\}\}+\\cdots +\\frac\{ \{ \{x\}^\{n\}\}\}\{n!\}\\cos \\frac\{n\\pi \}\{2\}+\\frac\{ \{ \{x\}^\{n+1\}\}\}\{(n+1)!\}\\cos (\\xi +\\frac\{n+1\}\{2\}\\pi ) cosx=1−2!1x2\+⋯\+n!xncos2nπ\+(n\+1)!xn\+1cos(ξ\+2n\+1π)

或  = 1 − 1 2 ! x 2 + ⋯ + x n n ! cos ⁡ n π 2 + o ( x n ) =1-\\frac\{1\}\{2!\}\{ \{x\}^\{2\}\}+\\cdots +\\frac\{ \{ \{x\}^\{n\}\}\}\{n!\}\\cos \\frac\{n\\pi \}\{2\}+o(\{ \{x\}^\{n\}\}) =1−2!1x2\+⋯\+n!xncos2nπ\+o(xn)

(4)  ln ⁡ ( 1 + x ) = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + ( − 1 ) n x n + 1 ( n + 1 ) ( 1 + ξ ) n + 1 \\ln (1+x)=x-\\frac\{1\}\{2\}\{ \{x\}^\{2\}\}+\\frac\{1\}\{3\}\{ \{x\}^\{3\}\}-\\cdots +\{ \{(-1)\}^\{n-1\}\}\\frac\{ \{ \{x\}^\{n\}\}\}\{n\}+\\frac\{ \{ \{(-1)\}^\{n\}\}\{ \{x\}^\{n+1\}\}\}\{(n+1)\{ \{(1+\\xi )\}^\{n+1\}\}\} ln(1\+x)=x−21x2\+31x3−⋯\+(−1)n−1nxn\+(n\+1)(1\+ξ)n\+1(−1)nxn\+1

或  = x − 1 2 x 2 + 1 3 x 3 − ⋯ + ( − 1 ) n − 1 x n n + o ( x n ) =x-\\frac\{1\}\{2\}\{ \{x\}^\{2\}\}+\\frac\{1\}\{3\}\{ \{x\}^\{3\}\}-\\cdots +\{ \{(-1)\}^\{n-1\}\}\\frac\{ \{ \{x\}^\{n\}\}\}\{n\}+o(\{ \{x\}^\{n\}\}) =x−21x2\+31x3−⋯\+(−1)n−1nxn\+o(xn)

(5)  ( 1 + x ) m = 1 + m x + m ( m − 1 ) 2 ! x 2 + ⋯ + m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n \{ \{(1+x)\}^\{m\}\}=1+mx+\\frac\{m(m-1)\}\{2!\}\{ \{x\}^\{2\}\}+\\cdots +\\frac\{m(m-1)\\cdots (m-n+1)\}\{n!\}\{ \{x\}^\{n\}\} (1\+x)m=1\+mx\+2!m(m−1)x2\+⋯\+n!m(m−1)⋯(m−n\+1)xn  
 \+ m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) ( n + 1 ) ! x n + 1 ( 1 + ξ ) m − n − 1 +\\frac\{m(m-1)\\cdots (m-n+1)\}\{(n+1)!\}\{ \{x\}^\{n+1\}\}\{ \{(1+\\xi )\}^\{m-n-1\}\} \+(n\+1)!m(m−1)⋯(m−n\+1)xn\+1(1\+ξ)m−n−1

或 $\{ \{(1+x)\}\{m\}\}=1+mx+\\frac\{m(m-1)\}\{2!\}\{ \{x\}\{2\}\}+\\cdots $  \+ m ( m − 1 ) ⋯ ( m − n + 1 ) n ! x n + o ( x n ) +\\frac\{m(m-1)\\cdots (m-n+1)\}\{n!\}\{ \{x\}^\{n\}\}+o(\{ \{x\}^\{n\}\}) \+n!m(m−1)⋯(m−n\+1)xn\+o(xn)

**12.函数单调性的判断**  
**Th1:** 设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)区间内可导，如果对 ∀ x ∈ ( a , b ) \\forall x\\in (a,b) ∀x∈(a,b)，都有 f   ′ ( x ) > 0 f\\,'(x)>0 f′(x)>0（或 f   ′ ( x ) < 0 f\\,'(x)<0 f′(x)<0），则函数 f ( x ) f(x) f(x)在 ( a , b ) (a,b) (a,b)内是单调增加的（或单调减少）

**Th2:** （取极值的必要条件）设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处可导，且在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处取极值，则 f   ′ ( x 0 ) = 0 f\\,'(\{ \{x\}\_\{0\}\})=0 f′(x0)=0。

**Th3:** （取极值的第一充分条件）设函数 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0的某一邻域内可微，且 f   ′ ( x 0 ) = 0 f\\,'(\{ \{x\}\_\{0\}\})=0 f′(x0)=0（或 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处连续，但 f   ′ ( x 0 ) f\\,'(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f′(x0)不存在。）  
(1)若当 x x x经过 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0时， f   ′ ( x ) f\\,'(x) f′(x)由“+”变“-”，则 f ( x 0 ) f(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f(x0)为极大值；  
(2)若当 x x x经过 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0时， f   ′ ( x ) f\\,'(x) f′(x)由“-”变“+”，则 f ( x 0 ) f(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f(x0)为极小值；  
(3)若 f   ′ ( x ) f\\,'(x) f′(x)经过 x = x 0 x=\{ \{x\}\_\{0\}\} x=x0的两侧不变号，则 f ( x 0 ) f(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f(x0)不是极值。

**Th4:** (取极值的第二充分条件)设 f ( x ) f(x) f(x)在点 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处有 f ′ ′ ( x ) ≠ 0 f''(x)\\ne 0 f′′(x)=0，且 f   ′ ( x 0 ) = 0 f\\,'(\{ \{x\}\_\{0\}\})=0 f′(x0)=0，则 当 f ′   ′ ( x 0 ) < 0 f'\\,'(\{ \{x\}\_\{0\}\})<0 f′′(x0)<0时， f ( x 0 ) f(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f(x0)为极大值；  
当 f ′   ′ ( x 0 ) > 0 f'\\,'(\{ \{x\}\_\{0\}\})>0 f′′(x0)>0时， f ( x 0 ) f(\{ \{x\}\_\{0\}\}) f(x0)为极小值。  
注：如果 f ′   ′ ( x 0 ) < 0 f'\\,'(\{ \{x\}\_\{0\}\})<0 f′′(x0)<0，此方法失效。

**13.渐近线的求法**  
(1)水平渐近线 若 lim ⁡ x → + ∞   f ( x ) = b \\underset\{x\\to +\\infty \}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,f(x)=b x→\+∞limf(x)=b，或 lim ⁡ x → − ∞   f ( x ) = b \\underset\{x\\to -\\infty \}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,f(x)=b x→−∞limf(x)=b，则

y = b y=b y=b称为函数 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的水平渐近线。

(2)铅直渐近线 若$\\underset\{x\\to x\_\{0\}^\{-\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\},f(x)=\\infty  ， 或 ，或 ，或\\underset\{x\\to x\_\{0\}^\{+\}\}\{\\mathop\{\\lim \}\},f(x)=\\infty $，则

x = x 0 x=\{ \{x\}\_\{0\}\} x=x0称为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的铅直渐近线。

(3)斜渐近线 若 a = lim ⁡ x → ∞   f ( x ) x , b = lim ⁡ x → ∞   \[ f ( x ) − a x \] a=\\underset\{x\\to \\infty \}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\\frac\{f(x)\}\{x\},\\quad b=\\underset\{x\\to \\infty \}\{\\mathop\{\\lim \}\}\\,\[f(x)-ax\] a=x→∞limxf(x),b=x→∞lim\[f(x)−ax\]，则  
 y = a x + b y=ax+b y=ax\+b称为 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)的斜渐近线。

**14.函数凹凸性的判断**  
**Th1:** (凹凸性的判别定理）若在I上 f ′ ′ ( x ) < 0 f''(x)<0 f′′(x)<0（或 f ′ ′ ( x ) > 0 f''(x)>0 f′′(x)>0），则 f ( x ) f(x) f(x)在I上是凸的（或凹的）。

**Th2:** (拐点的判别定理1)若在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0处 f ′ ′ ( x ) = 0 f''(x)=0 f′′(x)=0，（或 f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)不存在），当 x x x变动经过 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0时， f ′ ′ ( x ) f''(x) f′′(x)变号，则 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (\{ \{x\}\_\{0\}\},f(\{ \{x\}\_\{0\}\})) (x0,f(x0))为拐点。

**Th3:** (拐点的判别定理2)设 f ( x ) f(x) f(x)在 x 0 \{ \{x\}\_\{0\}\} x0点的某邻域内有三阶导数，且 f ′ ′ ( x ) = 0 f''(x)=0 f′′(x)=0， f ′ ′ ′ ( x ) ≠ 0 f'''(x)\\ne 0 f′′′(x)=0，则 ( x 0 , f ( x 0 ) ) (\{ \{x\}\_\{0\}\},f(\{ \{x\}\_\{0\}\})) (x0,f(x0))为拐点。

**15.弧微分**

d S = 1 + y ′ 2 d x dS=\\sqrt\{1+y\{ \{'\}^\{2\}\}\}dx dS=1\+y′2dx

**16.曲率**

曲线 y = f ( x ) y=f(x) y=f(x)在点 ( x , y ) (x,y) (x,y)处的曲率 k = ∣ y ′ ′ ∣ ( 1 + y ′ 2 ) 3 2 k=\\frac\{\\left| y'' \\right|\}\{ \{ \{(1+y\{ \{'\}^\{2\}\})\}^\{\\tfrac\{3\}\{2\}\}\}\} k=(1\+y′2)23∣y′′∣。  
对于参数方程KaTeX parse error: No such environment: align at position 15: \\left\\\{ \\begin\{̲a̲l̲i̲g̲n̲\}̲ & x=\\varphi (… k = ∣ φ ′ ( t ) ψ ′ ′ ( t ) − φ ′ ′ ( t ) ψ ′ ( t ) ∣ \[ φ ′ 2 ( t ) + ψ ′ 2 ( t ) \] 3 2 k=\\frac\{\\left| \\varphi '(t)\\psi ''(t)-\\varphi ''(t)\\psi '(t) \\right|\}\{ \{ \{\[\\varphi \{ \{'\}^\{2\}\}(t)+\\psi \{ \{'\}^\{2\}\}(t)\]\}^\{\\tfrac\{3\}\{2\}\}\}\} k=\[φ′2(t)\+ψ′2(t)\]23∣φ′(t)ψ′′(t)−φ′′(t)ψ′(t)∣。

**17.曲率半径**

曲线在点 M M M处的曲率 k ( k ≠ 0 ) k(k\\ne 0) k(k=0)与曲线在点 M M M处的曲率半径$\\rho  有 如 下 关 系 ： 有如下关系： 有如下关系：\\rho =\\frac\{1\}\{k\}$。

### 线性代数 ###

#### 行列式 ####

**1.行列式按行（列）展开定理**

(1) 设 A = ( a i j ) n × n A = ( a\_\{ \{ij\}\} )\_\{n \\times n\} A=(aij)n×n，则： a i 1 A j 1 + a i 2 A j 2 + ⋯ + a i n A j n = \{ ∣ A ∣ , i = j 0 , i ≠ j a\_\{i1\}A\_\{j1\} +a\_\{i2\}A\_\{j2\} + \\cdots + a\_\{ \{in\}\}A\_\{ \{jn\}\} = \\begin\{cases\}|A|,i=j\\\\ 0,i \\neq j\\end\{cases\} ai1Aj1\+ai2Aj2\+⋯\+ainAjn=\{ ∣A∣,i=j0,i=j

或 a 1 i A 1 j + a 2 i A 2 j + ⋯ + a n i A n j = \{ ∣ A ∣ , i = j 0 , i ≠ j a\_\{1i\}A\_\{1j\} + a\_\{2i\}A\_\{2j\} + \\cdots + a\_\{ \{ni\}\}A\_\{ \{nj\}\} = \\begin\{cases\}|A|,i=j\\\\ 0,i \\neq j\\end\{cases\} a1iA1j\+a2iA2j\+⋯\+aniAnj=\{ ∣A∣,i=j0,i=j即  A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E , AA^\{\*\} = A^\{\*\}A = \\left| A \\right|E, AA∗=A∗A=∣A∣E,其中： A ∗ = ( A 11 A 12 … A 1 n A 21 A 22 … A 2 n … … … … A n 1 A n 2 … A n n ) = ( A j i ) = ( A i j ) T A^\{\*\} = \\begin\{pmatrix\} A\_\{11\} & A\_\{12\} & \\ldots & A\_\{1n\} \\\\ A\_\{21\} & A\_\{22\} & \\ldots & A\_\{2n\} \\\\ \\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\ A\_\{n1\} & A\_\{n2\} & \\ldots & A\_\{ \{nn\}\} \\\\ \\end\{pmatrix\} = (A\_\{ \{ji\}\}) = \{(A\_\{ \{ij\}\})\}^\{T\} A∗=⎝⎜⎜⎛A11A21…An1A12A22…An2…………A1nA2n…Ann⎠⎟⎟⎞=(Aji)=(Aij)T

D n = ∣ 1 1 … 1 x 1 x 2 … x n … … … … x 1 n − 1 x 2 n − 1 … x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n   ( x i − x j ) D\_\{n\} = \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 & \\ldots & 1 \\\\ x\_\{1\} & x\_\{2\} & \\ldots & x\_\{n\} \\\\ \\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\ x\_\{1\}^\{n - 1\} & x\_\{2\}^\{n - 1\} & \\ldots & x\_\{n\}^\{n - 1\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{1 \\leq j < i \\leq n\}^\{\}\\,(x\_\{i\} - x\_\{j\}) Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣1x1…x1n−11x2…x2n−1…………1xn…xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤j<i≤n(xi−xj)

(2) 设 A , B A,B A,B为 n n n阶方阵，则 ∣ A B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ = ∣ B ∣ ∣ A ∣ = ∣ B A ∣ \\left| \{AB\} \\right| = \\left| A \\right|\\left| B \\right| = \\left| B \\right|\\left| A \\right| = \\left| \{BA\} \\right| ∣AB∣=∣A∣∣B∣=∣B∣∣A∣=∣BA∣，但 ∣ A ± B ∣ = ∣ A ∣ ± ∣ B ∣ \\left| A \\pm B \\right| = \\left| A \\right| \\pm \\left| B \\right| ∣A±B∣=∣A∣±∣B∣不一定成立。

(3)  ∣ k A ∣ = k n ∣ A ∣ \\left| \{kA\} \\right| = k^\{n\}\\left| A \\right| ∣kA∣=kn∣A∣, A A A为 n n n阶方阵。

(4) 设 A A A为 n n n阶方阵， ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ ; ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^\{T\}| = |A|;|A^\{- 1\}| = |A|^\{- 1\} ∣AT∣=∣A∣;∣A−1∣=∣A∣−1（若 A A A可逆）， ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^\{\*\}| = |A|^\{n - 1\} ∣A∗∣=∣A∣n−1

n ≥ 2 n \\geq 2 n≥2

(5)  ∣ A O O B ∣ = ∣ A C O B ∣ = ∣ A O C B ∣ = ∣ A ∣ ∣ B ∣ \\left| \\begin\{matrix\} & \{A\\quad O\} \\\\ & \{O\\quad B\} \\\\ \\end\{matrix\} \\right| = \\left| \\begin\{matrix\} & \{A\\quad C\} \\\\ & \{O\\quad B\} \\\\ \\end\{matrix\} \\right| = \\left| \\begin\{matrix\} & \{A\\quad O\} \\\\ & \{C\\quad B\} \\\\ \\end\{matrix\} \\right| =| A||B| ∣∣∣∣AOOB∣∣∣∣=∣∣∣∣ACOB∣∣∣∣=∣∣∣∣AOCB∣∣∣∣=∣A∣∣B∣  
， A , B A,B A,B为方阵，但 ∣ O A m × m B n × n O ∣ = ( − 1 ) m n ∣ A ∣ ∣ B ∣ \\left| \\begin\{matrix\} \{O\} & A\_\{m \\times m\} \\\\ B\_\{n \\times n\} & \{ O\} \\\\ \\end\{matrix\} \\right| = (\{- 1)\}^\{ \{mn\}\}|A||B| ∣∣∣∣OBn×nAm×mO∣∣∣∣=(−1)mn∣A∣∣B∣ 。

(6) 范德蒙行列式 D n = ∣ 1 1 … 1 x 1 x 2 … x n … … … … x 1 n − 1 x 2 n 1 … x n n − 1 ∣ = ∏ 1 ≤ j < i ≤ n   ( x i − x j ) D\_\{n\} = \\begin\{vmatrix\} 1 & 1 & \\ldots & 1 \\\\ x\_\{1\} & x\_\{2\} & \\ldots & x\_\{n\} \\\\ \\ldots & \\ldots & \\ldots & \\ldots \\\\ x\_\{1\}^\{n - 1\} & x\_\{2\}^\{n 1\} & \\ldots & x\_\{n\}^\{n - 1\} \\\\ \\end\{vmatrix\} = \\prod\_\{1 \\leq j < i \\leq n\}^\{\}\\,(x\_\{i\} - x\_\{j\}) Dn=∣∣∣∣∣∣∣∣1x1…x1n−11x2…x2n1…………1xn…xnn−1∣∣∣∣∣∣∣∣=∏1≤j<i≤n(xi−xj)

设 A A A是 n n n阶方阵， λ i ( i = 1 , 2 ⋯   , n ) \\lambda\_\{i\}(i = 1,2\\cdots,n) λi(i=1,2⋯,n)是 A A A的 n n n个特征值，则  
 ∣ A ∣ = ∏ i = 1 n λ i |A| = \\prod\_\{i = 1\}^\{n\}\\lambda\_\{i\} ∣A∣=∏i=1nλi

#### 矩阵 ####

矩阵： m × n m \\times n m×n个数 a i j a\_\{ \{ij\}\} aij排成 m m m行 n n n列的表格 \[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a m 1 a m 2 ⋯ a m n \] \\begin\{bmatrix\} a\_\{11\}\\quad a\_\{12\}\\quad\\cdots\\quad a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\}\\quad a\_\{22\}\\quad\\cdots\\quad a\_\{2n\} \\\\ \\quad\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots \\\\ a\_\{m1\}\\quad a\_\{m2\}\\quad\\cdots\\quad a\_\{ \{mn\}\} \\\\ \\end\{bmatrix\} ⎣⎢⎢⎡a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋯⋯⋯⋯⋯am1am2⋯amn⎦⎥⎥⎤ 称为矩阵，简记为 A A A，或者 ( a i j ) m × n \\left( a\_\{ \{ij\}\} \\right)\_\{m \\times n\} (aij)m×n 。若 m = n m = n m=n，则称 A A A是 n n n阶矩阵或 n n n阶方阵。

**矩阵的线性运算**

**1.矩阵的加法**

设 A = ( a i j ) , B = ( b i j ) A = (a\_\{ \{ij\}\}),B = (b\_\{ \{ij\}\}) A=(aij),B=(bij)是两个 m × n m \\times n m×n矩阵，则 m × n m \\times n m×n 矩阵 C = c i j ) = a i j + b i j C = c\_\{ \{ij\}\}) = a\_\{ \{ij\}\} + b\_\{ \{ij\}\} C=cij)=aij\+bij称为矩阵 A A A与 B B B的和，记为 A + B = C A + B = C A\+B=C 。

**2.矩阵的数乘**

设 A = ( a i j ) A = (a\_\{ \{ij\}\}) A=(aij)是 m × n m \\times n m×n矩阵， k k k是一个常数，则 m × n m \\times n m×n矩阵 ( k a i j ) (ka\_\{ \{ij\}\}) (kaij)称为数 k k k与矩阵 A A A的数乘，记为 k A \{kA\} kA。

**3.矩阵的乘法**

设 A = ( a i j ) A = (a\_\{ \{ij\}\}) A=(aij)是 m × n m \\times n m×n矩阵， B = ( b i j ) B = (b\_\{ \{ij\}\}) B=(bij)是 n × s n \\times s n×s矩阵，那么 m × s m \\times s m×s矩阵 C = ( c i j ) C = (c\_\{ \{ij\}\}) C=(cij)，其中 c i j = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j + ⋯ + a i n b n j = ∑ k = 1 n a i k b k j c\_\{ \{ij\}\} = a\_\{i1\}b\_\{1j\} + a\_\{i2\}b\_\{2j\} + \\cdots + a\_\{ \{in\}\}b\_\{ \{nj\}\} = \\sum\_\{k =1\}^\{n\}\{a\_\{ \{ik\}\}b\_\{ \{kj\}\}\} cij=ai1b1j\+ai2b2j\+⋯\+ainbnj=∑k=1naikbkj称为 A B \{AB\} AB的乘积，记为 C = A B C = AB C=AB 。

**4.**  A T \\mathbf\{A\}^\{\\mathbf\{T\}\} AT**、** A − 1 \\mathbf\{A\}^\{\\mathbf\{-1\}\} A−1**、** A ∗ \\mathbf\{A\}^\{\\mathbf\{\*\}\} A∗**三者之间的关系**

(1)  ( A T ) T = A , ( A B ) T = B T A T , ( k A ) T = k A T , ( A ± B ) T = A T ± B T \{(A^\{T\})\}^\{T\} = A,\{(AB)\}^\{T\} = B^\{T\}A^\{T\},\{(kA)\}^\{T\} = kA^\{T\},\{(A \\pm B)\}^\{T\} = A^\{T\} \\pm B^\{T\} (AT)T=A,(AB)T=BTAT,(kA)T=kAT,(A±B)T=AT±BT

(2)  ( A − 1 ) − 1 = A , ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 , ( k A ) − 1 = 1 k A − 1 , \\left( A^\{- 1\} \\right)^\{- 1\} = A,\\left( \{AB\} \\right)^\{- 1\} = B^\{- 1\}A^\{- 1\},\\left( \{kA\} \\right)^\{- 1\} = \\frac\{1\}\{k\}A^\{- 1\}, (A−1)−1=A,(AB)−1=B−1A−1,(kA)−1=k1A−1,

但  ( A ± B ) − 1 = A − 1 ± B − 1 \{(A \\pm B)\}^\{- 1\} = A^\{- 1\} \\pm B^\{- 1\} (A±B)−1=A−1±B−1不一定成立。

(3)  ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2   A    ( n ≥ 3 ) \\left( A^\{\*\} \\right)^\{\*\} = |A|^\{n - 2\}\\ A\\ \\ (n \\geq 3) (A∗)∗=∣A∣n−2 A  (n≥3)， ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ , \\left(\{AB\} \\right)^\{\*\} = B^\{\*\}A^\{\*\}, (AB)∗=B∗A∗,  ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗    ( n ≥ 2 ) \\left( \{kA\} \\right)^\{\*\} = k^\{n -1\}A^\{\*\}\{\\ \\ \}\\left( n \\geq 2 \\right) (kA)∗=kn−1A∗  (n≥2)

但 ( A ± B ) ∗ = A ∗ ± B ∗ \\left( A \\pm B \\right)^\{\*\} = A^\{\*\} \\pm B^\{\*\} (A±B)∗=A∗±B∗不一定成立。

(4)  ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 ,   ( A − 1 ) ∗ = ( A A ∗ ) − 1 , ( A ∗ ) T = ( A T ) ∗ \{(A^\{- 1\})\}^\{T\} = \{(A^\{T\})\}^\{- 1\},\\ \\left( A^\{- 1\} \\right)^\{\*\} =\{(AA^\{\*\})\}^\{- 1\},\{(A^\{\*\})\}^\{T\} = \\left( A^\{T\} \\right)^\{\*\} (A−1)T=(AT)−1, (A−1)∗=(AA∗)−1,(A∗)T=(AT)∗

**5.有关** A ∗ \\mathbf\{A\}^\{\\mathbf\{\*\}\} A∗**的结论**

(1)  A A ∗ = A ∗ A = ∣ A ∣ E AA^\{\*\} = A^\{\*\}A = |A|E AA∗=A∗A=∣A∣E

(2)  ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1   ( n ≥ 2 ) ,      ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ ,    ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A ( n ≥ 3 ) |A^\{\*\}| = |A|^\{n - 1\}\\ (n \\geq 2),\\ \\ \\ \\ \{(kA)\}^\{\*\} = k^\{n -1\}A^\{\*\},\{ \{\\ \\ \}\\left( A^\{\*\} \\right)\}^\{\*\} = |A|^\{n - 2\}A(n \\geq 3) ∣A∗∣=∣A∣n−1 (n≥2),    (kA)∗=kn−1A∗,  (A∗)∗=∣A∣n−2A(n≥3)

(3) 若 A A A可逆，则 A ∗ = ∣ A ∣ A − 1 , ( A ∗ ) ∗ = 1 ∣ A ∣ A A^\{\*\} = |A|A^\{- 1\},\{(A^\{\*\})\}^\{\*\} = \\frac\{1\}\{|A|\}A A∗=∣A∣A−1,(A∗)∗=∣A∣1A

(4) 若 A A A为 n n n阶方阵，则：

r ( A ∗ ) = \{ n , r ( A ) = n 1 , r ( A ) = n − 1 0 , r ( A ) < n − 1 r(A^\*)=\\begin\{cases\}n,\\quad r(A)=n\\\\ 1,\\quad r(A)=n-1\\\\ 0,\\quad r(A)<n-1\\end\{cases\} r(A∗)=⎩⎪⎨⎪⎧n,r(A)=n1,r(A)=n−10,r(A)<n−1

**6.有关** A − 1 \\mathbf\{A\}^\{\\mathbf\{- 1\}\} A−1**的结论**

A A A可逆 ⇔ A B = E ; ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ; ⇔ r ( A ) = n ; \\Leftrightarrow AB = E; \\Leftrightarrow |A| \\neq 0; \\Leftrightarrow r(A) = n; ⇔AB=E;⇔∣A∣=0;⇔r(A)=n;

⇔ A \\Leftrightarrow A ⇔A可以表示为初等矩阵的乘积； ⇔ A ; ⇔ A x = 0 \\Leftrightarrow A;\\Leftrightarrow Ax = 0 ⇔A;⇔Ax=0。

**7.有关矩阵秩的结论**

(1) 秩 r ( A ) r(A) r(A)=行秩=列秩；

(2)  r ( A m × n ) ≤ min ⁡ ( m , n ) ; r(A\_\{m \\times n\}) \\leq \\min(m,n); r(Am×n)≤min(m,n);

(3)  A ≠ 0 ⇒ r ( A ) ≥ 1 A \\neq 0 \\Rightarrow r(A) \\geq 1 A=0⇒r(A)≥1；

(4)  r ( A ± B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) ; r(A \\pm B) \\leq r(A) + r(B); r(A±B)≤r(A)\+r(B);

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6)  r ( A ) + r ( B ) − n ≤ r ( A B ) ≤ min ⁡ ( r ( A ) , r ( B ) ) , r(A) + r(B) - n \\leq r(AB) \\leq \\min(r(A),r(B)), r(A)\+r(B)−n≤r(AB)≤min(r(A),r(B)),特别若 A B = O AB = O AB=O  
则： r ( A ) + r ( B ) ≤ n r(A) + r(B) \\leq n r(A)\+r(B)≤n

(7) 若 A − 1 A^\{- 1\} A−1存在 ⇒ r ( A B ) = r ( B ) ; \\Rightarrow r(AB) = r(B); ⇒r(AB)=r(B); 若 B − 1 B^\{- 1\} B−1存在  
 ⇒ r ( A B ) = r ( A ) ; \\Rightarrow r(AB) = r(A); ⇒r(AB)=r(A);

若 r ( A m × n ) = n ⇒ r ( A B ) = r ( B ) ; r(A\_\{m \\times n\}) = n \\Rightarrow r(AB) = r(B); r(Am×n)=n⇒r(AB)=r(B); 若 r ( A m × s ) = n ⇒ r ( A B ) = r ( A ) r(A\_\{m \\times s\}) = n\\Rightarrow r(AB) = r\\left( A \\right) r(Am×s)=n⇒r(AB)=r(A)。

(8)  r ( A m × s ) = n ⇔ A x = 0 r(A\_\{m \\times s\}) = n \\Leftrightarrow Ax = 0 r(Am×s)=n⇔Ax=0只有零解

**8.分块求逆公式**

( A O O B ) − 1 = ( A − 1 O O B − 1 ) \\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ O & B \\\\ \\end\{pmatrix\}^\{- 1\} = \\begin\{pmatrix\} A^\{-1\} & O \\\\ O & B^\{- 1\} \\\\ \\end\{pmatrix\} (AOOB)−1=(A−1OOB−1)；  ( A C O B ) − 1 = ( A − 1 − A − 1 C B − 1 O B − 1 ) \\begin\{pmatrix\} A & C \\\\ O & B \\\\\\end\{pmatrix\}^\{- 1\} = \\begin\{pmatrix\} A^\{- 1\}& - A^\{- 1\}CB^\{- 1\} \\\\ O & B^\{- 1\} \\\\ \\end\{pmatrix\} (AOCB)−1=(A−1O−A−1CB−1B−1)；

( A O C B ) − 1 = ( A − 1 O − B − 1 C A − 1 B − 1 ) \\begin\{pmatrix\} A & O \\\\ C & B \\\\ \\end\{pmatrix\}^\{- 1\} = \\begin\{pmatrix\} A^\{- 1\}&\{O\} \\\\ - B^\{- 1\}CA^\{- 1\} & B^\{- 1\} \\\\\\end\{pmatrix\} (ACOB)−1=(A−1−B−1CA−1OB−1)；  ( O A B O ) − 1 = ( O B − 1 A − 1 O ) \\begin\{pmatrix\} O & A \\\\ B & O \\\\ \\end\{pmatrix\}^\{- 1\} =\\begin\{pmatrix\} O & B^\{- 1\} \\\\ A^\{- 1\} & O \\\\ \\end\{pmatrix\} (OBAO)−1=(OA−1B−1O)

这里 A A A， B B B均为可逆方阵。

#### 向量 ####

**1.有关向量组的线性表示**

(1) α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs线性相关 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs线性无关， α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs， β \\beta β线性相关 ⇔ β \\Leftrightarrow \\beta ⇔β可以由 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs唯一线性表示。

(3)  β \\beta β可以由 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs线性表示  
 ⇔ r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s ) = r ( α 1 , α 2 , ⋯   , α s , β ) \\Leftrightarrow r(\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\}) =r(\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\},\\beta) ⇔r(α1,α2,⋯,αs)=r(α1,α2,⋯,αs,β) 。

**2.有关向量组的线性相关性**

(1)部分相关，整体相关；整体无关，部分无关.

(2) ①  n n n个 n n n维向量  
 α 1 , α 2 ⋯ α n \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\}\\cdots\\alpha\_\{n\} α1,α2⋯αn线性无关 ⇔ ∣ \[ α 1 α 2 ⋯ α n \] ∣ ≠ 0 \\Leftrightarrow \\left|\\left\\lbrack \\alpha\_\{1\}\\alpha\_\{2\}\\cdots\\alpha\_\{n\} \\right\\rbrack \\right| \\neq0 ⇔∣\[α1α2⋯αn\]∣=0，  n n n个 n n n维向量 α 1 , α 2 ⋯ α n \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\}\\cdots\\alpha\_\{n\} α1,α2⋯αn线性相关  
 ⇔ ∣ \[ α 1 , α 2 , ⋯   , α n \] ∣ = 0 \\Leftrightarrow |\\lbrack\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{n\}\\rbrack| = 0 ⇔∣\[α1,α2,⋯,αn\]∣=0  
。

②  n + 1 n + 1 n\+1个 n n n维向量线性相关。

③ 若 α 1 , α 2 ⋯ α S \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\}\\cdots\\alpha\_\{S\} α1,α2⋯αS线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

**3.有关向量组的线性表示**

(1)  α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs线性相关 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)  α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs线性无关， α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs， β \\beta β线性相关 ⇔ β \\Leftrightarrow\\beta ⇔β 可以由 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs唯一线性表示。

**4.向量组的秩与矩阵的秩之间的关系**

设 r ( A m × n ) = r r(A\_\{m \\times n\}) =r r(Am×n)=r，则 A A A的秩 r ( A ) r(A) r(A)与 A A A的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若 r ( A m × n ) = r = m r(A\_\{m \\times n\}) = r = m r(Am×n)=r=m，则 A A A的行向量组线性无关。

(2) 若 r ( A m × n ) = r < m r(A\_\{m \\times n\}) = r < m r(Am×n)=r<m，则 A A A的行向量组线性相关。

(3) 若 r ( A m × n ) = r = n r(A\_\{m \\times n\}) = r = n r(Am×n)=r=n，则 A A A的列向量组线性无关。

(4) 若 r ( A m × n ) = r < n r(A\_\{m \\times n\}) = r < n r(Am×n)=r<n，则 A A A的列向量组线性相关。

**5.** n \\mathbf\{n\} n**维向量空间的基变换公式及过渡矩阵**

若 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{n\} α1,α2,⋯,αn与 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},\\cdots,\\beta\_\{n\} β1,β2,⋯,βn是向量空间 V V V的两组基，则基变换公式为：

( β 1 , β 2 , ⋯   , β n ) = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) \[ c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ c n 1 c n 2 ⋯ c n n \] = ( α 1 , α 2 , ⋯   , α n ) C (\\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},\\cdots,\\beta\_\{n\}) = (\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{n\})\\begin\{bmatrix\} c\_\{11\}& c\_\{12\}& \\cdots & c\_\{1n\} \\\\ c\_\{21\}& c\_\{22\}&\\cdots & c\_\{2n\} \\\\ \\cdots & \\cdots & \\cdots & \\cdots \\\\ c\_\{n1\}& c\_\{n2\} & \\cdots & c\_\{ \{nn\}\} \\\\\\end\{bmatrix\} = (\\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{n\})C (β1,β2,⋯,βn)=(α1,α2,⋯,αn)⎣⎢⎢⎡c11c21⋯cn1c12c22⋯cn2⋯⋯⋯⋯c1nc2n⋯cnn⎦⎥⎥⎤=(α1,α2,⋯,αn)C

其中 C C C是可逆矩阵，称为由基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{n\} α1,α2,⋯,αn到基 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},\\cdots,\\beta\_\{n\} β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵。

**6.坐标变换公式**

若向量 γ \\gamma γ在基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{n\} α1,α2,⋯,αn与基 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},\\cdots,\\beta\_\{n\} β1,β2,⋯,βn的坐标分别是  
 X = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) T X = \{(x\_\{1\},x\_\{2\},\\cdots,x\_\{n\})\}^\{T\} X=(x1,x2,⋯,xn)T，

Y = ( y 1 , y 2 , ⋯   , y n ) T Y = \\left( y\_\{1\},y\_\{2\},\\cdots,y\_\{n\} \\right)^\{T\} Y=(y1,y2,⋯,yn)T 即：  γ = x 1 α 1 + x 2 α 2 + ⋯ + x n α n = y 1 β 1 + y 2 β 2 + ⋯ + y n β n \\gamma =x\_\{1\}\\alpha\_\{1\} + x\_\{2\}\\alpha\_\{2\} + \\cdots + x\_\{n\}\\alpha\_\{n\} = y\_\{1\}\\beta\_\{1\} +y\_\{2\}\\beta\_\{2\} + \\cdots + y\_\{n\}\\beta\_\{n\} γ=x1α1\+x2α2\+⋯\+xnαn=y1β1\+y2β2\+⋯\+ynβn，则向量坐标变换公式为 X = C Y X = CY X=CY 或 Y = C − 1 X Y = C^\{- 1\}X Y=C−1X，其中 C C C是从基 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{n\} α1,α2,⋯,αn到基 β 1 , β 2 , ⋯   , β n \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},\\cdots,\\beta\_\{n\} β1,β2,⋯,βn的过渡矩阵。

**7.向量的内积**

( α , β ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n = α T β = β T α (\\alpha,\\beta) = a\_\{1\}b\_\{1\} + a\_\{2\}b\_\{2\} + \\cdots + a\_\{n\}b\_\{n\} = \\alpha^\{T\}\\beta = \\beta^\{T\}\\alpha (α,β)=a1b1\+a2b2\+⋯\+anbn=αTβ=βTα

**8.Schmidt正交化**

若 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs线性无关，则可构造 β 1 , β 2 , ⋯   , β s \\beta\_\{1\},\\beta\_\{2\},\\cdots,\\beta\_\{s\} β1,β2,⋯,βs使其两两正交，且 β i \\beta\_\{i\} βi仅是 α 1 , α 2 , ⋯   , α i \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{i\} α1,α2,⋯,αi的线性组合 ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) (i= 1,2,\\cdots,n) (i=1,2,⋯,n)，再把 β i \\beta\_\{i\} βi单位化，记 γ i = β i ∣ β i ∣ \\gamma\_\{i\} =\\frac\{\\beta\_\{i\}\}\{\\left| \\beta\_\{i\}\\right|\} γi=∣βi∣βi，则 γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ i \\gamma\_\{1\},\\gamma\_\{2\},\\cdots,\\gamma\_\{i\} γ1,γ2,⋯,γi是规范正交向量组。其中  
 β 1 = α 1 \\beta\_\{1\} = \\alpha\_\{1\} β1=α1，  β 2 = α 2 − ( α 2 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 \\beta\_\{2\} = \\alpha\_\{2\} -\\frac\{(\\alpha\_\{2\},\\beta\_\{1\})\}\{(\\beta\_\{1\},\\beta\_\{1\})\}\\beta\_\{1\} β2=α2−(β1,β1)(α2,β1)β1 ，  β 3 = α 3 − ( α 3 , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α 3 , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 \\beta\_\{3\} =\\alpha\_\{3\} - \\frac\{(\\alpha\_\{3\},\\beta\_\{1\})\}\{(\\beta\_\{1\},\\beta\_\{1\})\}\\beta\_\{1\} -\\frac\{(\\alpha\_\{3\},\\beta\_\{2\})\}\{(\\beta\_\{2\},\\beta\_\{2\})\}\\beta\_\{2\} β3=α3−(β1,β1)(α3,β1)β1−(β2,β2)(α3,β2)β2 ，

…

β s = α s − ( α s , β 1 ) ( β 1 , β 1 ) β 1 − ( α s , β 2 ) ( β 2 , β 2 ) β 2 − ⋯ − ( α s , β s − 1 ) ( β s − 1 , β s − 1 ) β s − 1 \\beta\_\{s\} = \\alpha\_\{s\} - \\frac\{(\\alpha\_\{s\},\\beta\_\{1\})\}\{(\\beta\_\{1\},\\beta\_\{1\})\}\\beta\_\{1\} - \\frac\{(\\alpha\_\{s\},\\beta\_\{2\})\}\{(\\beta\_\{2\},\\beta\_\{2\})\}\\beta\_\{2\} - \\cdots - \\frac\{(\\alpha\_\{s\},\\beta\_\{s - 1\})\}\{(\\beta\_\{s - 1\},\\beta\_\{s - 1\})\}\\beta\_\{s - 1\} βs=αs−(β1,β1)(αs,β1)β1−(β2,β2)(αs,β2)β2−⋯−(βs−1,βs−1)(αs,βs−1)βs−1

**9.正交基及规范正交基**

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

#### 线性方程组 ####

**1．克莱姆法则**

线性方程组 \{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + ⋯ + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b 2 ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + ⋯ + a n n x n = b n \\begin\{cases\} a\_\{11\}x\_\{1\} + a\_\{12\}x\_\{2\} + \\cdots +a\_\{1n\}x\_\{n\} = b\_\{1\} \\\\ a\_\{21\}x\_\{1\} + a\_\{22\}x\_\{2\} + \\cdots + a\_\{2n\}x\_\{n\} =b\_\{2\} \\\\ \\quad\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots\\cdots \\\\ a\_\{n1\}x\_\{1\} + a\_\{n2\}x\_\{2\} + \\cdots + a\_\{ \{nn\}\}x\_\{n\} = b\_\{n\} \\\\ \\end\{cases\} ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧a11x1\+a12x2\+⋯\+a1nxn=b1a21x1\+a22x2\+⋯\+a2nxn=b2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯an1x1\+an2x2\+⋯\+annxn=bn，如果系数行列式 D = ∣ A ∣ ≠ 0 D = \\left| A \\right| \\neq 0 D=∣A∣=0，则方程组有唯一解， x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , ⋯   , x n = D n D x\_\{1\} = \\frac\{D\_\{1\}\}\{D\},x\_\{2\} = \\frac\{D\_\{2\}\}\{D\},\\cdots,x\_\{n\} =\\frac\{D\_\{n\}\}\{D\} x1=DD1,x2=DD2,⋯,xn=DDn，其中 D j D\_\{j\} Dj是把 D D D中第 j j j列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

**2.**  n n n阶矩阵 A A A可逆 ⇔ A x = 0 \\Leftrightarrow Ax = 0 ⇔Ax=0只有零解。 ⇔ ∀ b , A x = b \\Leftrightarrow\\forall b,Ax = b ⇔∀b,Ax=b总有唯一解，一般地， r ( A m × n ) = n ⇔ A x = 0 r(A\_\{m \\times n\}) = n \\Leftrightarrow Ax= 0 r(Am×n)=n⇔Ax=0只有零解。

**3.非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构**

(1) 设 A A A为 m × n m \\times n m×n矩阵，若 r ( A m × n ) = m r(A\_\{m \\times n\}) = m r(Am×n)=m，则对 A x = b Ax =b Ax=b而言必有 r ( A ) = r ( A ⋮ b ) = m r(A) = r(A \\vdots b) = m r(A)=r(A⋮b)=m，从而 A x = b Ax = b Ax=b有解。

(2) 设 x 1 , x 2 , ⋯ x s x\_\{1\},x\_\{2\},\\cdots x\_\{s\} x1,x2,⋯xs为 A x = b Ax = b Ax=b的解，则 k 1 x 1 + k 2 x 2 ⋯ + k s x s k\_\{1\}x\_\{1\} + k\_\{2\}x\_\{2\}\\cdots + k\_\{s\}x\_\{s\} k1x1\+k2x2⋯\+ksxs当 k 1 + k 2 + ⋯ + k s = 1 k\_\{1\} + k\_\{2\} + \\cdots + k\_\{s\} = 1 k1\+k2\+⋯\+ks=1时仍为 A x = b Ax =b Ax=b的解；但当 k 1 + k 2 + ⋯ + k s = 0 k\_\{1\} + k\_\{2\} + \\cdots + k\_\{s\} = 0 k1\+k2\+⋯\+ks=0时，则为 A x = 0 Ax =0 Ax=0的解。特别 x 1 + x 2 2 \\frac\{x\_\{1\} + x\_\{2\}\}\{2\} 2x1\+x2为 A x = b Ax = b Ax=b的解； 2 x 3 − ( x 1 + x 2 ) 2x\_\{3\} - (x\_\{1\} +x\_\{2\}) 2x3−(x1\+x2)为 A x = 0 Ax = 0 Ax=0的解。

(3) 非齐次线性方程组 A x = b \{Ax\} = b Ax=b无解 ⇔ r ( A ) + 1 = r ( A ‾ ) ⇔ b \\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\\overline\{A\}) \\Leftrightarrow b ⇔r(A)\+1=r(A)⇔b不能由 A A A的列向量 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{n\} α1,α2,⋯,αn线性表示。

**4.奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解**

(1) 齐次方程组 A x = 0 \{Ax\} = 0 Ax=0恒有解(必有零解)。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此 A x = 0 \{Ax\}= 0 Ax=0的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是 n − r ( A ) n - r(A) n−r(A)，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2)  η 1 , η 2 , ⋯   , η t \\eta\_\{1\},\\eta\_\{2\},\\cdots,\\eta\_\{t\} η1,η2,⋯,ηt是 A x = 0 \{Ax\} = 0 Ax=0的基础解系，即：

1.   η 1 , η 2 , ⋯   , η t \\eta\_\{1\},\\eta\_\{2\},\\cdots,\\eta\_\{t\} η1,η2,⋯,ηt是 A x = 0 \{Ax\} = 0 Ax=0的解；
2.   η 1 , η 2 , ⋯   , η t \\eta\_\{1\},\\eta\_\{2\},\\cdots,\\eta\_\{t\} η1,η2,⋯,ηt线性无关；
3.   A x = 0 \{Ax\} = 0 Ax=0的任一解都可以由 η 1 , η 2 , ⋯   , η t \\eta\_\{1\},\\eta\_\{2\},\\cdots,\\eta\_\{t\} η1,η2,⋯,ηt线性表出.  
     k 1 η 1 + k 2 η 2 + ⋯ + k t η t k\_\{1\}\\eta\_\{1\} + k\_\{2\}\\eta\_\{2\} + \\cdots + k\_\{t\}\\eta\_\{t\} k1η1\+k2η2\+⋯\+ktηt是 A x = 0 \{Ax\} = 0 Ax=0的通解，其中 k 1 , k 2 , ⋯   , k t k\_\{1\},k\_\{2\},\\cdots,k\_\{t\} k1,k2,⋯,kt是任意常数。

#### 矩阵的特征值和特征向量 ####

**1.矩阵的特征值和特征向量的概念及性质**

(1) 设 λ \\lambda λ是 A A A的一个特征值，则  k A , a A + b E , A 2 , A m , f ( A ) , A T , A − 1 , A ∗ \{kA\},\{aA\} + \{bE\},A^\{2\},A^\{m\},f(A),A^\{T\},A^\{- 1\},A^\{\*\} kA,aA\+bE,A2,Am,f(A),AT,A−1,A∗有一个特征值分别为  
 k λ , a λ + b , λ 2 , λ m , f ( λ ) , λ , λ − 1 , ∣ A ∣ λ , \{kλ\},\{aλ\} + b,\\lambda^\{2\},\\lambda^\{m\},f(\\lambda),\\lambda,\\lambda^\{- 1\},\\frac\{|A|\}\{\\lambda\}, kλ,aλ\+b,λ2,λm,f(λ),λ,λ−1,λ∣A∣,且对应特征向量相同（ A T A^\{T\} AT 例外）。

(2)若 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n \\lambda\_\{1\},\\lambda\_\{2\},\\cdots,\\lambda\_\{n\} λ1,λ2,⋯,λn为 A A A的 n n n个特征值，则 ∑ i = 1 n λ i = ∑ i = 1 n a i i , ∏ i = 1 n λ i = ∣ A ∣ \\sum\_\{i= 1\}^\{n\}\\lambda\_\{i\} = \\sum\_\{i = 1\}^\{n\}a\_\{ \{ii\}\},\\prod\_\{i = 1\}^\{n\}\\lambda\_\{i\}= |A| ∑i=1nλi=∑i=1naii,∏i=1nλi=∣A∣ ,从而 ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ A |A| \\neq 0 \\Leftrightarrow A ∣A∣=0⇔A没有特征值。

(3)设 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ s \\lambda\_\{1\},\\lambda\_\{2\},\\cdots,\\lambda\_\{s\} λ1,λ2,⋯,λs为 A A A的 s s s个特征值，对应特征向量为 α 1 , α 2 , ⋯   , α s \\alpha\_\{1\},\\alpha\_\{2\},\\cdots,\\alpha\_\{s\} α1,α2,⋯,αs，

若:  α = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k s α s \\alpha = k\_\{1\}\\alpha\_\{1\} + k\_\{2\}\\alpha\_\{2\} + \\cdots + k\_\{s\}\\alpha\_\{s\} α=k1α1\+k2α2\+⋯\+ksαs ,

则:  A n α = k 1 A n α 1 + k 2 A n α 2 + ⋯ + k s A n α s = k 1 λ 1 n α 1 + k 2 λ 2 n α 2 + ⋯ k s λ s n α s A^\{n\}\\alpha = k\_\{1\}A^\{n\}\\alpha\_\{1\} + k\_\{2\}A^\{n\}\\alpha\_\{2\} + \\cdots +k\_\{s\}A^\{n\}\\alpha\_\{s\} = k\_\{1\}\\lambda\_\{1\}^\{n\}\\alpha\_\{1\} +k\_\{2\}\\lambda\_\{2\}^\{n\}\\alpha\_\{2\} + \\cdots k\_\{s\}\\lambda\_\{s\}^\{n\}\\alpha\_\{s\} Anα=k1Anα1\+k2Anα2\+⋯\+ksAnαs=k1λ1nα1\+k2λ2nα2\+⋯ksλsnαs 。

**2.相似变换、相似矩阵的概念及性质**

(1) 若 A ∼ B A \\sim B A∼B，则

1.   A T ∼ B T , A − 1 ∼ B − 1 , , A ∗ ∼ B ∗ A^\{T\} \\sim B^\{T\},A^\{- 1\} \\sim B^\{- 1\},,A^\{\*\} \\sim B^\{\*\} AT∼BT,A−1∼B−1,,A∗∼B∗
2.   ∣ A ∣ = ∣ B ∣ , ∑ i = 1 n A i i = ∑ i = 1 n b i i , r ( A ) = r ( B ) |A| = |B|,\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}A\_\{ \{ii\}\} = \\sum\_\{i =1\}^\{n\}b\_\{ \{ii\}\},r(A) = r(B) ∣A∣=∣B∣,∑i=1nAii=∑i=1nbii,r(A)=r(B)
3.   ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ |\\lambda E - A| = |\\lambda E - B| ∣λE−A∣=∣λE−B∣，对 ∀ λ \\forall\\lambda ∀λ成立

**3.矩阵可相似对角化的充分必要条件**

(1)设 A A A为 n n n阶方阵，则 A A A可对角化 ⇔ \\Leftrightarrow ⇔对每个 k i k\_\{i\} ki重根特征值 λ i \\lambda\_\{i\} λi，有 n − r ( λ i E − A ) = k i n-r(\\lambda\_\{i\}E - A) = k\_\{i\} n−r(λiE−A)=ki

(2) 设 A A A可对角化，则由 P − 1 A P = Λ , P^\{- 1\}\{AP\} = \\Lambda, P−1AP=Λ,有 A = P Λ P − 1 A = \{PΛ\}P^\{-1\} A=PΛP−1，从而 A n = P Λ n P − 1 A^\{n\} = P\\Lambda^\{n\}P^\{- 1\} An=PΛnP−1

(3) 重要结论

1.  若 A ∼ B , C ∼ D A \\sim B,C \\sim D A∼B,C∼D，则 \[ A O O C \] ∼ \[ B O O D \] \\begin\{bmatrix\} A & O \\\\ O & C \\\\\\end\{bmatrix\} \\sim \\begin\{bmatrix\} B & O \\\\ O & D \\\\\\end\{bmatrix\} \[AOOC\]∼\[BOOD\].
2.  若 A ∼ B A \\sim B A∼B，则 f ( A ) ∼ f ( B ) , ∣ f ( A ) ∣ ∼ ∣ f ( B ) ∣ f(A) \\sim f(B),\\left| f(A) \\right| \\sim \\left| f(B)\\right| f(A)∼f(B),∣f(A)∣∼∣f(B)∣，其中 f ( A ) f(A) f(A)为关于 n n n阶方阵 A A A的多项式。
3.  若 A A A为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数(重根重复计算)＝秩( A A A)

**4.实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵**

(1)相似矩阵：设 A , B A,B A,B为两个 n n n阶方阵，如果存在一个可逆矩阵 P P P，使得 B = P − 1 A P B =P^\{- 1\}\{AP\} B=P−1AP成立，则称矩阵 A A A与 B B B相似，记为 A ∼ B A \\sim B A∼B。

(2)相似矩阵的性质：如果 A ∼ B A \\sim B A∼B则有：

1.   A T ∼ B T A^\{T\} \\sim B^\{T\} AT∼BT
2.   A − 1 ∼ B − 1 A^\{- 1\} \\sim B^\{- 1\} A−1∼B−1 （若 A A A， B B B均可逆）
3.   A k ∼ B k A^\{k\} \\sim B^\{k\} Ak∼Bk （ k k k为正整数）
4.   ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ \\left| \{λE\} - A \\right| = \\left| \{λE\} - B \\right| ∣λE−A∣=∣λE−B∣，从而 A , B A,B A,B  
    有相同的特征值
5.   ∣ A ∣ = ∣ B ∣ \\left| A \\right| = \\left| B \\right| ∣A∣=∣B∣，从而 A , B A,B A,B同时可逆或者不可逆
6.  秩 ( A ) = \\left( A \\right) = (A)=秩 ( B ) , ∣ λ E − A ∣ = ∣ λ E − B ∣ \\left( B \\right),\\left| \{λE\} - A \\right| =\\left| \{λE\} - B \\right| (B),∣λE−A∣=∣λE−B∣， A , B A,B A,B不一定相似

#### 二次型 ####

**1.** n \\mathbf\{n\} n**个变量** x 1 , x 2 , ⋯   , x n \\mathbf\{x\}\_\{\\mathbf\{1\}\}\\mathbf\{,\}\\mathbf\{x\}\_\{\\mathbf\{2\}\}\\mathbf\{,\\cdots,\}\\mathbf\{x\}\_\{\\mathbf\{n\}\} x1,x2,⋯,xn**的二次齐次函数**

f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i y j f(x\_\{1\},x\_\{2\},\\cdots,x\_\{n\}) = \\sum\_\{i = 1\}^\{n\}\{\\sum\_\{j =1\}^\{n\}\{a\_\{ \{ij\}\}x\_\{i\}y\_\{j\}\}\} f(x1,x2,⋯,xn)=∑i=1n∑j=1naijxiyj，其中 a i j = a j i ( i , j = 1 , 2 , ⋯   , n ) a\_\{ \{ij\}\} = a\_\{ \{ji\}\}(i,j =1,2,\\cdots,n) aij=aji(i,j=1,2,⋯,n)，称为 n n n元二次型，简称二次型. 若令 x =   \[ x 1 x 1 ⋮ x n \] , A = \[ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a n 1 a n 2 ⋯ a n n \] x = \\ \\begin\{bmatrix\}x\_\{1\} \\\\ x\_\{1\} \\\\ \\vdots \\\\ x\_\{n\} \\\\ \\end\{bmatrix\},A = \\begin\{bmatrix\} a\_\{11\}& a\_\{12\}& \\cdots & a\_\{1n\} \\\\ a\_\{21\}& a\_\{22\}& \\cdots & a\_\{2n\} \\\\ \\cdots &\\cdots &\\cdots &\\cdots \\\\ a\_\{n1\}& a\_\{n2\} & \\cdots & a\_\{ \{nn\}\} \\\\\\end\{bmatrix\} x= ⎣⎢⎢⎢⎡x1x1⋮xn⎦⎥⎥⎥⎤,A=⎣⎢⎢⎡a11a21⋯an1a12a22⋯an2⋯⋯⋯⋯a1na2n⋯ann⎦⎥⎥⎤,这二次型 f f f可改写成矩阵向量形式 f = x T A x f =x^\{T\}\{Ax\} f=xTAx。其中 A A A称为二次型矩阵，因为 a i j = a j i ( i , j = 1 , 2 , ⋯   , n ) a\_\{ \{ij\}\} =a\_\{ \{ji\}\}(i,j =1,2,\\cdots,n) aij=aji(i,j=1,2,⋯,n)，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵 A A A的秩称为二次型的秩。

**2.惯性定理，二次型的标准形和规范形**

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型 f = ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = x T A x f = \\left( x\_\{1\},x\_\{2\},\\cdots,x\_\{n\} \\right) =x^\{T\}\{Ax\} f=(x1,x2,⋯,xn)=xTAx经过合同变换 x = C y x = \{Cy\} x=Cy化为 f = x T A x = y T C T A C f = x^\{T\}\{Ax\} =y^\{T\}C^\{T\}\{AC\} f=xTAx=yTCTAC

y = ∑ i = 1 r d i y i 2 y = \\sum\_\{i = 1\}^\{r\}\{d\_\{i\}y\_\{i\}^\{2\}\} y=∑i=1rdiyi2称为  f ( r ≤ n ) f(r \\leq n) f(r≤n)的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由 r ( A ) r(A) r(A)唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型 f f f都可经过合同变换化为规范形 f = z 1 2 + z 2 2 + ⋯ z p 2 − z p + 1 2 − ⋯ − z r 2 f = z\_\{1\}^\{2\} + z\_\{2\}^\{2\} + \\cdots z\_\{p\}^\{2\} - z\_\{p + 1\}^\{2\} - \\cdots -z\_\{r\}^\{2\} f=z12\+z22\+⋯zp2−zp\+12−⋯−zr2，其中 r r r为 A A A的秩， p p p为正惯性指数， r − p r -p r−p为负惯性指数，且规范型唯一。

**3.用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性**

设 A A A正定 ⇒ k A ( k > 0 ) , A T , A − 1 , A ∗ \\Rightarrow \{kA\}(k > 0),A^\{T\},A^\{- 1\},A^\{\*\} ⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗正定； ∣ A ∣ > 0 |A| >0 ∣A∣>0, A A A可逆； a i i > 0 a\_\{ \{ii\}\} > 0 aii>0，且 ∣ A i i ∣ > 0 |A\_\{ \{ii\}\}| > 0 ∣Aii∣>0

A A A， B B B正定 ⇒ A + B \\Rightarrow A +B ⇒A\+B正定，但 A B \{AB\} AB， B A \{BA\} BA不一定正定

A A A正定 ⇔ f ( x ) = x T A x > 0 , ∀ x ≠ 0 \\Leftrightarrow f(x) = x^\{T\}\{Ax\} > 0,\\forall x \\neq 0 ⇔f(x)=xTAx>0,∀x=0

⇔ A \\Leftrightarrow A ⇔A的各阶顺序主子式全大于零

⇔ A \\Leftrightarrow A ⇔A的所有特征值大于零

⇔ A \\Leftrightarrow A ⇔A的正惯性指数为 n n n

⇔ \\Leftrightarrow ⇔存在可逆阵 P P P使 A = P T P A = P^\{T\}P A=PTP

⇔ \\Leftrightarrow ⇔存在正交矩阵 Q Q Q，使 Q T A Q = Q − 1 A Q = ( λ 1 ⋱ λ n ) , Q^\{T\}\{AQ\} = Q^\{- 1\}\{AQ\} =\\begin\{pmatrix\} \\lambda\_\{1\} & & \\\\ \\begin\{matrix\} & \\\\ & \\\\ \\end\{matrix\} &\\ddots & \\\\ & & \\lambda\_\{n\} \\\\ \\end\{pmatrix\}, QTAQ=Q−1AQ=⎝⎜⎜⎛λ1⋱λn⎠⎟⎟⎞,

其中 λ i > 0 , i = 1 , 2 , ⋯   , n . \\lambda\_\{i\} > 0,i = 1,2,\\cdots,n. λi>0,i=1,2,⋯,n.正定 ⇒ k A ( k > 0 ) , A T , A − 1 , A ∗ \\Rightarrow \{kA\}(k >0),A^\{T\},A^\{- 1\},A^\{\*\} ⇒kA(k>0),AT,A−1,A∗正定；  ∣ A ∣ > 0 , A |A| > 0,A ∣A∣>0,A可逆； a i i > 0 a\_\{ \{ii\}\} >0 aii>0，且 ∣ A i i ∣ > 0 |A\_\{ \{ii\}\}| > 0 ∣Aii∣>0 。

### 概率论和数理统计 ###

#### 随机事件和概率 ####

**1.事件的关系与运算**

(1) 子事件： A ⊂ B A \\subset B A⊂B，若 A A A发生，则 B B B发生。

(2) 相等事件： A = B A = B A=B，即 A ⊂ B A \\subset B A⊂B，且 B ⊂ A B \\subset A B⊂A 。

(3) 和事件： A ⋃ B A\\bigcup B A⋃B（或 A + B A + B A\+B）， A A A与 B B B中至少有一个发生。

(4) 差事件： A − B A - B A−B， A A A发生但 B B B不发生。

(5) 积事件： A ⋂ B A\\bigcap B A⋂B（或 A B \{AB\} AB）， A A A与 B B B同时发生。

(6) 互斥事件（互不相容）： A ⋂ B A\\bigcap B A⋂B= ∅ \\varnothing ∅。

(7) 互逆事件（对立事件）：  
 A ⋂ B = ∅ , A ⋃ B = Ω , A = B ˉ , B = A ˉ A\\bigcap B=\\varnothing ,A\\bigcup B=\\Omega ,A=\\bar\{B\},B=\\bar\{A\} A⋂B=∅,A⋃B=Ω,A=Bˉ,B=Aˉ  
**2.运算律**  
(1) 交换律： A ⋃ B = B ⋃ A , A ⋂ B = B ⋂ A A\\bigcup B=B\\bigcup A,A\\bigcap B=B\\bigcap A A⋃B=B⋃A,A⋂B=B⋂A  
(2) 结合律： ( A ⋃ B ) ⋃ C = A ⋃ ( B ⋃ C ) (A\\bigcup B)\\bigcup C=A\\bigcup (B\\bigcup C) (A⋃B)⋃C=A⋃(B⋃C)  
(3) 分配律： ( A ⋂ B ) ⋂ C = A ⋂ ( B ⋂ C ) (A\\bigcap B)\\bigcap C=A\\bigcap (B\\bigcap C) (A⋂B)⋂C=A⋂(B⋂C)  
**3.德$\\centerdot $摩根律**

A ⋃ B ‾ = A ˉ ⋂ B ˉ \\overline\{A\\bigcup B\}=\\bar\{A\}\\bigcap \\bar\{B\} A⋃B=Aˉ⋂Bˉ  A ⋂ B ‾ = A ˉ ⋃ B ˉ \\overline\{A\\bigcap B\}=\\bar\{A\}\\bigcup \\bar\{B\} A⋂B=Aˉ⋃Bˉ  
**4.完全事件组**

A 1 A 2 ⋯ A n \{ \{A\}\_\{1\}\}\{ \{A\}\_\{2\}\}\\cdots \{ \{A\}\_\{n\}\} A1A2⋯An两两互斥，且和事件为必然事件，即$\{ \{A\}*\{i\}\}\\bigcap \{ \{A\}*\{j\}\}=\\varnothing, i\\ne j ,\\underset\{i=1\}\{\\overset\{n\}\{\\mathop \\bigcup \}\},=\\Omega $

**5.概率的基本公式**  
(1)条件概率:  
 P ( B ∣ A ) = P ( A B ) P ( A ) P(B|A)=\\frac\{P(AB)\}\{P(A)\} P(B∣A)=P(A)P(AB),表示 A A A发生的条件下， B B B发生的概率。  
(2)全概率公式：  
$P(A)=\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{n\}\{P(A|\{ \{B\}*\{i\}\})P(\{ \{B\}*\{i\}\}),\{ \{B\}*\{i\}\}\{ \{B\}*\{j\}\}\}=\\varnothing ,i\\ne j,\\underset\{i=1\}\{\\overset\{n\}\{\\mathop\{\\bigcup \}\}\},\{ \{B\}\_\{i\}\}=\\Omega $  
(3) Bayes公式：

P ( B j ∣ A ) = P ( A ∣ B j ) P ( B j ) ∑ i = 1 n P ( A ∣ B i ) P ( B i ) , j = 1 , 2 , ⋯   , n P(\{ \{B\}\_\{j\}\}|A)=\\frac\{P(A|\{ \{B\}\_\{j\}\})P(\{ \{B\}\_\{j\}\})\}\{\\sum\\limits\_\{i=1\}^\{n\}\{P(A|\{ \{B\}\_\{i\}\})P(\{ \{B\}\_\{i\}\})\}\},j=1,2,\\cdots ,n P(Bj∣A)=i=1∑nP(A∣Bi)P(Bi)P(A∣Bj)P(Bj),j=1,2,⋯,n  
注：上述公式中事件 B i \{ \{B\}\_\{i\}\} Bi的个数可为可列个。  
(4)乘法公式：  
 P ( A 1 A 2 ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) = P ( A 2 ) P ( A 1 ∣ A 2 ) P(\{ \{A\}\_\{1\}\}\{ \{A\}\_\{2\}\})=P(\{ \{A\}\_\{1\}\})P(\{ \{A\}\_\{2\}\}|\{ \{A\}\_\{1\}\})=P(\{ \{A\}\_\{2\}\})P(\{ \{A\}\_\{1\}\}|\{ \{A\}\_\{2\}\}) P(A1A2)=P(A1)P(A2∣A1)=P(A2)P(A1∣A2)  
 P ( A 1 A 2 ⋯ A n ) = P ( A 1 ) P ( A 2 ∣ A 1 ) P ( A 3 ∣ A 1 A 2 ) ⋯ P ( A n ∣ A 1 A 2 ⋯ A n − 1 ) P(\{ \{A\}\_\{1\}\}\{ \{A\}\_\{2\}\}\\cdots \{ \{A\}\_\{n\}\})=P(\{ \{A\}\_\{1\}\})P(\{ \{A\}\_\{2\}\}|\{ \{A\}\_\{1\}\})P(\{ \{A\}\_\{3\}\}|\{ \{A\}\_\{1\}\}\{ \{A\}\_\{2\}\})\\cdots P(\{ \{A\}\_\{n\}\}|\{ \{A\}\_\{1\}\}\{ \{A\}\_\{2\}\}\\cdots \{ \{A\}\_\{n-1\}\}) P(A1A2⋯An)=P(A1)P(A2∣A1)P(A3∣A1A2)⋯P(An∣A1A2⋯An−1)

**6.事件的独立性**  
(1) A A A与 B B B相互独立 ⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) \\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B) ⇔P(AB)=P(A)P(B)  
(2) A A A， B B B， C C C两两独立  
 ⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) \\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B) ⇔P(AB)=P(A)P(B); P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P(BC)=P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C) ; P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P(AC)=P(A)P(C) P(AC)=P(A)P(C);  
(3) A A A， B B B， C C C相互独立  
 ⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) \\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B) ⇔P(AB)=P(A)P(B);  P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) P(BC)=P(B)P(C) P(BC)=P(B)P(C) ;  
 P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) P(AC)=P(A)P(C) P(AC)=P(A)P(C) ;  P ( A B C ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

**7.独立重复试验**

将某试验独立重复 n n n次，若每次实验中事件A发生的概率为 p p p，则 n n n次试验中 A A A发生 k k k次的概率为：  
 P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k P(X=k)=C\_\{n\}^\{k\}\{ \{p\}^\{k\}\}\{ \{(1-p)\}^\{n-k\}\} P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k  
**8.重要公式与结论**  
 ( 1 ) P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) (1)P(\\bar\{A\})=1-P(A) (1)P(Aˉ)=1−P(A)  
 ( 2 ) P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) (2)P(A\\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB) (2)P(A⋃B)=P(A)\+P(B)−P(AB)  
 P ( A ⋃ B ⋃ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( B C ) − P ( A C ) + P ( A B C ) P(A\\bigcup B\\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC) P(A⋃B⋃C)=P(A)\+P(B)\+P(C)−P(AB)−P(BC)−P(AC)\+P(ABC)  
 ( 3 ) P ( A − B ) = P ( A ) − P ( A B ) (3)P(A-B)=P(A)-P(AB) (3)P(A−B)=P(A)−P(AB)  
 ( 4 ) P ( A B ˉ ) = P ( A ) − P ( A B ) , P ( A ) = P ( A B ) + P ( A B ˉ ) , (4)P(A\\bar\{B\})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\\bar\{B\}), (4)P(ABˉ)=P(A)−P(AB),P(A)=P(AB)\+P(ABˉ),  
 P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( A ˉ B ) = P ( A B ) + P ( A B ˉ ) + P ( A ˉ B ) P(A\\bigcup B)=P(A)+P(\\bar\{A\}B)=P(AB)+P(A\\bar\{B\})+P(\\bar\{A\}B) P(A⋃B)=P(A)\+P(AˉB)=P(AB)\+P(ABˉ)\+P(AˉB)  
(5)条件概率 P ( ⋅ ∣ B ) P(\\centerdot |B) P(⋅∣B)满足概率的所有性质，  
例如：.  P ( A ˉ 1 ∣ B ) = 1 − P ( A 1 ∣ B ) P(\{ \{\\bar\{A\}\}\_\{1\}\}|B)=1-P(\{ \{A\}\_\{1\}\}|B) P(Aˉ1∣B)=1−P(A1∣B)  
 P ( A 1 ⋃ A 2 ∣ B ) = P ( A 1 ∣ B ) + P ( A 2 ∣ B ) − P ( A 1 A 2 ∣ B ) P(\{ \{A\}\_\{1\}\}\\bigcup \{ \{A\}\_\{2\}\}|B)=P(\{ \{A\}\_\{1\}\}|B)+P(\{ \{A\}\_\{2\}\}|B)-P(\{ \{A\}\_\{1\}\}\{ \{A\}\_\{2\}\}|B) P(A1⋃A2∣B)=P(A1∣B)\+P(A2∣B)−P(A1A2∣B)  
 P ( A 1 A 2 ∣ B ) = P ( A 1 ∣ B ) P ( A 2 ∣ A 1 B ) P(\{ \{A\}\_\{1\}\}\{ \{A\}\_\{2\}\}|B)=P(\{ \{A\}\_\{1\}\}|B)P(\{ \{A\}\_\{2\}\}|\{ \{A\}\_\{1\}\}B) P(A1A2∣B)=P(A1∣B)P(A2∣A1B)  
(6)若 A 1 , A 2 , ⋯   , A n \{ \{A\}\_\{1\}\},\{ \{A\}\_\{2\}\},\\cdots ,\{ \{A\}\_\{n\}\} A1,A2,⋯,An相互独立，则 P ( ⋂ i = 1 n A i ) = ∏ i = 1 n P ( A i ) , P(\\bigcap\\limits\_\{i=1\}^\{n\}\{ \{ \{A\}\_\{i\}\}\})=\\prod\\limits\_\{i=1\}^\{n\}\{P(\{ \{A\}\_\{i\}\})\}, P(i=1⋂nAi)=i=1∏nP(Ai),  
 P ( ⋃ i = 1 n A i ) = ∏ i = 1 n ( 1 − P ( A i ) ) P(\\bigcup\\limits\_\{i=1\}^\{n\}\{ \{ \{A\}\_\{i\}\}\})=\\prod\\limits\_\{i=1\}^\{n\}\{(1-P(\{ \{A\}\_\{i\}\}))\} P(i=1⋃nAi)=i=1∏n(1−P(Ai))  
(7)互斥、互逆与独立性之间的关系：  
 A A A与 B B B互逆 ⇒ \\Rightarrow ⇒  A A A与 B B B互斥，但反之不成立， A A A与 B B B互斥（或互逆）且均非零概率事件$\\Rightarrow $ A A A与 B B B不独立.  
(8)若 A 1 , A 2 , ⋯   , A m , B 1 , B 2 , ⋯   , B n \{ \{A\}\_\{1\}\},\{ \{A\}\_\{2\}\},\\cdots ,\{ \{A\}\_\{m\}\},\{ \{B\}\_\{1\}\},\{ \{B\}\_\{2\}\},\\cdots ,\{ \{B\}\_\{n\}\} A1,A2,⋯,Am,B1,B2,⋯,Bn相互独立，则 f ( A 1 , A 2 , ⋯   , A m ) f(\{ \{A\}\_\{1\}\},\{ \{A\}\_\{2\}\},\\cdots ,\{ \{A\}\_\{m\}\}) f(A1,A2,⋯,Am)与 g ( B 1 , B 2 , ⋯   , B n ) g(\{ \{B\}\_\{1\}\},\{ \{B\}\_\{2\}\},\\cdots ,\{ \{B\}\_\{n\}\}) g(B1,B2,⋯,Bn)也相互独立，其中 f ( ⋅ ) , g ( ⋅ ) f(\\centerdot ),g(\\centerdot ) f(⋅),g(⋅)分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为1（或0）的事件与任何事件相互独立.

#### 随机变量及其概率分布 ####

**1.随机变量及概率分布**

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

**2.分布函数的概念与性质**

定义：  F ( x ) = P ( X ≤ x ) , − ∞ < x < + ∞ F(x) = P(X \\leq x), - \\infty < x < + \\infty F(x)=P(X≤x),−∞<x<\+∞

性质：(1) 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0 \\leq F(x) \\leq 1 0≤F(x)≤1

(2)  F ( x ) F(x) F(x)单调不减

(3) 右连续 F ( x + 0 ) = F ( x ) F(x + 0) = F(x) F(x\+0)=F(x)

(4)  F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F( - \\infty) = 0,F( + \\infty) = 1 F(−∞)=0,F(\+∞)=1

**3.离散型随机变量的概率分布**

P ( X = x i ) = p i , i = 1 , 2 , ⋯   , n , ⋯ p i ≥ 0 , ∑ i = 1 ∞ p i = 1 P(X = x\_\{i\}) = p\_\{i\},i = 1,2,\\cdots,n,\\cdots\\quad\\quad p\_\{i\} \\geq 0,\\sum\_\{i =1\}^\{\\infty\}p\_\{i\} = 1 P(X=xi)=pi,i=1,2,⋯,n,⋯pi≥0,∑i=1∞pi=1

**4.连续型随机变量的概率密度**

概率密度 f ( x ) f(x) f(x);非负可积，且:

(1) f ( x ) ≥ 0 , f(x) \\geq 0, f(x)≥0,

(2) ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 \\int\_\{- \\infty\}^\{+\\infty\}\{f(x)\{dx\} = 1\} ∫−∞\+∞f(x)dx=1

(3) x x x为 f ( x ) f(x) f(x)的连续点，则:

f ( x ) = F ′ ( x ) f(x) = F'(x) f(x)=F′(x)分布函数 F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x) = \\int\_\{- \\infty\}^\{x\}\{f(t)\{dt\}\} F(x)=∫−∞xf(t)dt

**5.常见分布**

(1) 0-1分布: P ( X = k ) = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 P(X = k) = p^\{k\}\{(1 - p)\}^\{1 - k\},k = 0,1 P(X=k)=pk(1−p)1−k,k=0,1

(2) 二项分布: B ( n , p ) B(n,p) B(n,p)：  P ( X = k ) = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯   , n P(X = k) = C\_\{n\}^\{k\}p^\{k\}\{(1 - p)\}^\{n - k\},k =0,1,\\cdots,n P(X=k)=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n

(3) **Poisson**分布: p ( λ ) p(\\lambda) p(λ)：  P ( X = k ) = λ k k ! e − λ , λ > 0 , k = 0 , 1 , 2 ⋯ P(X = k) = \\frac\{\\lambda^\{k\}\}\{k!\}e^\{-\\lambda\},\\lambda > 0,k = 0,1,2\\cdots P(X=k)=k!λke−λ,λ>0,k=0,1,2⋯

(4) 均匀分布 U ( a , b ) U(a,b) U(a,b)：$f(x) = \{ \\begin\{matrix\} & \\frac\{1\}\{b - a\},a < x< b \\ & 0, \\ \\end\{matrix\} $

(5) 正态分布: N ( μ , σ 2 ) : N(\\mu,\\sigma^\{2\}): N(μ,σ2):  φ ( x ) = 1 2 π σ e − ( x − μ ) 2 2 σ 2 , σ > 0 , ∞ < x < + ∞ \\varphi(x) =\\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\\sigma\}e^\{- \\frac\{ \{(x - \\mu)\}^\{2\}\}\{2\\sigma^\{2\}\}\},\\sigma > 0,\\infty < x < + \\infty φ(x)=2πσ1e−2σ2(x−μ)2,σ>0,∞<x<\+∞

(6)指数分布:$E(\\lambda):f(x) =\{ \\begin\{matrix\} & \\lambda e^\{-\{λx\}\},x > 0,\\lambda > 0 \\ & 0, \\ \\end\{matrix\} $

(7)几何分布: G ( p ) : P ( X = k ) = ( 1 − p ) k − 1 p , 0 < p < 1 , k = 1 , 2 , ⋯   . G(p):P(X = k) = \{(1 - p)\}^\{k - 1\}p,0 < p < 1,k = 1,2,\\cdots. G(p):P(X=k)=(1−p)k−1p,0<p<1,k=1,2,⋯.

(8)超几何分布:  H ( N , M , n ) : P ( X = k ) = C M k C N − M n − k C N n , k = 0 , 1 , ⋯   , m i n ( n , M ) H(N,M,n):P(X = k) = \\frac\{C\_\{M\}^\{k\}C\_\{N - M\}^\{n -k\}\}\{C\_\{N\}^\{n\}\},k =0,1,\\cdots,min(n,M) H(N,M,n):P(X=k)=CNnCMkCN−Mn−k,k=0,1,⋯,min(n,M)

**6.随机变量函数的概率分布**

(1)离散型： P ( X = x 1 ) = p i , Y = g ( X ) P(X = x\_\{1\}) = p\_\{i\},Y = g(X) P(X=x1)=pi,Y=g(X)

则:  P ( Y = y j ) = ∑ g ( x i ) = y i P ( X = x i ) P(Y = y\_\{j\}) = \\sum\_\{g(x\_\{i\}) = y\_\{i\}\}^\{\}\{P(X = x\_\{i\})\} P(Y=yj)=∑g(xi)=yiP(X=xi)

(2)连续型： X   ~ f X ( x ) , Y = g ( x ) X\\tilde\{\\ \}f\_\{X\}(x),Y = g(x) X ~fX(x),Y=g(x)

则: F y ( y ) = P ( Y ≤ y ) = P ( g ( X ) ≤ y ) = ∫ g ( x ) ≤ y f x ( x ) d x F\_\{y\}(y) = P(Y \\leq y) = P(g(X) \\leq y) = \\int\_\{g(x) \\leq y\}^\{\}\{f\_\{x\}(x)dx\} Fy(y)=P(Y≤y)=P(g(X)≤y)=∫g(x)≤yfx(x)dx，  f Y ( y ) = F Y ′ ( y ) f\_\{Y\}(y) = F'\_\{Y\}(y) fY(y)=FY′(y)

**7.重要公式与结论**

(1)  X ∼ N ( 0 , 1 ) ⇒ φ ( 0 ) = 1 2 π , Φ ( 0 ) = 1 2 , X\\sim N(0,1) \\Rightarrow \\varphi(0) = \\frac\{1\}\{\\sqrt\{2\\pi\}\},\\Phi(0) =\\frac\{1\}\{2\}, X∼N(0,1)⇒φ(0)=2π1,Φ(0)=21,  Φ ( − a ) = P ( X ≤ − a ) = 1 − Φ ( a ) \\Phi( - a) = P(X \\leq - a) = 1 - \\Phi(a) Φ(−a)=P(X≤−a)=1−Φ(a)

(2)  X ∼ N ( μ , σ 2 ) ⇒ X − μ σ ∼ N ( 0 , 1 ) , P ( X ≤ a ) = Φ ( a − μ σ ) X\\sim N\\left( \\mu,\\sigma^\{2\} \\right) \\Rightarrow \\frac\{X -\\mu\}\{\\sigma\}\\sim N\\left( 0,1 \\right),P(X \\leq a) = \\Phi(\\frac\{a -\\mu\}\{\\sigma\}) X∼N(μ,σ2)⇒σX−μ∼N(0,1),P(X≤a)=Φ(σa−μ)

(3)  X ∼ E ( λ ) ⇒ P ( X > s + t ∣ X > s ) = P ( X > t ) X\\sim E(\\lambda) \\Rightarrow P(X > s + t|X > s) = P(X > t) X∼E(λ)⇒P(X>s\+t∣X>s)=P(X>t)

(4)  X ∼ G ( p ) ⇒ P ( X = m + k ∣ X > m ) = P ( X = k ) X\\sim G(p) \\Rightarrow P(X = m + k|X > m) = P(X = k) X∼G(p)⇒P(X=m\+k∣X>m)=P(X=k)

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

#### 多维随机变量及其分布 ####

**1.二维随机变量及其联合分布**

由两个随机变量构成的随机向量 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)， 联合分布为 F ( x , y ) = P ( X ≤ x , Y ≤ y ) F(x,y) = P(X \\leq x,Y \\leq y) F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)

**2.二维离散型随机变量的分布**

(1) 联合概率分布律  P \{ X = x i , Y = y j \} = p i j ; i , j = 1 , 2 , ⋯ P\\\{ X = x\_\{i\},Y = y\_\{j\}\\\} = p\_\{ \{ij\}\};i,j =1,2,\\cdots P\{ X=xi,Y=yj\}=pij;i,j=1,2,⋯

(2) 边缘分布律  p i ⋅ = ∑ j = 1 ∞ p i j , i = 1 , 2 , ⋯ p\_\{i \\cdot\} = \\sum\_\{j = 1\}^\{\\infty\}p\_\{ \{ij\}\},i =1,2,\\cdots pi⋅=∑j=1∞pij,i=1,2,⋯  p ⋅ j = ∑ i ∞ p i j , j = 1 , 2 , ⋯ p\_\{\\cdot j\} = \\sum\_\{i\}^\{\\infty\}p\_\{ \{ij\}\},j = 1,2,\\cdots p⋅j=∑i∞pij,j=1,2,⋯

(3) 条件分布律  P \{ X = x i ∣ Y = y j \} = p i j p ⋅ j P\\\{ X = x\_\{i\}|Y = y\_\{j\}\\\} = \\frac\{p\_\{ \{ij\}\}\}\{p\_\{\\cdot j\}\} P\{ X=xi∣Y=yj\}=p⋅jpij  
 P \{ Y = y j ∣ X = x i \} = p i j p i ⋅ P\\\{ Y = y\_\{j\}|X = x\_\{i\}\\\} = \\frac\{p\_\{ \{ij\}\}\}\{p\_\{i \\cdot\}\} P\{ Y=yj∣X=xi\}=pi⋅pij

**3. 二维连续性随机变量的密度**

(1) 联合概率密度 f ( x , y ) : f(x,y): f(x,y):

1.   f ( x , y ) ≥ 0 f(x,y) \\geq 0 f(x,y)≥0
2.   ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x d y = 1 \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{\\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{f(x,y)dxdy\}\} = 1 ∫−∞\+∞∫−∞\+∞f(x,y)dxdy=1

(2) 分布函数： F ( x , y ) = ∫ − ∞ x ∫ − ∞ y f ( u , v ) d u d v F(x,y) = \\int\_\{- \\infty\}^\{x\}\{\\int\_\{- \\infty\}^\{y\}\{f(u,v)dudv\}\} F(x,y)=∫−∞x∫−∞yf(u,v)dudv

(3) 边缘概率密度：  f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y f\_\{X\}\\left( x \\right) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{f\\left( x,y \\right)\{dy\}\} fX(x)=∫−∞\+∞f(x,y)dy  f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f\_\{Y\}(y) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{f(x,y)dx\} fY(y)=∫−∞\+∞f(x,y)dx

(4) 条件概率密度： f X ∣ Y ( x | y ) = f ( x , y ) f Y ( y ) f\_\{X|Y\}\\left( x \\middle| y \\right) = \\frac\{f\\left( x,y \\right)\}\{f\_\{Y\}\\left( y \\right)\} fX∣Y(x∣y)=fY(y)f(x,y)  f Y ∣ X ( y ∣ x ) = f ( x , y ) f X ( x ) f\_\{Y|X\}(y|x) = \\frac\{f(x,y)\}\{f\_\{X\}(x)\} fY∣X(y∣x)=fX(x)f(x,y)

**4.常见二维随机变量的联合分布**

(1) 二维均匀分布： ( x , y ) ∼ U ( D ) (x,y) \\sim U(D) (x,y)∼U(D) , f ( x , y ) = \{ 1 S ( D ) , ( x , y ) ∈ D 0 , 其 他 f(x,y) = \\begin\{cases\} \\frac\{1\}\{S(D)\},(x,y) \\in D \\\\ 0,其他 \\end\{cases\} f(x,y)=\{ S(D)1,(x,y)∈D0,其他

(2) 二维正态分布： ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X,Y)\\sim N(\\mu\_\{1\},\\mu\_\{2\},\\sigma\_\{1\}^\{2\},\\sigma\_\{2\}^\{2\},\\rho) (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ), ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) (X,Y)\\sim N(\\mu\_\{1\},\\mu\_\{2\},\\sigma\_\{1\}^\{2\},\\sigma\_\{2\}^\{2\},\\rho) (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)

f ( x , y ) = 1 2 π σ 1 σ 2 1 − ρ 2 . exp ⁡ \{ − 1 2 ( 1 − ρ 2 ) \[ ( x − μ 1 ) 2 σ 1 2 − 2 ρ ( x − μ 1 ) ( y − μ 2 ) σ 1 σ 2 + ( y − μ 2 ) 2 σ 2 2 \] \} f(x,y) = \\frac\{1\}\{2\\pi\\sigma\_\{1\}\\sigma\_\{2\}\\sqrt\{1 - \\rho^\{2\}\}\}.\\exp\\left\\\{ \\frac\{- 1\}\{2(1 - \\rho^\{2\})\}\\lbrack\\frac\{ \{(x - \\mu\_\{1\})\}^\{2\}\}\{\\sigma\_\{1\}^\{2\}\} - 2\\rho\\frac\{(x - \\mu\_\{1\})(y - \\mu\_\{2\})\}\{\\sigma\_\{1\}\\sigma\_\{2\}\} + \\frac\{ \{(y - \\mu\_\{2\})\}^\{2\}\}\{\\sigma\_\{2\}^\{2\}\}\\rbrack \\right\\\} f(x,y)=2πσ1σ21−ρ21.exp\{ 2(1−ρ2)−1\[σ12(x−μ1)2−2ρσ1σ2(x−μ1)(y−μ2)\+σ22(y−μ2)2\]\}

**5.随机变量的独立性和相关性**

X X X和 Y Y Y的相互独立: ⇔ F ( x , y ) = F X ( x ) F Y ( y ) \\Leftrightarrow F\\left( x,y \\right) = F\_\{X\}\\left( x \\right)F\_\{Y\}\\left( y \\right) ⇔F(x,y)=FX(x)FY(y):

⇔ p i j = p i ⋅ ⋅ p ⋅ j \\Leftrightarrow p\_\{ \{ij\}\} = p\_\{i \\cdot\} \\cdot p\_\{\\cdot j\} ⇔pij=pi⋅⋅p⋅j（离散型）  
 ⇔ f ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) \\Leftrightarrow f\\left( x,y \\right) = f\_\{X\}\\left( x \\right)f\_\{Y\}\\left( y \\right) ⇔f(x,y)=fX(x)fY(y)（连续型）

X X X和 Y Y Y的相关性：

相关系数 ρ X Y = 0 \\rho\_\{ \{XY\}\} = 0 ρXY=0时，称 X X X和 Y Y Y不相关，  
否则称 X X X和 Y Y Y相关

**6.两个随机变量简单函数的概率分布**

离散型：  P ( X = x i , Y = y i ) = p i j , Z = g ( X , Y ) P\\left( X = x\_\{i\},Y = y\_\{i\} \\right) = p\_\{ \{ij\}\},Z = g\\left( X,Y \\right) P(X=xi,Y=yi)=pij,Z=g(X,Y) 则：

P ( Z = z k ) = P \{ g ( X , Y ) = z k \} = ∑ g ( x i , y i ) = z k P ( X = x i , Y = y j ) P(Z = z\_\{k\}) = P\\left\\\{ g\\left( X,Y \\right) = z\_\{k\} \\right\\\} = \\sum\_\{g\\left( x\_\{i\},y\_\{i\} \\right) = z\_\{k\}\}^\{\}\{P\\left( X = x\_\{i\},Y = y\_\{j\} \\right)\} P(Z=zk)=P\{ g(X,Y)=zk\}=∑g(xi,yi)=zkP(X=xi,Y=yj)

连续型：  ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) , Z = g ( X , Y ) \\left( X,Y \\right) \\sim f\\left( x,y \\right),Z = g\\left( X,Y \\right) (X,Y)∼f(x,y),Z=g(X,Y)  
则：

F z ( z ) = P \{ g ( X , Y ) ≤ z \} = ∬ g ( x , y ) ≤ z f ( x , y ) d x d y F\_\{z\}\\left( z \\right) = P\\left\\\{ g\\left( X,Y \\right) \\leq z \\right\\\} = \\iint\_\{g(x,y) \\leq z\}^\{\}\{f(x,y)dxdy\} Fz(z)=P\{ g(X,Y)≤z\}=∬g(x,y)≤zf(x,y)dxdy， f z ( z ) = F z ′ ( z ) f\_\{z\}(z) = F'\_\{z\}(z) fz(z)=Fz′(z)

**7.重要公式与结论**

(1) 边缘密度公式：  f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y , f\_\{X\}(x) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{f(x,y)dy,\} fX(x)=∫−∞\+∞f(x,y)dy,  
 f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x f\_\{Y\}(y) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{f(x,y)dx\} fY(y)=∫−∞\+∞f(x,y)dx

(2)  P \{ ( X , Y ) ∈ D \} = ∬ D f ( x , y ) d x d y P\\left\\\{ \\left( X,Y \\right) \\in D \\right\\\} = \\iint\_\{D\}^\{\}\{f\\left( x,y \\right)\{dxdy\}\} P\{ (X,Y)∈D\}=∬Df(x,y)dxdy

(3) 若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y)服从二维正态分布 N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , ρ ) N(\\mu\_\{1\},\\mu\_\{2\},\\sigma\_\{1\}^\{2\},\\sigma\_\{2\}^\{2\},\\rho) N(μ1,μ2,σ12,σ22,ρ)  
则有：

1.   X ∼ N ( μ 1 , σ 1 2 ) , Y ∼ N ( μ 2 , σ 2 2 ) . X\\sim N\\left( \\mu\_\{1\},\\sigma\_\{1\}^\{2\} \\right),Y\\sim N(\\mu\_\{2\},\\sigma\_\{2\}^\{2\}). X∼N(μ1,σ12),Y∼N(μ2,σ22).
2.   X X X与 Y Y Y相互独立 ⇔ ρ = 0 \\Leftrightarrow \\rho = 0 ⇔ρ=0，即 X X X与 Y Y Y不相关。
3.   C 1 X + C 2 Y ∼ N ( C 1 μ 1 + C 2 μ 2 , C 1 2 σ 1 2 + C 2 2 σ 2 2 + 2 C 1 C 2 σ 1 σ 2 ρ ) C\_\{1\}X + C\_\{2\}Y\\sim N(C\_\{1\}\\mu\_\{1\} + C\_\{2\}\\mu\_\{2\},C\_\{1\}^\{2\}\\sigma\_\{1\}^\{2\} + C\_\{2\}^\{2\}\\sigma\_\{2\}^\{2\} + 2C\_\{1\}C\_\{2\}\\sigma\_\{1\}\\sigma\_\{2\}\\rho) C1X\+C2Y∼N(C1μ1\+C2μ2,C12σ12\+C22σ22\+2C1C2σ1σ2ρ)
4.     X \{\\ X\}  X关于 Y = y Y=y Y=y的条件分布为：  N ( μ 1 + ρ σ 1 σ 2 ( y − μ 2 ) , σ 1 2 ( 1 − ρ 2 ) ) N(\\mu\_\{1\} + \\rho\\frac\{\\sigma\_\{1\}\}\{\\sigma\_\{2\}\}(y - \\mu\_\{2\}),\\sigma\_\{1\}^\{2\}(1 - \\rho^\{2\})) N(μ1\+ρσ2σ1(y−μ2),σ12(1−ρ2))
5.   Y Y Y关于 X = x X = x X=x的条件分布为：  N ( μ 2 + ρ σ 2 σ 1 ( x − μ 1 ) , σ 2 2 ( 1 − ρ 2 ) ) N(\\mu\_\{2\} + \\rho\\frac\{\\sigma\_\{2\}\}\{\\sigma\_\{1\}\}(x - \\mu\_\{1\}),\\sigma\_\{2\}^\{2\}(1 - \\rho^\{2\})) N(μ2\+ρσ1σ2(x−μ1),σ22(1−ρ2))

(4) 若 X X X与 Y Y Y独立，且分别服从 N ( μ 1 , σ 1 2 ) , N ( μ 1 , σ 2 2 ) , N(\\mu\_\{1\},\\sigma\_\{1\}^\{2\}),N(\\mu\_\{1\},\\sigma\_\{2\}^\{2\}), N(μ1,σ12),N(μ1,σ22),  
则： ( X , Y ) ∼ N ( μ 1 , μ 2 , σ 1 2 , σ 2 2 , 0 ) , \\left( X,Y \\right)\\sim N(\\mu\_\{1\},\\mu\_\{2\},\\sigma\_\{1\}^\{2\},\\sigma\_\{2\}^\{2\},0), (X,Y)∼N(μ1,μ2,σ12,σ22,0),

C 1 X + C 2 Y   ~ N ( C 1 μ 1 + C 2 μ 2 , C 1 2 σ 1 2 C 2 2 σ 2 2 ) . C\_\{1\}X + C\_\{2\}Y\\tilde\{\\ \}N(C\_\{1\}\\mu\_\{1\} + C\_\{2\}\\mu\_\{2\},C\_\{1\}^\{2\}\\sigma\_\{1\}^\{2\} C\_\{2\}^\{2\}\\sigma\_\{2\}^\{2\}). C1X\+C2Y ~N(C1μ1\+C2μ2,C12σ12C22σ22).

(5) 若 X X X与 Y Y Y相互独立， f ( x ) f\\left( x \\right) f(x)和 g ( x ) g\\left( x \\right) g(x)为连续函数， 则 f ( X ) f\\left( X \\right) f(X)和 g ( Y ) g(Y) g(Y)也相互独立。

#### 随机变量的数字特征 ####

**1.数学期望**

离散型： P \{ X = x i \} = p i , E ( X ) = ∑ i x i p i P\\left\\\{ X = x\_\{i\} \\right\\\} = p\_\{i\},E(X) = \\sum\_\{i\}^\{\}\{x\_\{i\}p\_\{i\}\} P\{ X=xi\}=pi,E(X)=∑ixipi；

连续型：  X ∼ f ( x ) , E ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ x f ( x ) d x X\\sim f(x),E(X) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{xf(x)dx\} X∼f(x),E(X)=∫−∞\+∞xf(x)dx

性质：

(1)  E ( C ) = C , E \[ E ( X ) \] = E ( X ) E(C) = C,E\\lbrack E(X)\\rbrack = E(X) E(C)=C,E\[E(X)\]=E(X)

(2)  E ( C 1 X + C 2 Y ) = C 1 E ( X ) + C 2 E ( Y ) E(C\_\{1\}X + C\_\{2\}Y) = C\_\{1\}E(X) + C\_\{2\}E(Y) E(C1X\+C2Y)=C1E(X)\+C2E(Y)

(3) 若 X X X和 Y Y Y独立，则 E ( X Y ) = E ( X ) E ( Y ) E(XY) = E(X)E(Y) E(XY)=E(X)E(Y)

(4) \[ E ( X Y ) \] 2 ≤ E ( X 2 ) E ( Y 2 ) \\left\\lbrack E(XY) \\right\\rbrack^\{2\} \\leq E(X^\{2\})E(Y^\{2\}) \[E(XY)\]2≤E(X2)E(Y2)

**2.方差**： D ( X ) = E \[ X − E ( X ) \] 2 = E ( X 2 ) − \[ E ( X ) \] 2 D(X) = E\\left\\lbrack X - E(X) \\right\\rbrack^\{2\} = E(X^\{2\}) - \\left\\lbrack E(X) \\right\\rbrack^\{2\} D(X)=E\[X−E(X)\]2=E(X2)−\[E(X)\]2

**3.标准差**： D ( X ) \\sqrt\{D(X)\} D(X)，

**4.离散型：** D ( X ) = ∑ i \[ x i − E ( X ) \] 2 p i D(X) = \\sum\_\{i\}^\{\}\{\\left\\lbrack x\_\{i\} - E(X) \\right\\rbrack^\{2\}p\_\{i\}\} D(X)=∑i\[xi−E(X)\]2pi

**5.连续型：** D ( X ) = ∫ − ∞ + ∞ \[ x − E ( X ) \] 2 f ( x ) d x D(X) = \{\\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\\left\\lbrack x - E(X) \\right\\rbrack\}^\{2\}f(x)dx D(X)=∫−∞\+∞\[x−E(X)\]2f(x)dx

性质：

(1)   D ( C ) = 0 , D \[ E ( X ) \] = 0 , D \[ D ( X ) \] = 0 \\ D(C) = 0,D\\lbrack E(X)\\rbrack = 0,D\\lbrack D(X)\\rbrack = 0  D(C)=0,D\[E(X)\]=0,D\[D(X)\]=0

(2)  X X X与 Y Y Y相互独立，则 D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) D(X \\pm Y) = D(X) + D(Y) D(X±Y)=D(X)\+D(Y)

(3)   D ( C 1 X + C 2 ) = C 1 2 D ( X ) \\ D\\left( C\_\{1\}X + C\_\{2\} \\right) = C\_\{1\}^\{2\}D\\left( X \\right)  D(C1X\+C2)=C12D(X)

(4) 一般有  D ( X ± Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 C o v ( X , Y ) = D ( X ) + D ( Y ) ± 2 ρ D ( X ) D ( Y ) D(X \\pm Y) = D(X) + D(Y) \\pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \\pm 2\\rho\\sqrt\{D(X)\}\\sqrt\{D(Y)\} D(X±Y)=D(X)\+D(Y)±2Cov(X,Y)=D(X)\+D(Y)±2ρD(X)D(Y)

(5)   D ( X ) < E ( X − C ) 2 , C ≠ E ( X ) \\ D\\left( X \\right) < E\\left( X - C \\right)^\{2\},C \\neq E\\left( X \\right)  D(X)<E(X−C)2,C=E(X)

(6)   D ( X ) = 0 ⇔ P \{ X = C \} = 1 \\ D(X) = 0 \\Leftrightarrow P\\left\\\{ X = C \\right\\\} = 1  D(X)=0⇔P\{ X=C\}=1

**6.随机变量函数的数学期望**

(1) 对于函数 Y = g ( x ) Y = g(x) Y=g(x)

X X X为离散型： P \{ X = x i \} = p i , E ( Y ) = ∑ i g ( x i ) p i P\\\{ X = x\_\{i\}\\\} = p\_\{i\},E(Y) = \\sum\_\{i\}^\{\}\{g(x\_\{i\})p\_\{i\}\} P\{ X=xi\}=pi,E(Y)=∑ig(xi)pi；

X X X为连续型： X ∼ f ( x ) , E ( Y ) = ∫ − ∞ + ∞ g ( x ) f ( x ) d x X\\sim f(x),E(Y) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{g(x)f(x)dx\} X∼f(x),E(Y)=∫−∞\+∞g(x)f(x)dx

(2)  Z = g ( X , Y ) Z = g(X,Y) Z=g(X,Y); ( X , Y ) ∼ P \{ X = x i , Y = y j \} = p i j \\left( X,Y \\right)\\sim P\\\{ X = x\_\{i\},Y = y\_\{j\}\\\} = p\_\{ \{ij\}\} (X,Y)∼P\{ X=xi,Y=yj\}=pij;  E ( Z ) = ∑ i ∑ j g ( x i , y j ) p i j E(Z) = \\sum\_\{i\}^\{\}\{\\sum\_\{j\}^\{\}\{g(x\_\{i\},y\_\{j\})p\_\{ \{ij\}\}\}\} E(Z)=∑i∑jg(xi,yj)pij  ( X , Y ) ∼ f ( x , y ) \\left( X,Y \\right)\\sim f(x,y) (X,Y)∼f(x,y); E ( Z ) = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ g ( x , y ) f ( x , y ) d x d y E(Z) = \\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{\\int\_\{- \\infty\}^\{+ \\infty\}\{g(x,y)f(x,y)dxdy\}\} E(Z)=∫−∞\+∞∫−∞\+∞g(x,y)f(x,y)dxdy

**7.协方差**

C o v ( X , Y ) = E \[ ( X − E ( X ) ( Y − E ( Y ) ) \] Cov(X,Y) = E\\left\\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \\right\\rbrack Cov(X,Y)=E\[(X−E(X)(Y−E(Y))\]

**8.相关系数**

ρ X Y = C o v ( X , Y ) D ( X ) D ( Y ) \\rho\_\{ \{XY\}\} = \\frac\{Cov(X,Y)\}\{\\sqrt\{D(X)\}\\sqrt\{D(Y)\}\} ρXY=D(X)D(Y)Cov(X,Y), k k k阶原点矩  E ( X k ) E(X^\{k\}) E(Xk);  
 k k k阶中心矩  E \{ \[ X − E ( X ) \] k \} E\\left\\\{ \{\\lbrack X - E(X)\\rbrack\}^\{k\} \\right\\\} E\{ \[X−E(X)\]k\}

性质：

(1)   C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) \\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)  Cov(X,Y)=Cov(Y,X)

(2)   C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( Y , X ) \\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)  Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)

(3)   C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( X 2 , Y ) \\ Cov(X\_\{1\} + X\_\{2\},Y) = Cov(X\_\{1\},Y) + Cov(X\_\{2\},Y)  Cov(X1\+X2,Y)=Cov(X1,Y)\+Cov(X2,Y)

(4)   ∣ ρ ( X , Y ) ∣ ≤ 1 \\ \\left| \\rho\\left( X,Y \\right) \\right| \\leq 1  ∣ρ(X,Y)∣≤1

(5)    ρ ( X , Y ) = 1 ⇔ P ( Y = a X + b ) = 1 \\ \\rho\\left( X,Y \\right) = 1 \\Leftrightarrow P\\left( Y = aX + b \\right) = 1  ρ(X,Y)=1⇔P(Y=aX\+b)=1 ，其中 a > 0 a > 0 a>0

ρ ( X , Y ) = − 1 ⇔ P ( Y = a X + b ) = 1 \\rho\\left( X,Y \\right) = - 1 \\Leftrightarrow P\\left( Y = aX + b \\right) = 1 ρ(X,Y)=−1⇔P(Y=aX\+b)=1  
，其中 a < 0 a < 0 a<0

**9.重要公式与结论**

(1)   D ( X ) = E ( X 2 ) − E 2 ( X ) \\ D(X) = E(X^\{2\}) - E^\{2\}(X)  D(X)=E(X2)−E2(X)

(2)   C o v ( X , Y ) = E ( X Y ) − E ( X ) E ( Y ) \\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)  Cov(X,Y)=E(XY)−E(X)E(Y)

(3)  ∣ ρ ( X , Y ) ∣ ≤ 1 , \\left| \\rho\\left( X,Y \\right) \\right| \\leq 1, ∣ρ(X,Y)∣≤1,且  ρ ( X , Y ) = 1 ⇔ P ( Y = a X + b ) = 1 \\rho\\left( X,Y \\right) = 1 \\Leftrightarrow P\\left( Y = aX + b \\right) = 1 ρ(X,Y)=1⇔P(Y=aX\+b)=1，其中 a > 0 a > 0 a>0

ρ ( X , Y ) = − 1 ⇔ P ( Y = a X + b ) = 1 \\rho\\left( X,Y \\right) = - 1 \\Leftrightarrow P\\left( Y = aX + b \\right) = 1 ρ(X,Y)=−1⇔P(Y=aX\+b)=1，其中 a < 0 a < 0 a<0

(4) 下面5个条件互为充要条件：

ρ ( X , Y ) = 0 \\rho(X,Y) = 0 ρ(X,Y)=0  ⇔ C o v ( X , Y ) = 0 \\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0 ⇔Cov(X,Y)=0  ⇔ E ( X , Y ) = E ( X ) E ( Y ) \\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y) ⇔E(X,Y)=E(X)E(Y)  ⇔ D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) \\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y) ⇔D(X\+Y)=D(X)\+D(Y)  ⇔ D ( X − Y ) = D ( X ) + D ( Y ) \\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y) ⇔D(X−Y)=D(X)\+D(Y)

注： X X X与 Y Y Y独立为上述5个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

#### 数理统计的基本概念 ####

**1.基本概念**

总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用 X X X表示。

个体：组成总体的每个基本元素。

简单随机样本：来自总体 X X X的 n n n个相互独立且与总体同分布的随机变量 X 1 , X 2 ⋯   , X n X\_\{1\},X\_\{2\}\\cdots,X\_\{n\} X1,X2⋯,Xn，称为容量为 n n n的简单随机样本，简称样本。

统计量：设 X 1 , X 2 ⋯   , X n , X\_\{1\},X\_\{2\}\\cdots,X\_\{n\}, X1,X2⋯,Xn,是来自总体 X X X的一个样本， g ( X 1 , X 2 ⋯   , X n ) g(X\_\{1\},X\_\{2\}\\cdots,X\_\{n\}) g(X1,X2⋯,Xn)）是样本的连续函数，且 g ( ) g() g()中不含任何未知参数，则称 g ( X 1 , X 2 ⋯   , X n ) g(X\_\{1\},X\_\{2\}\\cdots,X\_\{n\}) g(X1,X2⋯,Xn)为统计量。

样本均值： X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i \\overline\{X\} = \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}X\_\{i\} X=n1∑i=1nXi

样本方差： S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 S^\{2\} = \\frac\{1\}\{n - 1\}\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}\{(X\_\{i\} - \\overline\{X\})\}^\{2\} S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2

样本矩：样本 k k k阶原点矩： A k = 1 n ∑ i = 1 n X i k , k = 1 , 2 , ⋯ A\_\{k\} = \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}X\_\{i\}^\{k\},k = 1,2,\\cdots Ak=n1∑i=1nXik,k=1,2,⋯

样本 k k k阶中心矩： B k = 1 n ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) k , k = 1 , 2 , ⋯ B\_\{k\} = \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}\{(X\_\{i\} - \\overline\{X\})\}^\{k\},k = 1,2,\\cdots Bk=n1∑i=1n(Xi−X)k,k=1,2,⋯

**2.分布**

χ 2 \\chi^\{2\} χ2分布： χ 2 = X 1 2 + X 2 2 + ⋯ + X n 2 ∼ χ 2 ( n ) \\chi^\{2\} = X\_\{1\}^\{2\} + X\_\{2\}^\{2\} + \\cdots + X\_\{n\}^\{2\}\\sim\\chi^\{2\}(n) χ2=X12\+X22\+⋯\+Xn2∼χ2(n)，其中 X 1 , X 2 ⋯   , X n , X\_\{1\},X\_\{2\}\\cdots,X\_\{n\}, X1,X2⋯,Xn,相互独立，且同服从 N ( 0 , 1 ) N(0,1) N(0,1)

t t t分布： T = X Y / n ∼ t ( n ) T = \\frac\{X\}\{\\sqrt\{Y/n\}\}\\sim t(n) T=Y/nX∼t(n) ，其中 X ∼ N ( 0 , 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n ) , X\\sim N\\left( 0,1 \\right),Y\\sim\\chi^\{2\}(n), X∼N(0,1),Y∼χ2(n),且 X X X， Y Y Y 相互独立。

F F F分布： F = X / n 1 Y / n 2 ∼ F ( n 1 , n 2 ) F = \\frac\{X/n\_\{1\}\}\{Y/n\_\{2\}\}\\sim F(n\_\{1\},n\_\{2\}) F=Y/n2X/n1∼F(n1,n2)，其中 X ∼ χ 2 ( n 1 ) , Y ∼ χ 2 ( n 2 ) , X\\sim\\chi^\{2\}\\left( n\_\{1\} \\right),Y\\sim\\chi^\{2\}(n\_\{2\}), X∼χ2(n1),Y∼χ2(n2),且 X X X， Y Y Y相互独立。

分位数：若 P ( X ≤ x α ) = α , P(X \\leq x\_\{\\alpha\}) = \\alpha, P(X≤xα)=α,则称 x α x\_\{\\alpha\} xα为 X X X的 α \\alpha α分位数

**3.正态总体的常用样本分布**

(1) 设 X 1 , X 2 ⋯   , X n X\_\{1\},X\_\{2\}\\cdots,X\_\{n\} X1,X2⋯,Xn为来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\\mu,\\sigma^\{2\}) N(μ,σ2)的样本，

X ‾ = 1 n ∑ i = 1 n X i , S 2 = 1 n − 1 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 , \\overline\{X\} = \\frac\{1\}\{n\}\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}X\_\{i\},S^\{2\} = \\frac\{1\}\{n - 1\}\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}\{ \{(X\_\{i\} - \\overline\{X\})\}^\{2\},\} X=n1∑i=1nXi,S2=n−11∑i=1n(Xi−X)2,则：

1.   X ‾ ∼ N ( μ , σ 2 n )    \\overline\{X\}\\sim N\\left( \\mu,\\frac\{\\sigma^\{2\}\}\{n\} \\right)\{\\ \\ \} X∼N(μ,nσ2)  或者 X ‾ − μ σ n ∼ N ( 0 , 1 ) \\frac\{\\overline\{X\} - \\mu\}\{\\frac\{\\sigma\}\{\\sqrt\{n\}\}\}\\sim N(0,1) nσX−μ∼N(0,1)
2.   ( n − 1 ) S 2 σ 2 = 1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − X ‾ ) 2 ∼ χ 2 ( n − 1 ) \\frac\{(n - 1)S^\{2\}\}\{\\sigma^\{2\}\} = \\frac\{1\}\{\\sigma^\{2\}\}\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}\{ \{(X\_\{i\} - \\overline\{X\})\}^\{2\}\\sim\\chi^\{2\}(n - 1)\} σ2(n−1)S2=σ21∑i=1n(Xi−X)2∼χ2(n−1)
3.   1 σ 2 ∑ i = 1 n ( X i − μ ) 2 ∼ χ 2 ( n ) \\frac\{1\}\{\\sigma^\{2\}\}\\sum\_\{i = 1\}^\{n\}\{ \{(X\_\{i\} - \\mu)\}^\{2\}\\sim\\chi^\{2\}(n)\} σ21∑i=1n(Xi−μ)2∼χ2(n)

4)    X ‾ − μ S / n ∼ t ( n − 1 ) \{\\ \\ \}\\frac\{\\overline\{X\} - \\mu\}\{S/\\sqrt\{n\}\}\\sim t(n - 1)   S/nX−μ∼t(n−1)

**4.重要公式与结论**

(1) 对于 χ 2 ∼ χ 2 ( n ) \\chi^\{2\}\\sim\\chi^\{2\}(n) χ2∼χ2(n)，有 E ( χ 2 ( n ) ) = n , D ( χ 2 ( n ) ) = 2 n ; E(\\chi^\{2\}(n)) = n,D(\\chi^\{2\}(n)) = 2n; E(χ2(n))=n,D(χ2(n))=2n;

(2) 对于 T ∼ t ( n ) T\\sim t(n) T∼t(n)，有 E ( T ) = 0 , D ( T ) = n n − 2 ( n > 2 ) E(T) = 0,D(T) = \\frac\{n\}\{n - 2\}(n > 2) E(T)=0,D(T)=n−2n(n>2)；

(3) 对于 F   ~ F ( m , n ) F\\tilde\{\\ \}F(m,n) F ~F(m,n)，有  1 F ∼ F ( n , m ) , F a / 2 ( m , n ) = 1 F 1 − a / 2 ( n , m ) ; \\frac\{1\}\{F\}\\sim F(n,m),F\_\{a/2\}(m,n) = \\frac\{1\}\{F\_\{1 - a/2\}(n,m)\}; F1∼F(n,m),Fa/2(m,n)=F1−a/2(n,m)1;

(4) 对于任意总体 X X X，有  E ( X ‾ ) = E ( X ) , E ( S 2 ) = D ( X ) , D ( X ‾ ) = D ( X ) n E(\\overline\{X\}) = E(X),E(S^\{2\}) = D(X),D(\\overline\{X\}) = \\frac\{D(X)\}\{n\} E(X)=E(X),E(S2)=D(X),D(X)=nD(X)

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