从傅立叶级数到傅立叶变换

我会带着你远行 2023-06-12 06:23 18阅读 0赞

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写作时间：2019-10-31

如果有公式乱码，参见我的个人博客[从傅立叶级数到傅立叶变化][Link 1]

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### 文章目录 ###

*  傅立叶级数
 *  傅立叶变换

写这篇博文的初衷是在翻阅数字图像处理相关教科书的时候，发现大部分对傅立叶变换的讲解直接给出了变换公式，而对于公式从何而来并没有给出说明。所以，本文在假设已经了解傅立叶级数的背景下，从傅立叶级数推导出傅立叶变换的一般公式。

# 傅立叶级数 #

学过高数的童鞋都听过傅立叶级数，下面直接给出定义，具体证明可以参考高等数学教材。

设周期为 T T T的周期函数 f ( x ) f(x) f(x)的傅立叶级数为

f ( x ) = a 0 2 + ∑ n = 1 ∞ ( a n cos ⁡ 2 π n x T + b n sin ⁡ 2 π n x T ) (1) f(x) = \\frac\{a\_\{0\}\}\{2\}+\\sum\_\{n=1\}^\{\\infty\}\\left(a\_\{n\} \\cos \\frac\{2\\pi n x\}\{T\}+b\_\{n\} \\sin \\frac\{2\\pi n x\}\{T\}\\right) \\tag\{1\} f(x)=2a0\+n=1∑∞(ancosT2πnx\+bnsinT2πnx)(1)

其中，系数 a n a\_n an和 b n b\_n bn分别为：

a n = 2 T ∫ T 2 T 2 f ( x ) cos ⁡ 2 π n x T d x ( n = 0 , 1 , 2 , ⋯   ) b n = 2 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) sin ⁡ 2 π n x T d x ( n = 1 , 2 , 3 , ⋯   ) \} (2) \\left.\\begin\{array\}\{ll\}\{a\_\{n\}=\\frac\{2\}\{T\} \\int\_\{\\frac\{T\}\{2\}\}^\{\\frac\{T\}\{2\}\} f(x) \\cos \\frac\{2\\pi n x\}\{T\} \\mathrm\{d\} x\} & \{(n=0,1,2, \\cdots)\} \\\\ \{b\_\{n\}=\\frac\{2\}\{T\} \\int\_\{-\\frac\{T\}\{2\}\}^\{\\frac\{T\}\{2\}\} f(x) \\sin \\frac\{2\\pi n x\}\{T\} \\mathrm\{d\} x\} & \{(n=1,2,3, \\cdots)\}\\end\{array\}\\right\\\} \\tag\{2\} an=T2∫2T2Tf(x)cosT2πnxdxbn=T2∫−2T2Tf(x)sinT2πnxdx(n=0,1,2,⋯)(n=1,2,3,⋯)⎭⎬⎫(2)

利用欧拉公式 cos ⁡ t = e t i + e − t i 2 , sin ⁡ t = e t i − e − t i 2 i \\cos t=\\frac\{\\mathrm\{e\}^\{t \\mathrm\{i\}\}+\\mathrm\{e\}^\{-t i\}\}\{2\}, \\quad \\sin t=\\frac\{\\mathrm\{e\}^\{t i\}-\\mathrm\{e\}^\{-t i\}\}\{2 \\mathrm\{i\}\} cost=2eti\+e−ti,sint=2ieti−e−ti

可以将公式（1）转化为傅立叶级数的复数形式

f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e 2 π n x T i (3) f(x) = \\sum\\limits\_\{n=-\\infty\}^\{\\infty\} c\_\{n\} e^\{\\frac\{2\\pi n x\}\{T\} \\mathrm\{i\}\} \\tag\{3\} f(x)=n=−∞∑∞cneT2πnxi(3)

系数 c n c\_n cn为

c n = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( x ) e − 2 π n x T i d x ( n = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯   ) (4) c\_\{n\}=\\frac\{1\}\{T\} \\int\_\{-\\frac\{T\}\{2\}\}^\{\\frac\{T\}\{2\}\} f(x) \\mathrm\{e\}^\{-\\frac\{2\\pi n x\}\{T\} \\mathrm\{i\}\} \\mathrm\{d\} x \\quad(n=0, \\pm 1, \\pm 2, \\cdots) \\tag\{4\} cn=T1∫−2T2Tf(x)e−T2πnxidx(n=0,±1,±2,⋯)(4)

傅立叶级数的两种形式本质上是一样的，但是复数形式比较简洁，而且只用一个算式计算系数。

# 傅立叶变换 #

傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。

傅立叶变换将周期函数在一个周期内的部分无限延拓，即让周期趋紧于无穷，然后就得到了傅立叶变换，如下图所示。  
![非周期函数延拓][watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly90aGVvbmVnaXMuYmxvZy5jc2RuLm5ldA_size_16_color_FFFFFF_t_70]

图片来源：[Fourier Transform 101 — Part 3: Fourier Transform][Fourier Transform 101 _ Part 3_ Fourier Transform]

下面我们看一下，当周期 T T T趋于 ∞ \\infty ∞的时候，我们看一下公式（3）和（4）的变化。

令 1 T = Δ ω \\frac\{1\}\{T\} = \\Delta \\omega T1=Δω，则

KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \\begin\{̲a̲l̲i̲g̲n̲\}̲f(x) &= \\sum\\li…

当 T → ∞ T \\to \\infty T→∞时， Δ ω → 0 \\Delta \\omega \\to 0 Δω→0， Δ ω → d ω \\Delta \\omega \\to \\mathrm\{d\}\\omega Δω→dω ， d ω \\mathrm\{d\}\\omega dω和 n d ω n \\mathrm\{d\}\\omega ndω都成为连续的变量，记为 ω \\omega ω。

KaTeX parse error: No such environment: align at position 7: \\begin\{̲a̲l̲i̲g̲n̲\}̲f(x) &= \\lim\_\{T…

对应于傅立叶级数，傅立叶变换可以表示为

F ( ω ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − 2 π ω x i d x (5) F(\\omega) = \\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}f(x)e^\{-2\\pi\\omega x \\mathrm\{i\}\} \\mathrm\{d\}x \\tag\{5\} F(ω)=∫−∞∞f(x)e−2πωxidx(5)

而相应地傅立叶逆变换可以表示为

f ( x ) = ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e 2 π ω x i d ω (6) f(x) = \\int\_\{-\\infty\}^\{\\infty\}F(\\omega) e^\{2\\pi\\omega x \\mathrm\{i\}\}\\mathrm\{d\}\\omega \\tag\{6\} f(x)=∫−∞∞F(ω)e2πωxidω(6)

[Link 1]: https://theonegis.github.io/math/%E4%BB%8E%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E7%BA%A7%E6%95%B0%E5%88%B0%E5%82%85%E7%AB%8B%E5%8F%B6%E5%8F%98%E5%8C%96/
[watermark_type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk_shadow_10_text_aHR0cHM6Ly90aGVvbmVnaXMuYmxvZy5jc2RuLm5ldA_size_16_color_FFFFFF_t_70]: /images/20230531/c299411e6d784cb9a517bf900be3cfde.png
[Fourier Transform 101 _ Part 3_ Fourier Transform]: https://medium.com/sho-jp/fourier-transform-101-part-3-fourier-transform-6def0bd2ca9b