@bzoj - 1061@ [Noi2008]志愿者招募

短命女 2023-06-01 14:56 21阅读 0赞

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## @description@ ##

申奥成功后，布布经过不懈努力，终于成为奥组委下属公司人力资源部门的主管。布布刚上任就遇到了一个难题：为即将启动的奥运新项目招募一批短期志愿者。经过估算，这个项目需要N 天才能完成，其中第i 天至少需要Ai 个人。 布布通过了解得知，一共有M 类志愿者可以招募。其中第i 类可以从第Si 天工作到第Ti 天，招募费用是每人Ci 元。新官上任三把火，为了出色地完成自己的工作，布布希望用尽量少的费用招募足够的志愿者，但这并不是他的特长！于是布布找到了你，希望你帮他设计一种最优的招募方案。

**Input**  
　　第一行包含两个整数N, M，表示完成项目的天数和可以招募的志愿者的种类。 接下来的一行中包含N 个非负整数，表示每天至少需要的志愿者人数。 接下来的M 行中每行包含三个整数Si, Ti, Ci，含义如上文所述。为了方便起见，我们可以认为每类志愿者的数量都是无限多的。

**Output**  
　　仅包含一个整数，表示你所设计的最优方案的总费用。

**Sample Input**  
3 3  
2 3 4  
1 2 2  
2 3 5  
3 3 2  
**Sample Output**  
14

**HINT**  
1 ≤ N ≤ 1000，1 ≤ M ≤ 10000，题目中其他所涉及的数据均不超过2^31-1。

## @solution@ ##

听说可以线性规划建模，但我不会。。。  
但至少可以看出来这是个比较显然的线性规划，看数据范围发现单纯形过不去，于是联想到网络流。

考虑题设所说至少需要 Ai 个人，其实可以对应到上下界网络流中的下界。  
新增 0 号点，对于每一个 1 <= i <= n，连 i-1 -> i 这条边表示第 i 天招募的志愿者数量。则这条边下界为 Ai，上界为 inf，费用为 0。

题目说可以用 Ci 的费用将 Si 到 Ti 这些天对应的边流量加一。。。  
考虑使用流量平衡思想，Si 到 Ti 这些天对应的边形成一条链 Si - 1 -> Si -> ... -> Ti。如果连边 Ti -> Si - 1，就可以形成环流，满足流量平衡的限制。  
所以，我们在原本的上下界网络流中连 Ti -> Si - 1，下界为 0，上界为 inf，费用为 Ci。

在这个上下界流网络中跑最小可行无源汇流即可。

## @accepted code@ ##

#include<cstdio> #include<algorithm> using namespace std; const int MAXN = 1000; const int MAXM = 10000; const int MAXV = 1000; const int MAXE = 2*MAXM + 5*MAXV + 5; const int INF = (1<<30); struct FlowGraph{ struct edge{ int to, cap, flow, cost; edge *nxt, *rev; }edges[MAXE + 5], *adj[MAXV + 5], *cur[MAXV + 5], *ecnt; FlowGraph() {ecnt = &edges[0];} int s, t; void addedge(int u, int v, int c, int w) { edge *p = (++ecnt), *q = (++ecnt); p->to = v, p->cap = c, p->flow = 0, p->cost = w; p->nxt = adj[u], adj[u] = p; q->to = u, q->cap = 0, q->flow = 0, q->cost = -w; q->nxt = adj[v], adj[v] = q; p->rev = q, q->rev = p; // printf("! %d %d %d %d\n", u, v, c, w); } int f[MAXV + 5], hp[MAXV + 5]; void update(int x, int k) { f[x] = k; while( x ) { hp[x] = x; if( (x<<1) <= t && f[hp[x<<1]] < f[hp[x]] ) hp[x] = hp[x<<1]; if( (x<<1|1) <= t && f[hp[x<<1|1]] < f[hp[x]] ) hp[x] = hp[x<<1|1]; x >>= 1; } } int d[MAXV + 5], h[MAXV + 5]; bool relabel() { for(int i=1;i<=t;i++) h[i] += d[i], d[i] = f[i] = INF, hp[i] = i, cur[i] = adj[i]; update(s, d[s] = 0); while( f[hp[1]] != INF ) { int x = hp[1]; update(x, INF); for(edge *p=adj[x];p;p=p->nxt) { int w = p->cost + h[x] - h[p->to]; if( p->cap > p->flow && d[x] + w < d[p->to] ) update(p->to, d[p->to] = d[x] + w); } } return !(d[t] == INF); } bool vis[MAXV + 5]; int aug(int x, int tot) { if( x == t ) return tot; int sum = 0; vis[x] = true; for(edge *&p=cur[x];p;p=p->nxt) { int w = p->cost + h[x] - h[p->to]; if( !vis[p->to] && p->cap > p->flow && d[x] + w == d[p->to] ) { int del = aug(p->to, min(tot - sum, p->cap - p->flow)); p->flow += del, p->rev->flow -= del, sum += del; if( sum == tot ) break; } } vis[x] = false; return sum; } int min_cost_max_flow(int _s, int _t) { s = _s, t = _t; int cost = 0; while( relabel() ) cost += (h[t] + d[t])*aug(s, INF); return cost; } }G; int A[MAXN + 5]; int N, M, s, t; int main() { scanf("%d%d", &N, &M), s = N + 2, t = N + 3; for(int i=1;i<=N;i++) scanf("%d", &A[i]); for(int i=0;i<=N;i++) { if( A[i] < A[i + 1] ) G.addedge(i + 1, t, A[i + 1] - A[i], 0); else if( A[i] > A[i + 1] ) G.addedge(s, i + 1, A[i] - A[i + 1], 0); } for(int i=0;i<N;i++) G.addedge(i + 1, i + 2, INF, 0); for(int i=1;i<=M;i++) { int S, T, C; scanf("%d%d%d", &S, &T, &C); G.addedge(T + 1, S, INF, C); } printf("%d\n", G.min_cost_max_flow(s, t)); }

## @details@ ##

其实最后建出来的图和线性规划建模方法是一致的。

另外，代码中个人的实现习惯原因，所有点的编号都往后移动了一位（即原本 0 号点变 1 号点，以此类推）。

以及我也不知道为什么这个数据范围看起来就是要开longlong但我用int过了，写完交发现A过后才反应过来

转载于:https://www.cnblogs.com/Tiw-Air-OAO/p/11416749.html