[2019.1.14]BZOJ2005 [Noi2010]能量采集

灰太狼 2021-12-23 22:39 207阅读 0赞

### 以下设\\(n\\ge m\\)。 ###

首先,一个点\\((x,y)\\)到\\((0,0)\\)的路径上经过的点的数量(**不包括首尾**)为\\(gcd(x,y)-1\\)。

所以它的能量损耗为\\(2\\times gcd(x,y)-1\\)。

考虑如何统计\\(\\sum\_\{i=1\}^n\\sum\_\{j=1\}^m 2\\times gcd(i,j)-1\\)。

记\\(f\_x=\\sum\_\{i=1\}^n\\sum\_\{j=1\}^m\[gcd(i,j)=x\]\\),即\\(1\\le i\\le n,1\\le j\\le m\\)时,\\(gcd(i,j)=x\\)的数量。

我们再记\\(F\_x=\\sum\_\{x|i\}f\_i\\)。

莫名其妙想到了莫比乌斯反演,但是在这里显然不能用

我们发现\\(F(x)\\)其实就是满足\\(1\\le i\\le n,1\\le j\\le m,i|x,j|x\\)的\\((i,j)\\)数量,即\\(\\lfloor\\frac\{n\}\{x\}\\rfloor\\lfloor\\frac\{m\}\{x\}\\rfloor\\)。

我们还发现\\(f\_i=F\_i-\\sum\_\{x=2\}^\{\\lfloor\\frac\{n\}\{i\}\\rfloor\}f\_\{xi\}\\),即\\(F\_i\\)减去 \\(f\_k\\)的和 ,其中\\(k\\)是\\(i\\)的倍数且不等于\\(i\\)。

于是我们**从大到小**枚举\\(i\\)并计算\\(f\_i\\),答案就是\\(\\sum\_\{i=1\}^n(2\\times i-1)\\times f\_i\\)。

根据调和级数,其时间复杂度为\\(O(nlogn)\\)。

code:

#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int n,m; long long num[100010],ans; int main(){ scanf("%d%d",&n,&m),n<m?swap(n,m),0:0; for(int i=n;i>=1;--i){ num[i]=1ll*(n/i)*(m/i); for(int j=i+i;j<=n;j+=i)num[i]-=num[j]; ans+=(2*i-1)*num[i]; } printf("%lld",ans); return 0; }

转载于:https://www.cnblogs.com/xryjr233/p/BZOJ2005.html

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