对数函数

梦里梦外; 2023-05-30 14:57 119阅读 0赞

## 简介 ##

一般地，对数函数是以[幂][Link 1]（[真数][Link 2]）为[自变量][Link 3]，指数为[因变量][Link 4]，底数为[常量][Link 5]的函数。

对数函数是6类[基本初等函数][Link 6]之一。其中[对数][Link 7]的定义：

如果ax =N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，读作以a为底N的[对数][Link 7]，其中a叫做对数的[底数][Link 8]，N叫做[真数][Link 2]。

一般地，函数y=logaX（a>0，且a≠1）叫做对数函数，也就是说以幂（真数）为自变量，指数为因变量，底数为常量的函数，叫对数函数。

其中x是自变量，函数的[定义域][Link 9]是（0，+∞），即x>0。它实际上就是[指数函数][Link 10]的[反函数][Link 11]，可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

在[实数][Link 12]域中，真数式子没[根号][Link 13]那就只要求真数式大于零，如果有根号，要求真数大于零还要保证根号里的式子大于等于零（若为负数，则值为虚数），[底数][Link 14]则要大于0且不为1。

[![对数函数][format_png]][format_png 1]对数函数

对数函数的底数为什么要大于0且不为1？【在一个普通对数式里 a<0，或=1 的时候是会有相应b的值。但是，根据对数定义：[log][]以a为底a的对数；如果a=1或=0那么log以a为底a的对数就可以等于一切[实数][Link 12]（比如log11也可以等于2，3，4，5，等等）】

通常我们将以10为底的对数叫[常用对数][Link 15]（common logarithm），并把log10N记为lgN。另外，在科学计数中常使用以[无理数e][e]=2.71828···为底数的对数，以e为底的[对数][Link 16]称为[**自然对数**][Link 17]**（natural logarithm）**，并且把***logeN*** 记为***In N***。根据对数的定义，可以得到对数与[指数][Link 18]间的关系：

当a>0，a≠1时，aX=N

![format_png 2][]

X=*logaN*。（N>0）

由[指数函数][Link 19]与对数函数的这个关系，可以得到关于对数的如下结论：

在[实数][Link 12]范围内，[负数][Link 20]和[零][Link 21]没有对数；

![format_png 3][]  ，log以a为底1的对数为0（a为常数） 恒过点（1，0）。

**有理和无理指数**

如果 ![format_png 4][] 是正整数， ![format_png 5][]  表示等于![format_png 6][]  的![format_png 7][]

个因子的加减:

[![加减][format_png 8]][format_png 8 1]加减

但是，如果是 ![format_png 9][]  不等于1的正实数，这个定义可以扩展到在一个域中的任何实数 ![format_png 10][] （参见[幂][Link 22]）。类似的，对数函数可以定义于任何[正实数][Link 23]。对于不等于1的每个正[底数][Link 14] ![format_png 11][]  ，有一个对数函数和一个[指数函数][Link 19]，它们互为反函数。

对数可以简化[乘法][Link 24]运算为[加法][Link 25]，除法为[减法][Link 26]，[幂运算][Link 27]为[乘法][Link 24]，根运算为[除法][Link 28]。所以，在发明[电子计算机][Link 29]之前，对数对进行冗长的数值运算是很有用的，它们广泛的用于天文、工程、航海和测绘等领域中。它们有重要的数学性质而在今天仍在广泛使用中。

**复对数**

复对数计算公式

复数的自然对数，实部等于复数的模的自然对数，虚部等于复数的辐角。

![format_png 12][]

## 产生历史 ##

编辑

16世纪末至17世纪初的时候，当时在自然科学领域（特别是天文学）的发展上经常遇到大量精密而又庞大的数值计算，于是数学家们为了寻求化简的计算方法而发明了对数 \[1\]  。

德国的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《[整数][Link 30]算术》中，写出了两个[数列][Link 31]，左边是[等比数列][Link 32]（叫原数），右边是一个等差数列（叫原数的代表，或称指数，德文是Exponent ，有代表之意）。

欲求左边任两数的积（商），只要先求出其代表（指数）的和（差），然后再把这个和（差）对向左边的一个原数，则此原数即为所求之[积][Link 33]（[商][Link 34]），可惜史提非并未作进一步探索，没有引入对数的概念。

[纳皮尔][Link 35]对数值计算颇有研究。他所制造的「纳皮尔算筹」，[化简][Link 36]了乘除法运算，其原理就是用加减来代替乘除法。 他发明对数的动机是为寻求[球面三角][Link 37]计算的简便方法，他依据一种非常独等的与质点运动有关的设想构造出所谓对数方法，其核心思想表现为算术数列与几何数列之间的联系。在他的1619年发表《奇妙的[对数表][Link 38]的描述》中阐明了对数原理，后人称为 纳

[![对数的图像][format_png 13]][format_png 13 1]对数的图像

皮尔对数，记为Nap．㏒x，它与自然对数的关系为：

Nap．㏒x=10㏑（107/x）

由此可知，纳皮尔对数既不是自然对数，也不是常用对数，与现今的对数有一定的距离。

[瑞士][Link 39]的彪奇（1552-1632）也独立地发现了[对数][Link 16]，可能比纳皮尔较早，但发表较迟（1620）。

英国的[布里格斯][Link 40]在1624年创造了常用对数。

1619年，伦敦斯彼得所著的《新对数》使对数与自然对数更接近（以e=2.71828...为底）。

对数的发明为当时社会的发展起了重要的影响，简化了行星轨道运算问题。正如科学家[伽利略][Link 41]（1564-1642）说：「给我时间，[空间][Link 42]和对数，我可以创造出一个宇宙」。 又如十八世纪数学家[拉普拉斯][Link 43]（ 1749-1827）亦提到：「对数用缩短计算的时间来使天文学家的寿命加倍」。

最早传入我国的对数著作是《比例[与][Link 44]对数》，它是由波兰的[穆尼斯][Link 45]（1611-1656）和我国的[薛凤祚][Link 46]在17世纪中叶合 编而成的。当时在lg2=0.3010中，2叫**真数**，0.3010叫做**假数**，真数与假数对列成表，故称对数表。后来改用**假数**为**对数**」。

我国清代的数学家[戴煦][Link 47]（1805-1860）发展了多种求对数的捷法，著有《[对数][Link 16][简][Link 48][法][Link 49]》（1845）、《续对数简法》（1846）等。1854年，英国的数学家[艾约瑟][Link 50]（1825-1905）看到这些著作后，大为叹服。

当今中学数学教科书是先讲「[指数][Link 18]」，后以[反函数][Link 51]形式引出「对数」的概念。但在历史上，恰恰相反，对数概念不是来自指数，因为当时尚无分指数及无理指数的明确概念。布里格斯曾向纳皮尔提出用幂指数表示对数的建议。1742年，J．威廉（1675-1749）在给G.威廉的《[对数表][Link 38]》所写的前言中作出指数可定义对数。而欧拉在他的名著《[无穷小][Link 52]分析寻论》（1748）中明确提出对数函数是[指数函数][Link 19]的逆函数，和21世纪的教科书中的提法一致。

## 函数性质 ##

编辑

[**定义域**][Link 53]**求解**：对数函数y=logax 的定义域是\{x 丨x>0\}，但如果遇到对数型[复合函数][Link 54]的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意[底数][Link 14]大于0且不等于1，如求函数y=logx（2x-1）的定义域，需同时满足x>0且x≠1

和2x-1>0 ，得到x>1/2且x≠1，即其定义域为 \{x 丨x>1/2且x≠1\}

[**值域**][Link 55]**：**[实数集][Link 56]R，显然对数函数无界；

[**定点**][Link 57]**：**对数函数的函数图像恒过定点（1，0）；

[**单调性**][Link 58]**：**a>1时，在定义域上为单调增函数；

0<a<1时，在[定义域][Link 53]上为单调减函数；

[**奇偶性**][Link 59]**：**[非奇非偶函数][Link 60]

[**周期性**][Link 61]**：**不是[周期函数][Link 62]

对称性：无

最值：无

**零点：**x=1

**注意：****负数和0没有对数**。

两句经典话：**底真同对数正，底真异对数负**。解释如下：

也就是说：若y=logab （其中a>0，a≠1，b>0）

当0<a<1， 0<b<1时，y=logab>0;

当a>1， b>1时，y=logab>0;

当0<a<1， b>1时，y=logab<0;

当a>1， 0<b<1时，y=logab<0。

## 公式推导 ##

编辑

e的定义：

![format_png 14][]

设a>0，a≠1

方法一： ![format_png 15][]

[![指数函数][format_png 16]][format_png 16 1]指数函数

![format_png 17][]

![format_png 18][]

![format_png 19][]

![format_png 20][]

![format_png 21][]

![format_png 22][]

特殊地，当 ![format_png 23][]  时，

![format_png 24][]    。

方法二：

设![format_png 25][]  ，两边取对数ln y=xln a

两边对x求导：y'/y=ln a，y'=yln a=a^xln a

特殊地，当a=e时，y'=（a^x）'=（e^x）'=e^xln e=e^x。

eº=1

## 运算性质 ##

编辑

### 性质 ###

一般地，如果a（a>0，且a≠1）的b次[幂][Link 22]等于N，那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b，其中a叫做对数的[**底数**][Link 14]，N叫做[**真数**][Link 63]***。***

底数则要>0且≠1 真数>0

并且，在比较两个函数值时：

如果[底数][Link 14]一样，[真数][Link 63]越大，[函数值][Link 64]越大。（a>1时）

如果底数一样，真数越小，函数值越大。（0<a<1时）

当a>0且a≠1时，M>0，N>0，那么：

[![对数函数化简问题][format_png 26]][format_png 26 1]对数函数化简问题

### 和差 ###

[![和差][format_png 27]][format_png 27 1]和差

### 换底公式 ###

[![换底公式][format_png 28]][format_png 28 1]换底公式

推导：设

[![换底公式][format_png 29]][format_png 29 1]换底公式

所以

[![换底公式][format_png 30]][format_png 30 1]换底公式

两边取对数，则有

[![换底公式][format_png 31]][format_png 31 1]换底公式

即

[![换底公式][format_png 32]][format_png 32 1]换底公式

又因为

[![换底公式][format_png 33]][format_png 33 1]换底公式

所以

[![换底公式][format_png 34]][format_png 34 1]换底公式

### 指系 ###

[![指系][format_png 35]][format_png 35 1]指系

### 互换 ###

[![互换][format_png 36]][format_png 36 1]互换

### 倒数 ###

[![倒数][format_png 37]][format_png 37 1]倒数

### 链式 ###

[![链式][format_png 38]][format_png 38 1]链式 \[2\]

## 表达方式 ##

编辑

（1）常用对数：lg（b）=log10b（10为底数）。

（2）自然对数：ln（b）=logeb（e为底数）。

e为[无限不循环小数][Link 65]，通常情况下只取e=2.71828。

## 与指数的关系 ##

编辑

同底的对数函数与[指数函数][Link 19]互为反函数。

当a>0且a≠1时，ax=N

![format_png 2][]

x=㏒aN。

关于y=x[对称][Link 66]。

对数函数的一般形式为 y=㏒ax，它实际上就是指数函数的[反函数][Link 51]（图象关于直线y=x对称的两函数互为反函数），可表示为x=ay。因此指数函数里对于a的规定（a>0且a≠1），右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：关于X轴对称、当a>1时，a越大，图像越靠近x轴、当0<a<1时，a越小，图像越靠近x轴。

可以看到，对数函数的图形只不过是指数函数的图形的关于[直线][Link 67]y=x的[对称][Link 66]图形，因为它们互为[**反**][Link 51]

[Link 1]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82/5846958
[Link 2]: https://baike.baidu.com/item/%E7%9C%9F%E6%95%B0/326681
[Link 3]: https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E5%8F%98%E9%87%8F/6895256
[Link 4]: https://baike.baidu.com/item/%E5%9B%A0%E5%8F%98%E9%87%8F
[Link 5]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%B8%E9%87%8F/10232375
[Link 6]: https://baike.baidu.com/item/%E5%9F%BA%E6%9C%AC%E5%88%9D%E7%AD%89%E5%87%BD%E6%95%B0/6608669
[Link 7]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E6%95%B0/91326
[Link 8]: https://baike.baidu.com/item/%E5%BA%95%E6%95%B0/5416651
[Link 9]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F/7879679
[Link 10]: https://baike.baidu.com/item/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013301
[Link 11]: https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B0/91388
[Link 12]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9E%E6%95%B0
[Link 13]: https://baike.baidu.com/item/%E6%A0%B9%E5%8F%B7
[Link 14]: https://baike.baidu.com/item/%E5%BA%95%E6%95%B0
[format_png]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTUxYjkyMWMyNjJkOWYyZDMyNDExMjNlZDk5ZWM4YTUzL2Q1MmEyODM0MzQ5YjAzM2I3MWY4ZTJmOTE1Y2UzNmQzZDUzOWJkYTQuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/647912d7bb6ebccea144dfc5?fr=lemma&ct=single
[log]: https://baike.baidu.com/item/log
[Link 15]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%B8%E7%94%A8%E5%AF%B9%E6%95%B0
[e]: https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%90%86%E6%95%B0e
[Link 16]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E6%95%B0
[Link 17]: https://baike.baidu.com/item/%E8%87%AA%E7%84%B6%E5%AF%B9%E6%95%B0
[Link 18]: https://baike.baidu.com/item/%E6%8C%87%E6%95%B0
[format_png 2]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS8tZm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vZmNmYWFmNTFmM2RlYjQ4ZmNhMDJkMTcwZjcxZjNhMjkyZGY1NzgzMC5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[Link 19]: https://baike.baidu.com/item/%E6%8C%87%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 20]: https://baike.baidu.com/item/%E8%B4%9F%E6%95%B0
[Link 21]: https://baike.baidu.com/item/%E9%9B%B6/36714
[format_png 3]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MwLmJkc3RhdGljLmNvbS85NG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vYTcxZWE4ZDNmZDFmNDEzNDc3MzFmZDQ3MjIxZjk1Y2FkMWM4NWU4MS5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 4]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MxLmJkc3RhdGljLmNvbS8tdm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vNzM4YjQ3MTBiOTEyYzhmYzM2NDEwZWY0ZmIwMzkyNDVkNjg4MjE1ZC5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 5]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS8tZm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vYzhlYTE1Y2UzNmQzZDUzOTMwZTVmN2ZhM2Q4N2U5NTAzNTJhYjAyYi5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 6]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vODcxODM2N2FkYWI0NGFlZDE0Njc0NWRkYjQxYzg3MDFhMThiZmJkYS5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 7]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vZTdjZDdiODk5ZTUxMGZiMzFkZTM4ZmFlZGUzM2M4OTVkMTQzMGMxNC5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 8]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MzLmJkc3RhdGljLmNvbS83UG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPWFiNGEwODI0ZjIxZjNhMjk1ZWM4ZDJjY2E5MjRiY2UzL2Y5ZGNkMTAwYmFhMWNkMTE1NTk1ZGJkYWJiMTJjOGZjYzNjZTJkMmMuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 8 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/f9dcd100baa1cd115595dbdabb12c8fcc3ce2d2c?fr=lemma&ct=single
[format_png 9]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MxLmJkc3RhdGljLmNvbS8tdm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vNDIxNjZkMjI0ZjRhMjBhNDIzMmJjN2ZlOTc1Mjk4MjI3MjBlZDBkNi5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 10]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MwLmJkc3RhdGljLmNvbS85NG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vNmQ4MTgwMGExOWQ4YmMzZTY5MzlmZGYzODU4YmE2MWVhOGQzNDVkMi5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[Link 22]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82
[Link 23]: https://baike.baidu.com/item/%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0
[format_png 11]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MwLmJkc3RhdGljLmNvbS85NG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vNTBkYTgxY2IzOWRiYjZmZDNhNDBhMDI5MGEyNGFiMTg5NzJiMzdhMS5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[Link 24]: https://baike.baidu.com/item/%E4%B9%98%E6%B3%95
[Link 25]: https://baike.baidu.com/item/%E5%8A%A0%E6%B3%95
[Link 26]: https://baike.baidu.com/item/%E5%87%8F%E6%B3%95
[Link 27]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E8%BF%90%E7%AE%97
[Link 28]: https://baike.baidu.com/item/%E9%99%A4%E6%B3%95
[Link 29]: https://baike.baidu.com/item/%E7%94%B5%E5%AD%90%E8%AE%A1%E7%AE%97%E6%9C%BA
[format_png 12]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MzLmJkc3RhdGljLmNvbS83UG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vOTRjYWQxYzhhNzg2YzkxN2UwY2I3NTQ3YzMzZDcwY2YzYWM3NTc4Ny5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[Link 30]: https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B4%E6%95%B0
[Link 31]: https://baike.baidu.com/item/%E6%95%B0%E5%88%97
[Link 32]: https://baike.baidu.com/item/%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97
[Link 33]: https://baike.baidu.com/item/%E7%A7%AF
[Link 34]: https://baike.baidu.com/item/%E5%95%86/3820976
[Link 35]: https://baike.baidu.com/item/%E7%BA%B3%E7%9A%AE%E5%B0%94
[Link 36]: https://baike.baidu.com/item/%E5%8C%96%E7%AE%80
[Link 37]: https://baike.baidu.com/item/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92
[Link 38]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E8%A1%A8
[format_png 13]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTYxMzJlYTM3ODcwMWExOGJmNGViMTU0ZGFlMmUwNzYxLzBkZjNkN2NhN2JjYjBhNDYxOGY5ZTcyMjZiNjNmNjI0NmE2MGFmZDYuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 13 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/5af4d7eaff286ff8d439c937?fr=lemma&ct=single
[Link 39]: https://baike.baidu.com/item/%E7%91%9E%E5%A3%AB
[Link 40]: https://baike.baidu.com/item/%E5%B8%83%E9%87%8C%E6%A0%BC%E6%96%AF
[Link 41]: https://baike.baidu.com/item/%E4%BC%BD%E5%88%A9%E7%95%A5
[Link 42]: https://baike.baidu.com/item/%E7%A9%BA%E9%97%B4
[Link 43]: https://baike.baidu.com/item/%E6%8B%89%E6%99%AE%E6%8B%89%E6%96%AF
[Link 44]: https://baike.baidu.com/item/%E4%B8%8E/13025631
[Link 45]: https://baike.baidu.com/item/%E7%A9%86%E5%B0%BC%E6%96%AF
[Link 46]: https://baike.baidu.com/item/%E8%96%9B%E5%87%A4%E7%A5%9A
[Link 47]: https://baike.baidu.com/item/%E6%88%B4%E7%85%A6
[Link 48]: https://baike.baidu.com/item/%E7%AE%80/12092803
[Link 49]: https://baike.baidu.com/item/%E6%B3%95/34274
[Link 50]: https://baike.baidu.com/item/%E8%89%BE%E7%BA%A6%E7%91%9F
[Link 51]: https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%8D%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 52]: https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E7%A9%B7%E5%B0%8F
[Link 53]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F
[Link 54]: https://baike.baidu.com/item/%E5%A4%8D%E5%90%88%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 55]: https://baike.baidu.com/item/%E5%80%BC%E5%9F%9F
[Link 56]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9E%E6%95%B0%E9%9B%86
[Link 57]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AE%9A%E7%82%B9
[Link 58]: https://baike.baidu.com/item/%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7
[Link 59]: https://baike.baidu.com/item/%E5%A5%87%E5%81%B6%E6%80%A7
[Link 60]: https://baike.baidu.com/item/%E9%9D%9E%E5%A5%87%E9%9D%9E%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0
[Link 61]: https://baike.baidu.com/item/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E6%80%A7
[Link 62]: https://baike.baidu.com/item/%E5%91%A8%E6%9C%9F%E5%87%BD%E6%95%B0
[format_png 14]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MxLmJkc3RhdGljLmNvbS8tdm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vYjJkZTljODJkMTU4Y2NiZjg5ZmEzYWY2MTNkOGJjM2ViMDM1NDFiYy5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 15]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MzLmJkc3RhdGljLmNvbS83UG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vMzJmYTgyOGJhNjFlYThkMzBhNmNmOGEwOTUwYTMwNGUyNDFmNThjYy5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 16]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MzLmJkc3RhdGljLmNvbS83UG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTgwZjdmZjViMjQxZjk1Y2FhMmY1OTViNGY5MTY3ZmM1LzdhODk5ZTUxMGZiMzBmMjQ1NTVhMTYyNmM5OTVkMTQzYWM0YjAzZDYuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 16 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/7a899e510fb30f24555a1626c995d143ac4b03d6?fr=lemma&ct=single
[format_png 17]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS8tZm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vMmZkZGEzY2M3Y2Q5OGQxMGJmZWY4Mzk1MjMzZmI4MGU3YmVjOTA1Zi5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 18]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MzLmJkc3RhdGljLmNvbS8tUG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vNDcyMzA5Zjc5MDUyOTgyMmYxZGNiNTY3ZDVjYTdiY2IwYjQ2ZDRhMy5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 19]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MxLmJkc3RhdGljLmNvbS8tdm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vMWFkNWFkNmVkZGM0NTFkYTljN2E4MDRmYjRmZDUyNjZkMTE2MzI4MS5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 20]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vZmFlZGFiNjQwMzRmNzhmMGNkNzQxNTU3N2IzMTBhNTViMzE5MWMxMi5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 21]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vYzJmZGZjMDM5MjQ1ZDY4OGM2N2EzZDAwYTZjMjdkMWVkMjFiMjQxZC5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 22]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vMzdkM2Q1MzliNjAwM2FmM2U4MjE2OTg3M2YyYWM2NWMxMTM4YjZiYS5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 23]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS8tZm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vYzhlYTE1Y2UzNmQzZDUzOTI4ODE4MDY3Mzg4N2U5NTAzNDJhYjBkMi5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 24]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MzLmJkc3RhdGljLmNvbS8tUG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vOTVlZWYwMWYzYTI5MmRmNTNiY2EyM2IxYmUzMTVjNjAzNGE4NzMwZC5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[format_png 25]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcGljL2l0ZW0vNDcyMzA5Zjc5MDUyOTgyMmYwNjRiNjY3ZDVjYTdiY2IwYTQ2ZDQzYi5qcGc?x-oss-process=image/format,png
[Link 63]: https://baike.baidu.com/item/%E7%9C%9F%E6%95%B0
[Link 64]: https://baike.baidu.com/item/%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%80%BC
[format_png 26]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MwLmJkc3RhdGljLmNvbS85NG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPWQxNWY2YzBiODIwMjVhYWZkNzMyNzljOWNiZWNhYjhkL2I5OTlhOTAxNGMwODZlMDYxZGQ5MTU4MDAyMDg3YmY0MGJkMWNiODMuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 26 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/b999a9014c086e061dd9158002087bf40bd1cb83?fr=lemma&ct=single
[format_png 27]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MwLmJkc3RhdGljLmNvbS85NG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTRhMjFmOWVkNjBkMGY3MDNlMmIyOTJkZTM4ZmI1MTQ4LzM3ZDNkNTM5YjYwMDNhZjNmYWI1NzM5YTM3MmFjNjVjMTAzOGI2MzkuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 27 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/37d3d539b6003af3fab5739a372ac65c1038b639?fr=lemma&ct=single
[format_png 28]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MwLmJkc3RhdGljLmNvbS8tNG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPWEwOTFiNDE3YTFjYzdjZDlmZTJkMzNkYjA5MDAyMTA0L2QwMDliM2RlOWM4MmQxNThjMDgxZjY0YjgyMGExOWQ4YmQzZTQyY2MuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 28 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/d009b3de9c82d158c081f64b820a19d8bd3e42cc?fr=lemma&ct=single
[format_png 29]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS8tZm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTliYTE5NjFkOTMyMzk3ZGRkMjc5OWYwNjY5ODNiMjE2LzJjZjVlMGZlOTkyNWJjMzFhMmY5YWU2MjVjZGY4ZGIxY2ExMzcwYTAuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 29 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/2cf5e0fe9925bc31a2f9ae625cdf8db1ca1370a0?fr=lemma&ct=single
[format_png 30]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTBiMmExZDFjMjU3ZjllMmY3NDM1MWEwYTJmMzFlOTYyLzBiNDZmMjFmYmUwOTZiNjM1Yzg1ZjFhYTBlMzM4NzQ0ZWFmOGFjYTguanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 30 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/0b46f21fbe096b635c85f1aa0e338744eaf8aca8?fr=lemma&ct=single
[format_png 31]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MzLmJkc3RhdGljLmNvbS83UG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTNlOWQ0NzllNTQ0ZTkyNThhMjM0ODFlY2FjODNkMWQxLzg2OTRhNGMyN2QxZWQyMWIzOTRhODExZmFmNmVkZGM0NTBkYTNmNGMuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 31 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/8694a4c27d1ed21b394a811faf6eddc450da3f4c?fr=lemma&ct=single
[format_png 32]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MwLmJkc3RhdGljLmNvbS85NG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPThjZjljNmFhMzZhODVlZGZmZThjZjkyMTc5NTYwOWQ4L2M5ZmNjM2NlYzNmZGZjMDNhMjhkNGM0MmQ2M2Y4Nzk0YTVjMjI2NTYuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 32 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/c9fcc3cec3fdfc03a28d4c42d63f8794a5c22656?fr=lemma&ct=single
[format_png 33]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MxLmJkc3RhdGljLmNvbS8tdm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPWExM2E0YjkyY2ViZjZjODFmMzM3MmJlYThjM2ZiMWQ3L2FjNmVkZGM0NTFkYTgxY2IwNDYzMmMzNzUwNjZkMDE2MDgyNDMxNDYuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 33 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/ac6eddc451da81cb04632c375066d01608243146?fr=lemma&ct=single
[format_png 34]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MwLmJkc3RhdGljLmNvbS85NG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPWEzMjlmOTFhZjUwMzkxOGZkM2QxM2FjODYxM2MyNjRiL2Q0MzliNjAwM2FmMzNhODcyOTVlYWVlMGM0NWMxMDM4NTM0M2I1MWQuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 34 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/d439b6003af33a87295eaee0c45c10385343b51d?fr=lemma&ct=single
[format_png 35]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS8tZm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPWQ4OTE0ZWYzYjQwMDNhZjM0OWJhZGI2MjA1MmJjNjE5L2U0ZGRlNzExOTBlZjc2YzY0OWFkNTVkMTlmMTZmZGZhYWU1MTY3YzkuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 35 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/e4dde71190ef76c649ad55d19f16fdfaae5167c9?fr=lemma&ct=single
[format_png 36]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MxLmJkc3RhdGljLmNvbS8tdm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPWFjYWUzMjI2ODgxMzYzMjcxMWVkYzUzMWExOGVhMDU2L2M4ZWExNWNlMzZkM2Q1MzkwYjcxYTEzOTM4ODdlOTUwMzQyYWIwZjguanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 36 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/c8ea15ce36d3d5390b71a1393887e950342ab0f8?fr=lemma&ct=single
[format_png 37]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MzLmJkc3RhdGljLmNvbS83UG8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTM4YjQyMmYyOTk1MDRmYzJhNjVmYjcwN2Q1ZGNlN2YwL2E3MWVhOGQzZmQxZjQxMzQ4MDkwYWI4NDI3MWY5NWNhZDBjODVlYTAuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 37 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/a71ea8d3fd1f41348090ab84271f95cad0c85ea0?fr=lemma&ct=single
[format_png 38]: https://imgconvert.csdnimg.cn/aHR0cHM6Ly9nc3MyLmJkc3RhdGljLmNvbS85Zm8zZFNhZ194STRraEdrcG9XSzFIRjZoaHkvYmFpa2UvcyUzRDIyMC9zaWduPTk3YmNlOTQxNDUxMGI5MTJiYmMxZjFmY2YzZmNmY2I1L2FhNjQwMzRmNzhmMGY3MzZmNTZlZTJmYjA4NTViMzE5ZWFjNDEzYjMuanBn?x-oss-process=image/format,png
[format_png 38 1]: https://baike.baidu.com/pic/%E5%AF%B9%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0/6013318/0/aa64034f78f0f736f56ee2fb0855b319eac413b3?fr=lemma&ct=single
[Link 65]: https://baike.baidu.com/item/%E6%97%A0%E9%99%90%E4%B8%8D%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E5%B0%8F%E6%95%B0
[Link 66]: https://baike.baidu.com/item/%E5%AF%B9%E7%A7%B0
[Link 67]: https://baike.baidu.com/item/%E7%9B%B4%E7%BA%BF/4876