【概率论与数理统计 Probability and Statistics 13】—— 随机变量的数字特征2 之相关系数那些事儿+ 中心矩与原点矩

曾经终败给现在 2023-05-21 13:52 7阅读 0赞

### 文章目录 ###

*  一、相关系数的定义
 *  二、相关系数——到底是什么相关？
 *  三、不相关与独立之间的关系辨析
 *  四、中心矩与原点矩

# 一、相关系数的定义 #

还记得我们在上一篇  B l o g Blog Blog 里面关于相关系数的定义嘛？ ρ = C o v ( X , Y ) D X D Y = E ( X Y ) − E X E Y D X D Y ρ = \\frac\{Cov(X, Y)\}\{\\sqrt\{DX\}\\sqrt\{DY\}\} = \\frac\{E(XY) - EXEY\}\{\\sqrt\{DX\}\\sqrt\{DY\}\} ρ=DXDYCov(X,Y)=DXDYE(XY)−EXEY

我们可以证明： ∣ ρ ∣ ≤ 1 |ρ| ≤ 1 ∣ρ∣≤1

# 二、相关系数——到底是什么相关？ #

我们有下面的关系：  
若  ∣ ρ ∣ = 1 |ρ| = 1 ∣ρ∣=1，则我们说  X , Y X, Y X,Y 是以 P = 1 呈**线性关系**（简单理解就是线性关系）

所以，我们说：相关系数其实真正衡量的就是 X, Y之间的线性关系的强弱。  
那么，既然是  ∣ ρ ∣ = 1 |ρ| = 1 ∣ρ∣=1，那么也就是说  ρ ρ ρ 可以等于+1 或者 -1.

【1】当  ρ = + 1 ρ=+1 ρ=\+1 时，我们说 X, Y 呈**正相关**  
【2】当  ρ = − 1 ρ=-1 ρ=−1 时，我们说 X, Y 呈**负相关**  
【3】当  ρ ρ ρ 接近0时，我们说 X, Y 的**线性关系很弱**了  
【4】当  ρ = 0 ρ = 0 ρ=0 时，我们说 X, Y **不存在线性关系**

# 三、不相关与独立之间的关系辨析 #

通过上面的分析，我们说可以把  ρ ρ ρ 理解成是线性相关系数。也即是说， ρ ρ ρ 反应的是 X, Y 二者的线性关系的强弱。**那么，如果我们说  X , Y X, Y X,Y 不相关，意思就是说 ： X , Y X, Y X,Y 之间是没有线性关系的。但是，这并不代表  X , Y X, Y X,Y 之间就没有非线性关系。比如说，如果  X = Y 3 + s i n ( Y ) X = Y^3 + sin(Y) X=Y3\+sin(Y)，我们就认为这两个变量之间是没有线性关系的，但是它们之间确实存在一个非线性的关系！**

**而我们所说的  X , Y X, Y X,Y 独立，指的就是  X , Y X, Y X,Y 之间没有任何关系（这里指的关系包括线性关系和非线性关系）**

**因此，我们得出了下面的结论：若  X , Y X, Y X,Y 二者独立，那么  X , Y X, Y X,Y 之间一定不相关。反之，如果  X , Y X, Y X,Y 不相关， X , Y X, Y X,Y之间却不一定独立。**

下面有一个非常非常特别的情况：就是二维的正态分布。**对于二维正态分布而言，不相关和独立是等价的**。

# 四、中心矩与原点矩 #

我们先给出定义：  
原点矩： E X k EX^k EXk；那么，一阶的原点矩为： E X EX EX就是期望。  
中心矩： E ( X − E X ) k E(X-EX)^k E(X−EX)k；那么，一阶中心距就是： E ( X − E X ) = 0 E(X-EX) = 0 E(X−EX)=0；二阶中心矩就是： E ( X − E X ) 2 = D X E(X-EX)^2 = DX E(X−EX)2=DX 就是方差。

其实计算的话，我们就把他当成一维随机变量函数的期望来求就OK了！