慕课matlab学习第七章-039函数求极限

小咪咪 2023-03-05 03:22 17阅读 0赞

# 第七节-Matlab符号计算 #

## 02-符号运算计算函数微积分 ##

% 第七节-Matlab符号计算
    % 02-符号运算计算函数微积分
    
    
    % 符号函数的极限.
    % 符号函数的导数
    % 符号函数的积分
    
    % 符号函数的极限
    % 求符号函数极限的命令为limit，其调用格式为
    % limit(f,x,a)
    % f:所求极限的函数 x为变量  a为常数
    % 即求函数【f】关于变量x在【a点的极限】。若x省略，则采用系统默认的自变量。a的默认值为0.
    
    % limit函数的另- -种功能是求 单边极限，其调用格式为:
    % limit（f,x,a,'right') %右极限
    % limit(f,x,a,left')     %左极限
    
    %eg 求 lim(x->a) (x)^1/m -(a)^1/m /(x-a)  (2)lim(x->oo)(1+1/n)^n
    syms a m x n
    f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a); 
    limit(f,x,a) % 求x自变量趋向于a的时候，f(x）的值
    
    g=(1+1/n)^n;
    limit(g,n,inf) %n->oo 的时候 g(n)=e
    
    % 符号函数的导数
    % MATLAB中的求导函数为:
    % dif(f.x,n)
    % 即求函数f关于变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数
    % limit，可以缺省，默认值与limit相同，n的默认值是1,求n阶导。
    % x 表示自己定义的主变量，在有多个自变量时，需要确定一个自变量，这样就相当于
    % 求得是关于自变量x的偏导数
    
    
    
    % eg 求 y=(a+e^x)^1/2,求y'
    syms x y ;
    f=sqrt(1+exp(x))
    diff(f) % 没有 指定的情况下 ，系统会默认一个自变量，还有一个求解导数n=1，默认一阶导数 
    
    % eg z=x*e^y/y^2  求 zx' zy'
    
    z=x*exp(y)/y^2
    diff(z,x) %求解函数 z,关于x的一阶偏导数
    diff(z,y) %求解函数 z,关于y的一阶偏导数
    
    % 符号函数的积分
    % (1)不定积分
    % 在MATLAB中，求不定积分的函数是int,其常用的调用格
    % 式为:
    % intlf,x)
    % 表示：求函数f对【变量x】的不定积分。 （注：是变量X,其他变量（如;y,z）当作常量处理）
    
    
    % eg：求下列不定积分
    % fx=(3-x^2)^3
    syms x t
    f=(3-x^2)^3
    int(f) %表示对函数f进行积分,系统自动默认给定自变量x,(注：f函数中只有一个变量x)
    
    % g(x,t)=5*x*t/(1+x^2)d(t) 对自变量 t 求积分
    g=5*x*t/(1+x^2)
    int(g,t) %对自变量 t 求积分,这里要指定自变量（t）,因为g函数有两个自变量【x，t】
    
    
    %(2)【定积分】
    %   在MATLAB中，定积分的计算也使用int命令，但调用格式有区别:
    %   intlf,x,a,b)
    %   其中，a、b分别表示定积分的下限和上限。【注：a,b可以是具体的值，也可以是一个数值符号】
    %   当函数关于变量x在闭区间[a,b]可积时，函数返回一个定积分结果。
    %   当a、b中有一个是【inf：无穷】时， 函数返回一个广义积分。
    %   当a、b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
    
    %  求定积分
    % |1-x|d(x) x=[1，2]
    syms x t
    int(abs(1-x),1,2)  %求函数  x=[1，2]的积分
    %  1/（1+x^2）d(x)  x=[-oo,+oo]
    int(1/(1+x^2),-inf,+inf) %求函数  x=[-oo,+oo]的积分
    %  4x/t d(x)       x=[2,sin x]
    int(4*x/t,t,2,sin(x))  %指定对自变量t求积分，t=[2,sin(x)]
    %计算出来的是一个自变量的结果函数
    
    
    % 实际应用
    % 河道水流量的估算问题
    % 根据实际测量，得到河流某处宽600m，其横截面不同位置某一
    % 时刻的水深如下表所示:
    xi=0:50:600 ;
    yi=[4.4,    4.5,    4.6,    4.8,    4.9,    5.1 ...
        ,5.4    ,5.2    ,5.5    ,5.2    ,4.9    ,4.8    ,4.7] ;
    % ①若此刻水流的流速为0.6m/s，试估计该河流此刻的流量。
    % ②已知x方向[50,60]区间为坡式护岸的下部护脚部分，根据相关
    % 堤防设计规范，抛石护岸护脚坡度应缓于1:1.5 ( tan(x)正切值) ,请
    % 估计水流冲刷是否已破坏该区域的护脚。
    
    
    % 分析:
    % (1)先拟合出河床曲线，然后进行定积分，计算出河流横截面，即
    % 可估计流量。
    xi
    yi
    p=polyfit(xi,yi,3)
    plot(xi,yi,'o',xi,polyval(p,xi),'r') %曲线拟合得到曲线图形（即河床轮廓）
    syms y x 
    y=poly2sym(p,x)     %拟合曲线的多项式转化为符号表达式
    S=int(y,x,0,600)    %计算横截面积
    v=S*0.6             %计算水流量
    eval(v)
    
    
    
    % (2)根据河床曲线，计算其导函数，并判断相应范围内导函数的取
    % 值是否大于1:1.5。
    yn=-yi;  % 实际河床轮廓形状，水平面是平的
    figure(2)
    p=polyfit(xi,yn,3)
    plot(xi,yn,'o',xi,polyval(p,xi)) %曲线拟合得到曲线图形（即河床轮廓）
    syms y x yii
    y=poly2sym(p,x)     %拟合曲线的多项式转化为符号表达式
    yii=diff(y,x)       %对曲线进行求导
    x=50:60;
    k=eval(yii)         %对[50,60]求导后的数据进行计算导数（也就是斜率）
    all(abs(k)<1/1.5)   %判断斜率是否小于1/1.5
    
    %
    x=50:60;
    y=polyval(p,x); %计算函数【50，60】的值
    k=diff(y)/1 %计算数值导数
    all(abs(k)<1/1.5) %判断斜率时候满足条件