慕课matlab学习第七章-038 符号对象和符号矩阵

- 日理万妓 2023-03-05 03:21 23阅读 0赞

# 第七节-Matlab符号计算 #

## 01-符号对象 ##

% 第七节-Matlab符号计算
    % 01-符号对象
    
    
    % 符号对象的建立
    % 符号对象的运算
    % 符号矩阵
    
    
    % 符号对象的建立
    % eg
    
    t=sym(2)
    sin(sym(pi/3))
    sin(pi/3)
    
    
    % 符号计算的结果是一个精确的数学表达式
    a=5;
    b=-8;
    x=sym('a')
    y=sym('b')
    w=(a+b)*(a-b) %得到的是一个数字
    s=(x+y)*(x-y) %得到的是一个公式
    eval(s)       %将符号表达式转换位数值结果
    
    
    % 符号对象的建立
    % (2 ) syms命令
    %   syms命令可以一次定义多个符号变量，其- -般调用格式如下:
    %   syms符号变量名1符号变量名2 ... 符号变量名n
    % eg
    syms a b c d
    
    % (1)四则运算
    % 符号表达式的四则运算与数值运算一样，用+、-、*、人、^运
    % 算符实现，其运算结果依然是一个符号表达式。
    syms X ;
    f=2*X^2+3*X-5
    g=X^2-X+7
    f+g
    % 可以看到，输出的结果是表达式
    
    % 关系运算
    % 6种关系运算符:  <、    <=、   > >、 > >=、  ==、  ~=。
    % 对应的6个函数: lt()、 le()、 gt()、 ge()、 eq()、 ne( )。
    
    
    % 逻辑运算
    % 3种逻辑运算符: & (与)、1(或)和~ (非)。
    % 4个逻辑运算函数: and()、 or()、 not( )和xor()。
    syms X1 ;
    % 逻辑运算符
    y=X1>0&X1<10
    %逻辑函数
    y=and(X1>0,X1<10)
    
    % 因式分解和展开运算
    % (4)因式分解与展开运算
    %  MATLAB提供了对符号表达式进行因式分解、展开、合并的函数，函数
    %  的调用格式为: .
    % ①factor(s):对符号表达式s【分解】因式。
    % ②expand(s):对符号表达式s进行【展开】。
    % ③collectls):对符号表达式s【合并同类项】。
    % ④collct(s,v):对符号【表达式s】按【变量v】合并同类项。
    
    % 对 a^3-b^3进行因式分解：即 a^3-b^3=f1(x)*f2(x)*f...(x)
    syms a b
    S=a^3-b^3
    factor(S)
    factor(S)  %接收到的是各个因式分解的值
    % 其他用法 分解质因子 12=2*2*3
    factor(12)
    
    % 梅森素数的验证问题
    % 所谓梅森数，是指形如2°-1的一 -类整数，其中指数p是素数。
    % 将梅森数记为M。。如果梅森数是素数，就称为梅森素数。请
    % 验证M1g、M23、 M29、M3l是 否为梅森素数。
    syms p
    m=2^p-1  %给 m 一个公式
    p=19     %给p一个赋值
    m19=eval(m) % 计算m公式的结果，此时p=19
    factor(m19) %质因子分解，发现只有本身，所以这是一个素数
    
    
    p=21     %给p一个赋值
    m21=eval(m) % 计算m公式的结果，此时p=19
    factor(m21) %质因子分解，发现由其他质数构成，所以这不是一个素数
    
    
    
    
    %(5)其他运算
    % ①提取有理分式的分子分母: [n,d]=numden(s)。
    % ②提取符号表达式的系数: c=coeffs(s,x)。
    % ③符号表达式化简: simplify(s)。
    % ④符号多项式与多项式系数向量之间的转换:
    % 符号多项式转换为多项式系数向量: p=sym2poly(s)。
    % 多项式系数向量转换为符号多项式: s=poly2sym(p)。
    
    % 求ax^2+bx+c=0 的根
    syms a b c x;  %定义符号对象 a,b,c,x;
    f1=a*x^2+b*x+c %定义f（x）函数
    g=coeffs(f1,x) %提取符号表达式f1的系数，自变量是x ,其他变量是 a,b,c
    g=g(end:-1:1)  %对前面的系数进行排列，原来是[c,b,a].我们要的是[a,b,c]
    roots(g)       %求的函数的根的表达式
    
    % 符号运算中变量的确定
    % ①如果没有明确指定自变量，MATLAB将按以下原则确定主变量并对其进行相应运算:
    % 寻找除i、j之外，在字母顺序上最接近x的小写字母。
    % 若表达式中有两个符号变量与x的距离相等，则ASCII码大者优先。
    
    % ②symvar( )函数可以用于查找一个 符号表达式中的符号变量
    % 函数的调用格式为:
    % symvar(s,n)
    % 函数返回符号表达式s中的n个符号变量。因此，可以用
    % symvarl(s,1)查找表达式s的主变量。
    
    
    % 符号矩阵也是一种符号表达式， 所以符号表达式运算都可以在矩阵意义下进行。
    % 注意:这些函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。
    
    % 建立符号矩阵并化简
    syms a b x y alp
    m=[a^3-b^3,sin(alp)^2+cos(alp)^2;(15*x*y-3*x^2)/(x-5*y),78] %使用符号建立矩阵
    simplify(m) %对矩阵进行化简
    
    
    
    % 矩阵中有 λ 时，以下其次线性方程组有非零解
    %  （1-λ）x1-2x2+4x3=0
    %   2x1+(3-λ)x2+x3=0
    %   x1+x2+(1-λ)x3=0
    
    % 分析：对于齐次线性方程组Ax=0，当 rank(A)<n或|A|=0时，齐次线性方程组有非零解。
    syms lamda;                              %创建符号运算
    A=[1-lamda,-2,4;2,3-lamda,1;1,1,1-lamda] %创建符号矩阵
    D=det(A)                                 %求 |A|的行列式，A是符号矩阵，这样的话求到的是一个带有符号参数的行列式的值
    factor(D)                                %对行列式进行因式分解
    % 求得结果为 [ -1, lamda, lamda - 2, lamda - 3] 所以lamda=0 、2、3都是有【非零解】的