【你也能看得懂得电磁场与电磁波系列连载 4】-向日葵屋

【你也能看得懂得电磁场与电磁波系列连载 4】

亦凉 2023-02-20 13:55 7阅读 0赞

在上一个连载里面，我们详细地推导了真空中的高斯通量定理，那么高斯通量定理在介质中又是怎么样的一种形式呢？

在这一个连载里面，我们主要关心静电场下的电介质的极化情况。

首先，我们先简单介绍一下什么是电偶极子：
所谓电偶极子，就是由等量的正负电荷所形成的系统。

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定义电矩矢量为： p ˉ = q l ˉ \bar{p} = q\bar{l} pˉ=qlˉ（ l ˉ \bar{l} lˉ 的方向就是从负电荷指向正电荷）

下面，我们再来看看电介质。我们知道组成电介质的分子包括有极分子和无极分子。所谓无极分子，就是分子内部的所有正负电荷是重合的（即一个分子里面可能包含多个正负电荷）。如下图所示：
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那么很自然，整个电介质对外就是呈电中性的。

所谓有极分子，就是分子中的正负电荷不重合，而形成电偶极子。（电偶极子这个概念非常重要，因为后续我们会谈到电偶极子在发射电磁波的过程中起到了多大的作用。）不过，有极分子里面每一个电偶极子的方向都是杂乱无章的，但是总的等效偶极子的总电矩矢量都为0

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所以可想而知，在没有外加静电场的情况下，无论是无极分子还是有极分子，他们整体对外是呈电中性的。那么加了外加电场会是什么情况呢？—— 发生极化。

【1】对于无极分子而言，原本重合的正负电荷发生了 l l l的相对位移，形成电偶极子。
【2】对于有极分子而言，原本杂乱无章的电偶极子趋于有序排列。

总体而言，在施加了外加电场之后，无极分子和有极分子内部都会形成一个新的电场。我们称之为极化电场
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那么，通过刚刚的解释我们知道了：电介质在电场的作用下，内部会发生极化，从而产生一个新的电场——极化电场。既然是区别于外电场 E ˉ \bar{E} Eˉ 的，那么，我们就不能同样地用 E ˉ \bar{E} Eˉ 来描述了对吧（不然谁分得清那个是外加电场，那个是极化电场啊对吧）

因此，我们引入了一个新的量（类似于电场强度），我们引入一个“极化强度”—— P ˉ \bar{P} Pˉ。 P ˉ \bar{P} Pˉ 可以用来描述极化电场得强度。

引入这个极化强度能干啥呢？那要回到我们上面这幅图了：我们可以看到，在电介质没有处于外加静电场的时候，介质表面（也就是蓝色立方体的表面）是没有电荷的。 但是，无论是无极分子还是有极分子，在收到外加电场之后，电介质就发生极化（对于无极分子而言，新形成的电偶极子有一部分就会穿出介质表面）（对于有极分子而言，电偶极子发生了旋转，也有一部分转出了介质表面）

那么结果是什么？

由于有电偶极子穿出或转出介质表面，那么介质表面就会出现极化面电荷；也就有极化面电荷密度；那么在介质内部，也会出现极化体电荷，也就有极化体电荷密度

下面我们一起来推导一下，同时我们也将会看到 P ˉ \bar{P} Pˉ 和 E ˉ \bar{E} Eˉ 其实也是有相似之处的：

首先要考虑这样的一个问题：如何用 P ˉ \bar{P} Pˉ 来表示穿出介质表面的电荷量呢？
——对了！用通量！这不就是我们在上一个连载里面所提到的东西嘛！那么因此，如果我们假设电介质表面是一个曲面 S，那么穿出整个闭合曲面S的电荷量就可以表示为：
$!\[在这里插入图片描述\](https://img-blog.csdnimg.cn/20200628223706810.png\#pic\_center$
那么很自然地，由于电荷守恒定律，留在介质内部的体电荷就可以写成：

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这个就是极化体电荷的值啦！那么它的微分形式就是我们很熟悉的表达式了：

【注：矢量微分算子我们会在后续的连载里面详细说明，此处可以略过】

而我们又发现：穿出介质表面的电荷，由于是束缚于电偶极子里面的，也叫做束缚面电荷。那不就是 q o u t q_{out} qout 吗。那么，我们把 q o u t q_{out} qout 换一个写法：
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这个其实就是极化面电荷了。只不过我们更常用极化面电荷密度，因此又变成了我们熟悉的样子：

其中， n ˉ \bar{n} nˉ 就表示介质表面的单位法向量。